Máximo Entero (parte 4) – Ejercicios Resueltos

Ahora continuamos con lo expuesto en el post anterior.

Ejercicio 1. Si x\in[-1,1],\; hallar el valor de

    \[E=\left[\kern-0.29em\left[{\frac{|x|-2}{3-x}}\right]\kern-0.29em\right].\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 01 de máximo entero del post parte 4

En ambos casos:

1. De (1) a (3) se reemplazó el valor absoluto de x (Recuerde que |x| es igual a -x cuando x<0, e igual a x en caso contrario: x\geq0) y se dividió algebraicamente la fracción resultante.

2. De (4) a (10) se acotó el cociente obtenido entre corchetes en (3) entre los enteros más cercanos, partiendo de su correspondiente intervalo (caso).

3. De (10) a (11) se usó el teorema [4]. Luego como en ambos caso se obtiene lo mismo, el resultado es -1 para todo x en el intervalo [-1,1]

Un buen ejercicio puede ser encontrar una forma más corta de resolverlo. ¿Quién se anima a hacerlo?, tómenlo como un reto.


Ejercicio 2. Determinar por extensión el conjunto

    \[A=\{\left[\kern-0.15em\left[{3x-1}\right]\kern-0.15em\right]\;:\;x\in\left[0,1\right]\}\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 02 de máximo entero del post parte 4
En el paso (7), ubicado en la columna del lado derecho,
para n=-1,0,1 solo se cubrió el intervalo [0,1\rangle,
por lo que falta x=1,
es decir: x\in\{1\} cuando n=2.

Otra manera de verlo es:

Si n=2,\; entonces x\in\left[1,\frac{4}{3}\right\rangle\cap[0,1]=\{1\}\;\rightarrow\;x\in\{1\}


Ejercicio 3. Resolver la ecuación:

    \[\left[\kern-0.30em\left[{\frac{{\left| {x - 2} \right| + 3}}{2}}\right]\kern-0.30em\right]=4\]

Solución
Resolución paso a paso del ejercicio 03 de máximo entero del post M.E. parte 4
intervalo solución de ejercicio resuelto con maximo entero, inecuaciones con mayor entero

Figura: conjunto solución de la inecuación con máximo entero


Ejercicio 4. Resolver la ecuación:

    \[[\![4x]\!] = 3x + 3\]

Solución
Resolución del ejercicio 04 de máximo entero parte 4

La igualdad (6) puede ser escrita más explícitamente de la siguiente manera

    \[3x = 9\;\,∨\;\,3x = 10\;\,∨\;\,3x = 11.\]

En el paso (7) el coeficiente 3 de la variable x dividió a los números 9, 10 y 11

    \[x=\frac{9}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{10}{3}\;\,∨\;\,x=\frac{11}{3}.\]


Ejercicio 5. Resolver la inecuación:

    \[\newcommand{\mev}[2]{\left[\kern-#2em\left[ { #1 }\right]\kern-#2em\right]}\mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1\]

Solución

(1)   \begin{equation*} \mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1\end{equation*}


entonces, por el teorema [6] (de la parte 2) se tiene

(2)   \begin{equation*} x-\frac{2}{x} \geq 1\end{equation*}


restando “1” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo

(3)   \begin{equation*} \frac{ x^2-x-2}{x} \geq 0\end{equation*}


factorizando el numerador

(4)   \begin{equation*} \frac{(x-2)(x+1)}{x} \geq 0\end{equation*}

por el método de puntos críticos se sigue

    \[\newcommand{\qdr}{\;\;\;\blacksquare}\therefore\;\, x\in \left[-1, 0\right\rangle \cup \left[ {2,+\infty} \right\rangle\]

Rpta: \quad\boxed{\rule[-1.2mm]{0cm}{4mm}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle{-1, 0}\rangle \cup [{2,+\infty}\rangle\phantom{a} }\qdr

Ejercicio 6. Resolver la inecuación:

    \[\mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} \leq 2.\]

Solución

(1)   \begin{align*} \mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} &\leq 2  \end{align*}

entonces, por el teorema [8] (de la parte 2) se tiene

(2)   \begin{equation*} \frac{3+x}{4-x} < 2+1\end{equation*}


restando “3” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo de (2)

(3)   \begin{align*} \frac{4x-9}{x-4} &> 0\end{align*}

igualando a cero cada término

(4)   \begin{align*} 4x-9=0 \qquad,\qquad &x-4=0\\ \rightarrow\quad\qquad x=\frac{9}{4} \qquad,\qquad &x=4\end{align*}


por el método de puntos críticos (figura 2) se sigue

    \[\therefore\;\, x\in \left\langle {-\infty, \frac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle\]

Rpta: \quad\boxed{ \rule[-2.2mm]{0cm}{6mm} \phantom{a} \textrm{C.S.}=\left\langle {-\infty, \tfrac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle \phantom{a} }\qdr
inecuaciones con máximo entero conjunto solución
Figura 2: Conjunto solución para \frac{4x-9}{x-4} > 0

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

4 Comments

  1. Salomon una consulta tecnica.

    Estoy aprendiendo lo basico de escritura simbolos.

    Busque para maximo entero y parte entera con el simbolo de 2 rayitas verticales a ambos lados de la expresion.

    No encontre en listado de simbolos en Latex. Vi que tu la ocupas en en tus desarrollos con maximo entero.

    Sera posible que me indiques en que parte encuentro el comando en Latex que entrega ese simbolo?

    Bueno, desde ya agradezco enormemente tu ayuda

    saludos cordiales Salomon

    Alberto

    1. @Añberto Hola, gracias por comentar. Cuando quiero escribir por ejemplo:

          $$\mev{x}{0.16}=n$$

      utilizo el siguiente código latex:
      $$[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n$$
      en donde 0.17em puede aumentarse o rebajarse a conveniencia.

      En mi país, para el máximo entero, usamos la notación del doble corchete $\mev{x}{0.16}$ pero internacionalmente se le denota por unas barras con ‘gancho’ hacia abajo tal que así

          $$\lfloor x\rfloor=n$$

      cuyo código latex es:
      $$\lfloor x \rfloor = n$$
      y se le conoce como “función piso” o “floor function”
      Saludos.

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