Volúmenes, Pitágoras, cuadráticas y conversión de unidades (problemas resueltos)

Esquema de terreno en forma de triángulo rectángulo

Problema 01

]El jefe de logística de una compañía tiene dudas acerca de la cantidad de ladrillos que reciben de la fábrica en un camión cuya tolva posee 20 \rm{m}^3 de capacidad y se encuentra llena en su totalidad. Sin embargo, logra establecer que la cantidad de ladrillos es la correcta. ¿Cuántos ladrillos de 50 cm de largo, 20 cm de ancho y 5 cm de altura recibieron?

Resolución
El volumen máximo es la capacidad máxima del camión. Hay que convertir las dimensiones de los ladrillos de centimetros a metros.

    \[\begin{array}{rclclcl} 50\,\rm{cm}&=& 50\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{5}{10}\,\rm{m}&=&0,\!5\,\textrm{m}\\[0.2cm] 20\,\rm{cm}&=& 20\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{2}{10}\,\rm{m}&=&0,\!2\,\textrm{m}\\[0.2cm] 5\,\rm{cm}&=& 5\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{5}{100}\,\rm{m}&=&0,\!05\,\textrm{m} \end{array}\]

Luego calcular el volumen de un ladrillo en \rm{m}^3,

    \[\begin{array}{rcl}  \textrm{Volumen de un ladrillo} &=& {\rm{largo}} \cdot {\rm{ancho}} \cdot {\rm{altura}}\\ &=& (0,\!5)\cdot (0,\!2) \cdot (0,\!05)\\ &=&  0,\!005\,\textrm{m}^3  \end{array}\]

finalmente dividir la capacidad del camión entre el volumen de un solo ladrillo. Así se obtendrá la cantidad de ladrillos.

    \[\begin{array}{rcl}  \displaystyle\frac{{{\rm{Capacidad}}}}{{{\textrm{volumen de un ladrillo}}}} & = &\displaystyle\frac{{{\rm{20 }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{0}}{\rm{,\!005 }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{\rm{ }}\\[0.3cm] & = & 4000 \end{array}\]

(Respuesta: 4000 ladrillos)


Problema 02

En una construcción se determina que el terreno a cercar corresponde a un triángulo rectángulo, la longitud de uno de los catetos es 12 metros. La longitud del cateto faltante es una raíz del polinomio {x}^{3}-3{x}^{2}-7x-15. Determinar la longitud de la cerca.

Resolución
esquema de un terreno en forma de triangulo rectángulo El perímetro se calcula sumando todos sus lados. Y según el dato del problema, la incognita x se obtiene resolviendo la ecuación:

    \[{x}^{3}-3\,{x}^{2}-7\,x-15=0\]

Factorizando, por Ruffini se obtiene;

    \[\dvc\left( x-5 \right)  \left( {x}^{2}+2\,x+3 \right)\dvc\]

Se observa que el factor: \left( {x}^{2}+2\,x+3 \right) tiene discriminante negativo

    \[\dvc\Delta=2^2-4(1)(3)=-8,\dvc\]

entonces no tiene raíces reales. Por ende, dicho factor se cancela y solo queda el factor izquierdo:

    \[\dvc x-5=0 \; \rightarrow \; x=5 \dvc\]

Es decir, el segundo cateto x mide 5 metros. Debido al gráfico se debe usar la fórmula pitagórica para hallar la hipotenusa y:

    \begin{align*}  {y^2} &= {x^2} + {12^2}\\  {y^2} &= {5^2} + {12^2}\\  y & = \sqrt {169} =13  \end{align*}

Por tanto, el perímetro del terreno es

    \begin{align*} P &= x+12+y\\ &=5+12+13\\ &=30 \end{align*}

(Respuesta: 30 metros)


Problema 03

Un contratista debe entregar una carga localizada a 150 Km en 4 horas. A mitad de camino, se malogra el camión, y transcurre 1 hora hasta lograr repararlo. Calcular la rapidez en el tramo faltante para entregar la carga en el plazo establecido.

Resolución
Si el camión se malogra a mitad de camino, en contratista habría empleado 2 horas de 4, entonces le quedan solo 2 horas. Ahora debe recorrer \frac{150}{2} = 75\,\rm{Km} en esas 2 horas, pero se descuenta 1 hora que es el tiempo que empleó para reparar el camión. Entonces debe que viajar 75\, \rm{Km} en 1 hora. Como la velocidad se calcula por la fórmula de distancia sobre tiempo, el camión deberá ir a una velocidad v de

    \begin{eqnarray*} v&=&\frac{75\,\rm{Km}}{\rm{1\,hra}} \\ \rightarrow v&=&\,75\,\rm{Km}/h \end{eqnarray*}

Respuesta: Tendrá que ir a 75 Km/h para recorrer el tramo faltante en el plazo establecido



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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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