Máximo Entero (parte 4) – Ejercicios Resueltos

Ahora continuamos con lo expuesto en el post anterior.

Ejercicio 1. Si x\in[-1,1],\; hallar el valor de

    \[E=\left[\kern-0.29em\left[{\frac{|x|-2}{3-x}}\right]\kern-0.29em\kern-0.006em\right].\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 01 de máximo entero del post parte 4

En ambos casos:

1. De (1) a (3) se reemplazó el valor absoluto de x (Recuerde que |x| es igual a -x cuando x<0, e igual a x en caso contrario: x\geq0) y se dividió algebraicamente la fracción resultante.

2. De (4) a (10) se acotó el cociente obtenido entre corchetes en (3) entre los enteros más cercanos, partiendo de su correspondiente intervalo (caso).

3. De (10) a (11) se usó el teorema [4]. Luego como en ambos caso se obtiene lo mismo, el resultado es -1 para todo x en el intervalo [-1,1]

Un buen ejercicio puede ser encontrar una forma más corta de resolverlo. ¿Quién se anima a hacerlo?, tómenlo como un reto.


Ejercicio 2. Determinar por extensión el conjunto

    \[A=\{\left[\kern-0.15em\left[{3x-1}\right]\kern-0.15em\kern-0.006em\right]\;:\;x\in\left[0,1\right]\}\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 02 de máximo entero del post parte 4
En el paso (7), ubicado en la columna del lado derecho,
para n=-1,0,1 solo se cubrió el intervalo [0,1\rangle,
por lo que falta x=1,
es decir: x\in\{1\} cuando n=2.

Otra manera de verlo es:

Si n=2,\; entonces x\in\left[1,\frac{4}{3}\right\rangle\cap[0,1]=\{1\}\;\rightarrow\;x\in\{1\}


Ejercicio 3. Resolver la ecuación:

    \[\left[\kern-0.30em\left[{\frac{{\left| {x - 2} \right| + 3}}{2}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]=4\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 03 de máximo entero del post M.E. parte 4
intervalo solución de ejercicio resuelto con maximo entero, inecuaciones con mayor entero

Figura: conjunto solución de la inecuación con máximo entero


Ejercicio 4. Resolver la ecuación:

    \[[\![4x]\!] = 3x + 3\]

Solución
Resolución del ejercicio 04 de máximo entero parte 4

La igualdad (6) puede ser escrita más explícitamente de la siguiente manera

    \[3x = 9\;\,∨\;\,3x = 10\;\,∨\;\,3x = 11.\]

En el paso (7) el coeficiente 3 de la variable x dividió a los números 9, 10 y 11

    \[x=\frac{9}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{10}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{11}{3}.\]


Ejercicio 5. Resolver la inecuación:

    \[\newcommand{\mev}[2]{\left[\kern-#2em\left[ { #1 }\right]\kern-#2em\kern-0.006em\right]}\mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1\]

Solución

(1)   \begin{equation*} \mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1\end{equation*}


entonces, por el teorema [6] (de la parte 2) se tiene

(2)   \begin{equation*} x-\frac{2}{x} \geq 1\end{equation*}


restando “1” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo

(3)   \begin{equation*} \frac{ x^2-x-2}{x} \geq 0\end{equation*}


factorizando el numerador

(4)   \begin{equation*} \frac{(x-2)(x+1)}{x} \geq 0\end{equation*}

por el método de puntos críticos se sigue

    \[\newcommand{\qdr}{\;\;\;\blacksquare}\therefore\;\, x\in \left[-1, 0\right\rangle \cup \left[ {2,+\infty} \right\rangle\]

Rpta: \quad\boxed{\rule[-1.2mm]{0cm}{4mm}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle{-1, 0}\rangle \cup [{2,+\infty}\rangle\phantom{a} }\qdr

Ejercicio 6. Resolver la inecuación:

    \[\mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} \leq 2.\]

Solución

(1)   \begin{align*} \mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} &\leq 2  \end{align*}

entonces, por el teorema [8] (de la parte 2) se tiene

(2)   \begin{equation*} \frac{3+x}{4-x} < 2+1\end{equation*}


restando “3” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo de (2)

(3)   \begin{align*} \frac{4x-9}{x-4} &> 0\end{align*}

igualando a cero cada término

(4)   \begin{align*} 4x-9=0 \qquad,\qquad &x-4=0\\ \rightarrow\quad\qquad x=\frac{9}{4} \qquad,\qquad &x=4\end{align*}


por el método de puntos críticos (figura 2) se sigue

    \[\therefore\;\, x\in \left\langle {-\infty, \frac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle\]

Rpta: \quad\boxed{ \rule[-2.2mm]{0cm}{6mm} \phantom{a} \textrm{C.S.}=\left\langle {-\infty, \tfrac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle \phantom{a} }\qdr
inecuaciones con máximo entero conjunto solución
Figura 2: Conjunto solución para \frac{4x-9}{x-4} > 0

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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