Volúmenes, Pitágoras, cuadráticas y conversión de unidades (problemas resueltos)

Esquema de terreno en forma de triángulo rectángulo

Problema 01

El jefe de logística de una compañía tiene dudas acerca de la cantidad de ladrillos que reciben de la fábrica en un camión cuya tolva posee 20 $\rm{m}^3$ de capacidad y se encuentra llena en su totalidad. Sin embargo, logra establecer que la cantidad de ladrillos es la correcta. ¿Cuántos ladrillos de 50 cm de largo, 20 cm de ancho y 5 cm de altura recibieron?

Resolución
El volumen máximo es la capacidad máxima del camión. Hay que convertir las dimensiones de los ladrillos de centimetros a metros.

$$\begin{array}{rclclcl} 50\,\rm{cm}&=& 50\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{5}{10}\,\rm{m}&=&0,\!5\,\textrm{m}\\[0.2cm] 20\,\rm{cm}&=& 20\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{2}{10}\,\rm{m}&=&0,\!2\,\textrm{m}\\[0.2cm] 5\,\rm{cm}&=& 5\,\rm{cm}\cdot\displaystyle\frac{1\,\textrm{m}}{100\,\textrm{cm}}&=&\displaystyle\frac{5}{100}\,\rm{m}&=&0,\!05\,\textrm{m} \end{array}$$

Luego calcular el volumen de un ladrillo en $\rm{m}^3$, \begin{array}{rcl} \textrm{Volumen de un ladrillo} &=& {\rm{largo}} \cdot {\rm{ancho}} \cdot {\rm{altura}}\\ &=& (0,\!5)\cdot (0,\!2) \cdot (0,\!05)\\ &=&  0,\!005\,\textrm{m}^3 \end{array} finalmente dividir la capacidad del camión entre el volumen de un solo ladrillo. Así se  obtendrá la cantidad de ladrillos. \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{{{\rm{Capacidad}}}}{{{\textrm{volumen de un ladrillo}}}} & = &\displaystyle\frac{{{\rm{20 }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{0}}{\rm{,\!005 }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{\rm{ }}\\ & = & 4000 \end{array}

(Respuesta: 4000 ladrillos)


Problema 02

En una construcción se determina que el terreno a cercar corresponde a un triángulo rectángulo, la longitud de uno de los catetos es 12 metros. La longitud del cateto faltante es una raíz del polinomio ${x}^{3}-3{x}^{2}-7x-15.$ Determinar la longitud de la cerca.

Resolución
esquema de un terreno en forma de triangulo rectángulo El perímetro se calcula sumando todos sus lados. Y según el dato del problema, la incognita $x$ se obtiene resolviendo la ecuación: $$ {x}^{3}-3\,{x}^{2}-7\,x-15=0$$ Factorizando, por Ruffini se obtiene; $$\left( x-5 \right)  \left( {x}^{2}+2\,x+3 \right)$$ Se observa que el factor: $\left( {x}^{2}+2\,x+3 \right)$  tiene discriminante negativo $$\Delta=2^2-4(1)(3)=-8,$$ entonces no tiene raíces reales. Por ende, dicho factor se cancela y solo queda el factor izquierdo: $$x-5=0\; \rightarrow \; x=5$$ Es decir, el segundo cateto $x$ mide 5 metros. Debido al gráfico se debe usar la fórmula pitagórica para hallar la hipotenusa $y$: \begin{eqnarray} {y^2} &=& {x^2} + {12^2}\\ {y^2} &=& {5^2} + {12^2}\\ y &=& \sqrt {169} =13 \end{eqnarray} Por tanto, el perímetro del terreno es $$\begin{eqnarray}P&=&x+12+y\\&=&5+12+13\\&=& 30\end{eqnarray}$$

(Respuesta: 30 metros)


Problema 03

Un contratista debe entregar una carga localizada a 150 Km en 4 horas. A mitad de camino, se malogra el camión, y transcurre 1 hora hasta lograr repararlo. Calcular la rapidez en el tramo faltante para entregar la carga en el plazo establecido.

Resolución
Si el camión se malogra a mitad de camino, en contratista habría empleado 2 horas de 4, entonces le quedan solo 2 horas. Ahora debe recorrer $\frac{150}{2} = 75\,\rm{Km}$ en esas 2 horas, pero se descuenta 1 hora que es el tiempo que empleó para reparar el camión. Entonces debe que viajar $75\, \rm{Km}$ en 1 hora. Como la velocidad se calcula por la fórmula de distancia sobre tiempo, el camión deberá ir a una velocidad $v$ de \begin{eqnarray*} v&=&\frac{75\,\rm{Km}}{\rm{1\,hra}} \\ \rightarrow v&=&\,75\,\rm{Km}/h \end{eqnarray*}

Respuesta: Tendrá que ir a 75 Km/h para recorrer el tramo faltante en el plazo establecido


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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