Máximo Entero (parte 4) – Ejercicios Resueltos

Ahora continuamos con lo expuesto en el post anterior.
Ejercicio 1. Si $x\in[-1,1],\;$ hallar el valor de $$E=\left[\kern-0.29em\left[{\frac{|x|-2}{3-x}}\right]\kern-0.29em\kern-0.006em\right].$$
Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 01 de máximo entero del post parte 4

En ambos casos:

1. De (1) a (3) se reemplazó el valor absoluto de $x$ (Recuerde que $|x|$ es igual a $-x$ cuando $x<0$, e igual a $x$ en caso contrario: $x\geq0$) y se dividió algebraicamente la fracción resultante.

2. De (4) a (10) se acotó el cociente obtenido entre corchetes en (3) entre los enteros más cercanos, partiendo de su correspondiente intervalo (caso).

3. De (10) a (11) se usó el teorema [4]. Luego como en ambos caso se obtiene lo mismo, el resultado es $-1$ para todo $x$ en el intervalo $[-1,1]$

Un buen ejercicio puede ser encontrar una forma más corta de resolverlo. ¿Quién se anima a hacerlo?, tómenlo como un reto.


Ejercicio 2. Determinar por extensión el conjunto $$A=\{\left[\kern-0.15em\left[{3x-1}\right]\kern-0.15em\kern-0.006em\right]\;:\;x\in\left[0,1\right]\}$$
Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 02 de máximo entero del post parte 4
En el paso (7), ubicado en la columna del lado derecho,
para $n=-1,0,1$ solo se cubrió el intervalo $[0,1\rangle$,
por lo que falta $x=1$,
es decir: $x\in\{1\}$ cuando $n=2$.

Otra manera de verlo es:

Si $n=2$,$\;$ entonces $x\in\left[1,\frac{4}{3}\right\rangle\cap[0,1]=\{1\}\;\rightarrow\;x\in\{1\}$


Ejercicio 3. Resolver la ecuación: $$\left[\kern-0.30em\left[{\frac{{\left| {x – 2} \right| + 3}}{2}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]=4$$
Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 03 de máximo entero del post M.E. parte 4
intervalo solución de ejercicio resuelto con maximo entero, inecuaciones con mayor entero

Figura: conjunto solución de la inecuación con máximo entero


Ejercicio 4. Resolver la ecuación: $$[\![4x]\!] = 3x + 3$$
Solución
Resolución del ejercicio 04 de máximo entero parte 4

La igualdad (6) puede ser escrita más explícitamente de la siguiente manera $$3x = 9\;\,∨\;\,3x = 10\;\,∨\;\,3x = 11.$$

En el paso (7) el coeficiente 3 de la variable $x$ dividió a los números 9, 10 y 11 $$x=\frac{9}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{10}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{11}{3}.$$


Ejercicio 5. Resolver la inecuación: $$\newcommand{\mev}[2]{\left[\kern-#2em\left[ { #1 }\right]\kern-#2em\kern-0.006em\right]}\mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1$$
Solución

\begin{equation}\tag{1} \mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1
\end{equation}
entonces, por el teorema [6] (de la parte 2) se tiene
\begin{equation}
\tag{2} x-\frac{2}{x} \geq 1
\end{equation}
restando “1” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo
\begin{equation}
\tag{3} \frac{ x^2-x-2}{x} \geq 0
\end{equation}
factorizando el numerador
\begin{equation}
\tag{4} \frac{(x-2)(x+1)}{x} \geq 0
\end{equation} por el método de puntos críticos se sigue $$\newcommand{\qdr}{\;\;\;\blacksquare}\therefore\;\, x\in \left[-1, 0\right\rangle \cup \left[ {2,+\infty} \right\rangle $$

Rpta: $\quad\boxed{\rule[-1.2mm]{0cm}{4mm}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle{-1, 0}\rangle \cup [{2,+\infty}\rangle\phantom{a} }\qdr$

Ejercicio 6. Resolver la inecuación: $$\mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} \leq 2.$$
Solución

\begin{align*} \mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} &\leq 2 \tag{1} \end{align*} entonces, por el teorema [8] (de la parte 2) se tiene \begin{equation} \frac{3+x}{4-x} < 2+1\tag{2}\end{equation}
restando “3” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo de (2) \begin{align*}\tag{3} \frac{4x-9}{x-4} &
> 0\end{align*} igualando a cero cada término
\begin{align*}\tag{4} 4x-9=0 \qquad,\qquad &x-4=0\\ \rightarrow\quad\qquad x=\frac{9}{4} \qquad,\qquad &x=4\end{align*}
por el método de puntos críticos (figura 2) se sigue
$$\therefore\;\, x\in \left\langle {-\infty, \frac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle$$

Rpta: $\quad\boxed{ \rule[-2.2mm]{0cm}{6mm} \phantom{a} \textrm{C.S.}=\left\langle {-\infty, \tfrac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle \phantom{a} }\qdr$
inecuaciones con máximo entero conjunto solución
Figura 2: Conjunto solución para $\frac{4x-9}{x-4} > 0$

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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