Principio Arquimediano de R

El Principio Arquimediano de \mathbb{R} también conocido como propiedad arquimediana de los números reales, puede enunciarse en la siguiente

Proposición

Si x es un número real positivo, entonces existe un número natural n_0 tal que

    \[0 < \frac{1}{n_0} < x\]

o equivalentemente

    \[x\cdot n_0 > 1.\]


Demostración

Por reducción al absurdo, suponga que

    \[x\cdot n \leq 1,\quad \forall n\in \mathbb{N}\;\ldots\,\textrm{(negación de la tesis.)}\]

Entonces el conjunto A = \{n\cdot x \;|\; n \in \mathbb{N}\} está acotado superiormente al menos por k=1.
Ahora, por el axioma del supremo, el conjunto A posee una menor cota superior k=\sup(A) en \mathbb{R} que satisface la condición

    \[n\cdot x \leq k \leq 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}.\]

Pero siendo x > 0\; \rightarrow\; k-x < k, esto último indica que (k - x) no puede ser cota superior de A puesto que k es la menor de todas ellas.
Luego existe un elemento m_1\cdot x\in A con m_1\in\mathbb{N} tal que

(1)   \begin{equation*} k-x < m_1x \leq k \end{equation*}

Pues si no fuese así, se tendría n\cdot x < k - x , \;\forall \, n\cdot x \in A, así k-x sería una cota superior de A, lo cual es falso.

Luego, de (1) se sigue:

    \[\begin{array}{rccl} \to &k &<& ({m_1} + 1) \cdot x\\ \to &k &<& m \cdot x\quad,\quad \textrm{con}\;m = (m_1 +1)\in \mathbb{N} \quad...(2) \end{array}\]

Y como k = \sup(A) se sigue que m\cdot x \leq k, pero la desigualdad en (2) contradice este hecho, así encontramos la contradicción (\rightarrow\leftarrow) que hace que la prueba por el absurdo sea válida, y la proposición esté demostrada.
 
Entonces por reducción al absurdo queda demostrada la propiedad arquimediana o principio arquimediano de los números reales.

Ejemplo

Probar que el conjunto A = {\left\{ {\frac{1}{n}} \right\}_{n \in\mathbb{N}.}} es un conjunto acotado.

Solución

Ubicando los elementos de A en una recta para x=\frac{1}{n},\;n\in\mathbb{N}.

recta de los reales, ejemplo de la propiedad de arquimides
Propiedad de Arquímedes, graficando el conjunto A
Ahora puede hallarse el supremo y el ínfimo de A así

(1)   \begin{equation*} \forall n\in\mathbb{N}\;\rightarrow\;0<x=\frac{1}{n}\leq 1  \end{equation*}

Cuando n crece los elementos de A se acercan a 0 (cero), aunque nunca llegan a ser cero, entonces \forall n\in \mathbb{N} se tiene:

    \[\dvc\sup(A)=1\in A,\quad \inf(A)=0\notin A\dvc\]

Para probar que \inf(A) = 0, observe en la desigualdad (1) que el número 0 es una cota inferior, si no fuese la mayor existiría otra cota inferior k mayor que 0.
Pero, por el principio Arquimediano, existe un n_0 \in \mathbb{N} tal que

    \[0 < \frac{1}{n_0} < k\]

lo cual es absurdo pues \frac{1}{n_0}\in A y siendo k una cota inferior de A, debería cumplirse que k \leq \frac{1}{n_0}, así que por reducción al absurdo queda probado:

    \[\inf A = 0.\]

Disculpas por la descripción de la imagen, corrijo,
debe ser Arquímides,
no Arquímedes

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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