Máximo Entero (parte 2) – Teoremas

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Nota: Esta publicación es la continuación del post anterior. Aquí hay varias referencias a él en cuanto a sus teoremas y definiciones, la numeración de los mismos continúa desde dicha página.


Teorema 4.
Para todo x\in \mathbb{R} él máximo entero de x es también un número entero.

(1)   \begin{equation*}\forall \,x\in\mathbb{R}\quad\Rightarrow\quad[\![x]\!]\,\in\mathbb{Z}.\end{equation*}

La demostración es inmediata, en virtud al teorema (3) en el post anterior.

Teorema 5 (máximo entero de un número entero)

 El máximo entero de un número es igual a sí mismo si y solo si dicho número es un número entero.

(2)   \begin{equation*}[\![x]\!]=x\;\Longleftrightarrow \;x \in\mathbb{Z}\end{equation*}

Demostración

    \[\begin{array}{rrcl}\textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!]=x & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\&\textrm{(2)} & [\![x]\!]=\max(M_x) & \small{\textrm{.. teorema 2}}\\&\textrm{(3)} & [\![x]\!]\in M_x & \small{\textrm{.. def. de máximo de un conjunto}}\\&\textrm{(4)} & [\![x]\!]\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. $M_x\subset\mathbb{Z}$}} \\&\textrm{(5)} & \therefore\;x\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. sustituyendo (1) en (4)}} \\\textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(6)} & x\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\&\textrm{(7)} & x\leq x & \small{\textrm{.. propiedad reflexiva de $\leq$}} \\&\textrm{(8)} & x\in M_x & \small{\textrm{.. definición 1 en (6) y (7)}} \\&\textrm{(9)} & x\leq \max(M_x) & \small{\textrm{.. def. de máximo de un conjunto}} \\&\textrm{(10)} & x\leq [\![x]\!] & \small{\textrm{.. sustituyendo $\max(M_x)$ por $[\![x]\!]$}} \\&\textrm{(11)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema 3}} \\&\textrm{(12)} & \therefore\;[\![x]\!]= x & \small{\textrm{.. ley de tricotomía en (10) y (11)}}\end{array}\]

Q.E.D.

Teorema 6 (Cuando el mayor entero es “\,\geq” que un entero)

Si a\in\mathbb{Z}, entonces la relación mayor o igual (\geq) es invariante, es decir

(3)   \begin{equation*}\boxed{\mev{x}{0.17}\geq a\qquad\Longleftrightarrow\qquad x\geq a}\end{equation*}

Demostración

    \[\begin{array}{rrcl} \textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)}  & [\![x]\!]\geq a   & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\ &\textrm{(2)}  & [\![x]\!]\leq x<[\![x]\!]+1                   & \small{\textrm{.. teorema 3}}\\ &\textrm{(3)}  & [\![x]\!]\leq x                            & \small{\textrm{.. simplificación conjuntiva}} \\ &\textrm{(4)}  & a\leq x                                 & \small{\textrm{.. transitividad en (1) y (3)}} \\ &\textrm{(5)}  & \therefore\; x\geq a                    & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}} \\ \textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(6)}  & x\geq a                    & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\ &\textrm{(7)}  & a\in\mathbb{Z}\;\wedge\;a\leq x         & \small{\textrm{.. reescribiendo $\geq$}} \\ &\textrm{(8)}  & a\in\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\}=M_x  & \small{\textrm{.. definición de $M_x$}} \\ &\textrm{(9)}  & a\leq\max\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\} & \small{\textrm{.. definición de máximo}} \\ &\textrm{(10)} & a\leq[\![x]\!]                             & \small{\textrm{.. definición 3}} \\ &\textrm{(11)} & \therefore\;[\![x]\!]\geq a                 & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}} \end{array}\]

\qquad Q.E.D.

Observación. El teorema 6 se sigue verificando para una desigualdad estricta, pero solo de ida (⇒), así que Usted podrá demostrar sin mucha dificultad que se cumple

(4)   \begin{equation*}\boxed{\mev{x}{0.16} > a\qquad\Longrightarrow\qquad x > a}\end{equation*}


Teorema 7 (Cuando el mayor entero es  “\, <” que un entero)

Si a\in\mathbb{Z}, entonces la relación menor que (<) es invariante, es decir

(5)   \begin{equation*}\mev{x}{0.16} < a \quad\Longleftrightarrow\quad x < a\end{equation*}

Demostración

    \[\begin{array}{rrcl} \textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!] < a & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\ &\textrm{(2)} & [\![x]\!]=n & \small{\textrm{.. simbolizando}}\\ &\textrm{(3)} & n\leq x < n+1 & \small{\textrm{.. teorema 4 en (2)}} \\ &\textrm{(4)} & n < a & \small{\textrm{.. sustituyendo (2) en (1)}} \\ &\textrm{(5)} & n < a \quad\wedge\quad x<n+1 & \small{\textrm{.. ley conjuntiva (3) y (4)}}\\ &\textrm{(6)} & \textrm{si:}\quad n+1 > a & \small{\textrm{.. hipótesis auxiliar}} \\ &\textrm{(7)} & n+1 > a > n & \small{\textrm{.. transitividad (5) y (6)}} \\ &\textrm{(8)} & 1 > a-n > 0 & \small{\textrm{.. restando `$n$' a cada miembro}} \\ &\textrm{(9)} & \small{\textrm{entonces:}} \quad \displaystyle{n+1 \leq a} & \small{\textrm{.. (8) y (9) se contradicen}} \\ &\textrm{(10)} & \therefore\; x < a & \small{\textrm{.. transitividad en (5) y (9)}} \\ \end{array}\]

[\Leftarrow] Cuando la hipótesis es x < a entonces:

    \[\begin{array}{rr@{\;\;}c@{\;\;}l} \textrm{por teor. 4} & [\![x]\!] = n & \leftrightarrow & n\leq x < n+1 \\ \rightarrow& x < a & \wedge & n\leq x\\ \rightarrow& n\leq x & \wedge & x < a \\ \rightarrow& & n\leq x < a & \\ \rightarrow& \small{\textrm{por transitividad}} & n < a & \\ & \therefore & [\![x]\!] < a & \end{array}\]

Q.E.D.
.

Teorema 8 (Cuando el máximo entero es “\leq” que un entero)

Si a\in\mathbb{Z}, entonces la relación menor o igual que (\leq) es invariante excepto por una unidad, es decir

(6)   \begin{equation*}[\![x]\!]\leq a\quad\Longleftrightarrow\quad x < a+1\end{equation*}

Demostración

    \[\begin{array}{rrcl} \textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!]\leq a & {\small{\textrm{.. hipótesis}}\\ & \textrm{(2)} & \mev{x}{0.15} < a \;\,\vee\;\, \mev{x}{0.15} = a &   \small{\textrm{..definición de }\color{blue}{\boldsymbol{\leq}}}\\ &\textrm{(3)} & \textrm{si: }\,x < a & \small{\textrm{.. teorema 7 en (2) lado izq.}} \\  &\textrm{(4)} & a < a+1 & \small{\textrm{.. puesto que $0 < 1$}} \\  &\textrm{(5)} & \textrm{entonces: }\,x < a+1 & \small{\textrm{.. transitividad en (3) y (4)}} \\  &\textrm{(6)} & \textrm{si: } [\![x]\!]=a & \small{\textrm{.. lado derecho de (2)}} \\  &\textrm{(7)} & a\leq x < a+1 & \small{\textrm{.. teorema 4 en (6)}} \\  &\textrm{(8)} & \textrm{entonces: }\,x < a+1 & \small{\textrm{.. propiedad simplificativa en (7)}} \\  &\textrm{(9)} & \therefore\;x < a+1 & \small{\textrm{.. prop. conjuntiva en (5) y (8).}} \\  \textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(10)} &x < a+1 & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\  &\textrm{(11)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ & \textrm{(12)} & [\![x]\!] < a+1 & \small{\textrm{.. prop. transitiva en (10) y (11)}} \\ & \textrm{(13)} & \textrm{si: }[\![x]\!] > a\;\rightarrow\;a+1 > [\![x]\!] > a & \small{\textrm{.. transitiva en (12) y (13)}} \\ & \textrm{(14)} & \rightarrow\;a < [\![x]\!] < a+1 & \small{\textrm{.. reescribiendo } \color{blue}{\boldsymbol{>}} } \\  & \textrm{(15)} & \rightarrow\;0 < [\![x]\!] - a < 1 & \small{\textrm{.. restando }{\color{blue}{\bm{a}}}\textrm{ a cada miembro}} \\  & \textrm{(16)} & \textrm{entonces: (13) es falsa} & \small{\textrm{.. (13) genera la contradicción (15)}} \\  & \textrm{(17)} & \therefore \quad [\![x]\!]\leq a & \small{\textrm{.. la negación de (13) es verdadera.}}  \end{array}\]

Q.E.D.

Observación. En las líneas (13) a (16) se ha usado el método de reducción al absurdo, donde “[\![x]\!]\leq a” es verdadera porque su negación “[\![x]\!] > a” es falsa (conduce a una contradicción).


Teorema 9 (Mayor entero de la suma con enteros)

(7)   \begin{equation*}\forall \; m\in\textrm{Z},\quad [\![x+m]\!]=[\![x]\!]+m\end{equation*}

Demostración

    \[\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} & \textrm{Sea } [\![x]\!]=n & \small{\textrm{.. simbolizando}} \\ \textrm{(2)} & n\leq x < n+1 & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(3)} & n+m\leq x < n+1+m & \small{\textrm{.. sumando $m$}} \\ \textrm{(4)} & n+m\leq x < (n+m)+1 & \small{\textrm{.. asociativa}} \\ \textrm{(5)} & [\![x+m]\!]=n+m & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(6)} & \therefore\;[\![x+m]\!]=[\![x]\!]+m & \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (5).}} \end{array}\]

\quad Q.E.D.


Teorema 10 (Desigualdad triangular)

Tal vez hayan visto antes que en valor absoluto la desigualdad triangular está dada por |x+y|\leq |x|+|y|.

En Máximo Entero también se cumple pero al revés.

    \[\forall \; x,y \in\mathbb{R},\quad [\![x]\!]+[\![y]\!]\leq[\![x+y]\!]\]

Demostración

    \[\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} &\textrm{Sean: }[\![x]\!]=n\;\wedge\;[\![x]\!]=m & \small{\textrm{.. simbolizando}} \\ \textrm{(2)} & n\leq x < n+1\;\wedge\;m\leq y<m+1 & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(3)} & n+m\leq x+y < n+m+2 & \small{\textrm{.. sumando ambas desig.}} \\ \textrm{(4)} & n+m\leq x+y & \small{\textrm{.. recortando el lado izq.}} \\ \textrm{(5)} & x+y\geq n+m & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}} \\ \textrm{(6)} & [\![{x+y}]\!] \geq n+m & \small{\textrm{.. teorema 6}} \\ \textrm{(7)} & n+m \leq [\![x+y]\!] & \small{\textrm{.. reescribiendo $\geq$}} \\ \textrm{(8)} & \therefore\;[\![x]\!]+[\![y]\!]\leq[\![x+y]\!] & \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (7).}} \end{array}\]

\quad Q.E.D.

Teorema 11.

    \[\forall \; x\in\mathbb{R},\quad[\![x]\!]+[\![x]\!] = \left \{ \begin{array}{ll} 0 \,,&\textrm{si }\, x\in\mathbb{Z} \\ 1 \,,&\textrm{si }\, x\in(\mathbb{R}-\mathbb{Z})\end{array} \right.\]

Demostración
Es un buen ejercicio que el lector demuestre este teorema. No es complicado.
Ánimo, demuéstrelo!

Teorema 12.

    \[\forall \; x\in\mathbb{R},\quad x-1 < \mev{x}{0.15} \leq x\]

Demostración
Se deja como ejercicio para el lector.
Inténtelo, demuéstrelo!

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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