Principio Arquimediano de R

También conocida como propiedad arquimediana de los números reales, puede enunciarse en la siguiente

Proposición

Si $x$ es un número real positivo, entonces existe un número natural $n_0$ tal que
$$0 < \frac{1}{n_0} < x$$ o equivalentemente $$x\cdot n_0 > 1.$$

Demostración

Por reducción al absurdo, suponga que $$x\cdot n \leq 1,\quad \forall n\in \mathbb{N}\;\ldots\,\textrm{(negación de la tesis.)}$$

Entonces el conjunto $A = \{n\cdot x \;|\; n \in \mathbb{N}\}$ está acotado superiormente al menos por $k=1$.
Ahora, por el axioma del supremo, el conjunto $A$ posee una menor cota superior $k=\sup(A)$ en $\mathbb{R}$ que satisface la condición
$$n\cdot x \leq k \leq 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$
Pero siendo $x > 0\; \rightarrow\; k-x < k,$ esto último indica que $(k – x)$ no puede ser cota superior de $A$ puesto que $k$ es la menor de todas ellas.
Luego existe un elemento $m_1\cdot x\in A$ con $m_1\in\mathbb{N}$ tal que

$$\begin{equation}
k-x < m_1x \leq k\tag{1}
\end{equation}$$

Pues si no fuese así, se tendría $n\cdot x < k – x , \;\forall \, n\cdot x \in A$, así $k-x$ sería una cota superior de $A$, lo cual es falso.

Luego, de (1) se sigue:
$$\begin{array}{rccl}
\to &k &<& ({m_1} + 1) \cdot x\\
\to &k &<& m \cdot x\quad,\quad \textrm{con}\;m = (m_1 +1)\in \mathbb{N} \quad…(2)
\end{array}$$
Y como $k = \sup(A)$ se sigue que $m\cdot x \leq k$, pero la desigualdad en (2) contradice este hecho, así encontramos la contradicción ($\rightarrow\leftarrow$) que hace que la prueba por el absurdo sea válida, y la proposición esté demostrada.

 
Entonces por reducción al absurdo queda demostrada la propiedad arquimediana o principio arquimediano de los números reales.

Ejemplo

Probar que el conjunto $A = {\left\{ {\frac{1}{n}} \right\}_{n \in\mathbb{N}.}}$ es un conjunto acotado.

Solución

Ubicando los elementos de $A$ en una recta para $x=\frac{1}{n},\;n\in\mathbb{N}.$
recta de los reales, ejemplo de la propiedad de arquimides

Propiedad de Arquímedes, graficando el conjunto A

Ahora puede hallarse el supremo y el ínfimo de $A$ así
\begin{equation}
\forall n\in\mathbb{N}\;\rightarrow\;0<x=\frac{1}{n}\leq 1 \tag{1}
\end{equation}
Cuando $n$ crece los elementos de $A$ se acercan a $0$ (cero), aunque nunca llegan a ser cero, entonces $\forall n\in \mathbb{N}$ se tiene:
$$\sup(A)=1\in A,\quad \inf(A)=0\notin A$$
Para probar que $\inf(A) = 0,$ observe en la desigualdad (1) que el número $0$ es una cota inferior, si no fuese la mayor existiría otra cota inferior $k$ mayor que $0$.
Pero, por el principio Arquimediano, existe un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que
$$0 < \frac{1}{n_0} < k$$
lo cual es absurdo pues $\frac{1}{n_0}\in A$ y siendo $k$ una cota inferior de $A$, debería cumplirse que $k \leq \frac{1}{n_0}$, así que por reducción al absurdo queda probado:
$$\inf A = 0.$$
Disculpas por las descripción  de la imagen, corrijo,
debe ser Arquímides,
no Arquímedes

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