Máximo Entero (parte 3) – Ejercicios resueltos

teoremas del máximo entero, explicados paso a paso

Antes de ir a los ejercicios, se enunciarán y demostrarán los últimos cuatro teoremas

Teorema 13 (Conservación de la relación \leq entre números reales)

Visto como función el máximo entero es creciente, es decir, deja invariante la relación de orden, \leq

(1)   \begin{equation*}\begin{array}{c} \forall \; x,y \in\mathbb{R},\\[7pt] \textrm{si } {\color{bluer}{x\leq y}} \\ \textrm{entonces:}\\ {\color{bluer}{\mev{x}{0.15}\leq\mev{y}{0.15}}} \end{array}\end{equation*}

Ver demostración

    \[\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\ \textrm{(2)} & x\leq y & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\ \textrm{(3)} & [\![x]\!]\leq y & \small{\textrm{.. transitiva en (1) y (2)}} \\ \textrm{(4)} & [\![y]\!]\leq y < [\![y]\!]+1 & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\ \textrm{(5)} & [\![x]\!] < [\![y]\!]+1. & \small{\textrm{.. transitiva en (3) y (4)}} \\ \textrm{(6)} & \textrm{Si }[\![x]\!] > [\![y]\!] & \small{\textrm{.. redución al absurdo}} \\ \textrm{(7)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\ \textrm{(8)} & [\![y]\!] < x & \small{\textrm{.. transitiva (6) y (7)}} \\ \textrm{(9)} & y < x & \small{\textrm{.. teorema [7]}} \\ \textrm{(10)} & \therefore\;[\![x]\!]\leq[\![y]\!] & \small{\textrm{.. (6) es falsa}} \end{array}\]

\qquad Q.E.D.
Nota: El teorema [3] y [7] está en Mayor Entero (parte1)

Teorema 14

(2)   \begin{equation*}\begin{array}{c} \textrm{Si }\;\color{bluer}{n=x-\mev{x}{0.15}} \\ \textrm{entonces}\\ \color{bluer}{0\leq n <1} \end{array}\end{equation*}

Ver Demostración
Queda como ejercicio!
\qquad Q.E.D.

Teorema 15

Siendo {\color{awesome}{x,y\in\R}} y {\color{ao}{m\in\z}} números tales que {\color{amber}{x=y+m}}, entonces:

    \[\begin{array}{c} {\color{bluer}{0\leq y <1}} \\[6pt] \textrm{implica que }\\[6pt] \color{bluer}{\mev{x}{0.15}=m} \end{array}\]

Ver Demostración
Se propone como ejercicio!
\qquad Q.E.D.

Teorema 16

\textrm{Si }\,\;x\in\mathbb{R},\;m\in\mathbb{Z^+},\; \textrm{ entonces se cumple}

    \[\Bigg[\kern-0.39em\Bigg[{\frac{[\![x]\!]}{m}}\Bigg]\kern-0.39em\Bigg]=\bigg[\kern-0.36em\bigg[{\frac{x}{m}}\Bigg]\kern-0.36em\Bigg]\]

Ver Demostración

Ejercicios Resueltos

.
Ejercicio 1.  Hallar el valor de \left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right].

Resolución

    \[\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} & 4 < 6 < 9 & \small{\textrm{.. relación de orden en $\mathbb{Z}$}} \\ \textrm{(2)} & 2 < \sqrt{6} < 3 & \small{\textrm{.. extrayendo raíz cuadrada}} \\ \textrm{(3)} & 3 < \sqrt{6}+1 < 4 & \small{\textrm{.. sumando 1 a cada miembro}} \\ \textrm{(4)} & \frac{1}{4} < \frac{1}{\sqrt{6}+1} < \frac{1}{3} & \small{\textrm{.. invirtiendo cada miembro}} \\ \textrm{(5)} & \frac{3}{4} < \frac{3}{\sqrt{6}+1} < \frac{3}{3} & \small{\textrm{.. multiplicando por 3}} \\ \textrm{(6)} & \small{0.75}\displaystyle < \frac{3}{\sqrt{6}+1} < 1 & \small{\textrm{.. equivalencia en decimales}} \\ \textrm{(7)} & 0\leq\frac{3}{\sqrt{6}+1} < 1 & \small{\textrm{.. acotando entre enteros más próximos}} \\ \textrm{(8)} & \therefore\;\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right]=0 & \small{\textrm{.. por teorema [4]}} \end{array}\]

\quad Rpta: \;\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right]=0
.
Nota: El teorema [4] está en Mayor Entero (parte1) teorema n° 4 del máximo entero
.

Ejercicio 2.  Hallar el valor de \left[\kern-0.33em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.33em\right].

Resolución

    \[\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} & \frac{3-2\pi}{\pi+1}=-2+\frac{5}{\pi+1} & \small{\textrm{.. efectuando la división}} \\ \textrm{(2)} & \left[\kern-0.30em\left[{-2+\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\right] =-2+\left[\kern-0.29em\left[{\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.29em\right] & \small{\textrm{.. teorema [9]}} \\ \textrm{(3)} & 3 < \pi < 4 & \small{\textrm{.. acotando $\pi$}} \\ \textrm{(4)} & 4 < \pi+1 < 5 & \small{\textrm{.. restando 1 a cada miembro}}\\ \textrm{(5)} & \frac{1}{5} < \frac{1}{\pi+1} < \frac{1}{4} & \small{\textrm{.. invirtiendo cada miembro}} \\ \textrm{(6)} & \frac{5}{5} < \frac{5}{\pi+1} < \frac{5}{4} & \small{\textrm{.. multiplicando por 5}} \\ \textrm{(7)} & 1 < \frac{5}{\pi+1} < \scriptstyle{1.25} &\small{\textrm{.. equivalencia en decimales}} \\ \textrm{(8)} & 1\leq\frac{5}{\pi+1}<\scriptstyle{1.25}<2 &\small{\textrm{.. sustituyendo "$<$" por "$\leq$" $\;\,$..[*]}} \\ \textrm{(9)} & \left[\kern-0.29em\left[{\frac{5}{\pi-1}}\right]\kern-0.29em\right]=1 &\small{\textrm{.. teorema [4]}} \\ \textrm{(10)} & \left[\kern-0.30em\left[{-2+\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\right] =-2+1 & \small{\textrm{.. reemplazando (6) en (2)}} \\ \textrm{(11)} & \therefore\; \left[\kern-0.30em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\right]=-1 & \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (7)}} \end{array}\]

[*] La premisa (7) conlleva a (8), pues en leyes de inferencia: p implica p\vee q (ley aditiva). Entonces se sigue que 1<a implica 1\leq a para cualquier número a.
\quad Rpta: \left[\kern-0.30em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\right]=-1
Nota: El teorema [9] está en Máximo Entero (parte 2)
.

El resto de ejercicios continúan en el siguiente post.

⬇ Deja me gusta y comparte ⬇

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

4 Comments

    1. Para el tema de Máximo Entero puedes consultar Matemática Básica de Eduardo Espinoza Ramos, o Matemática Básica de Armando Venero. También hay uno de Análisis Matemático de Espinoza Ramos. En cuanto a libros digitales, puede ser Precálculo de James Stewart las ultimas ediciones, aunque eso es más para la parte de aplicaciones a la realidad, no hay mucha profundidad en la parte analítica. Bueno, eso te puedo alcanzar, gracias por comentar. Saludos.

Agregue un comentario

Su dirección de correo no se hará público. Los campos requeridos están marcados *

Abrir chat
1
Hola 👋🏻
¿Necesitas ayuda en tus exámenes online?
Consulta aquí.