Máximo Entero o Mayor Entero – parte 1

Miniatura personalizada de mi post Maximo Entero, Mayor entero

Un tema que he notado frecuente en cursos como matemática básica, pre-cálculo, o análisis matemático, es el que involucra a un operador que transforma números reales en números enteros de forma redondeada por defecto. Por ejemplo el número real 2.4 queda redondeado a 2, o también, el -6 es el máximo entero de -5.6, y así por el estilo.
Dicho operador es conocido con nombres como Mayor Entero, parte entera piso (floor function), o Máximo Entero que es como se llamará en este sitio. En las próximas publicaciones se presentarán definiciones, teoremas (fórmulas principales) con sus respectivas demostraciones, ejercicios de precálculo y ejercicios que involucran problemas de la vida cotidiana (aplicaciones del máximo entero en la vida real).


Definición 1 (El conjunto M_x)
Dado x\in \mathbb{R} entonces el conjunto M_x es el conjunto de todos los números enteros menores o iguales que x.

    \[M_x=\{n \in \mathbb{Z}\;|\; n\leq x \}\]

 
Observación.
Para cada x\in \mathbb{R} se cumple
  1. x es cota superior de M_x.
  2. M_x tiene supremo en \mathbb{R}, siempre que M_x \neq \phi.

Teorema 1
Para cada x\in \mathbb{R}, el conjunto M_x es siempre no vacío.

    \[M_x \neq \phi\]

Demostración

    \[\begin{array}{lll}&\textrm{PASOS}&\small{\textrm{RAZONES}} \\(1)& M_x=\phi & \small{\textsf{reducción al absurdo}} \\(2)& \sim\left[\exists\, n\in M_x\right] & \small{\textsf{definición de c. vacío}} \\(3)& \sim\left[\exists\, n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\right] & \small{\textsf{definición de $M_x$}} \\(4)& \forall\, n\in\mathbb{Z}\;|\;x<n & \small{\textsf{negación de $\exists$ y $\leq$ }} \\(5)& \textrm{$x$ es cota inferior de $\mathbb{Z}\neq\phi$} & \small{\textsf{definición de cota en $\mathbb{R}$}}  \\(6)& \exists\, v\in \mathbb{R}\;|\;v=\inf(\mathbb{Z}) &  \small{\textsf{propiedad del supremo}}\\(7)& \forall\, \epsilon>0\;,\;\exists\, m_\epsilon\in\mathbb{Z}\;|\;m_\epsilon<v+\epsilon & \small{\textsf{propiedad del supremo}}\\(8)& 1>0\;\rightarrow\;\exists\,m_1\in\mathbb{Z}\;|\;m_1<v+1& \small{\textrm{en particular $\epsilon=1$}} \\(9)& \exists\,(m_1-1)\in\mathbb{Z}\;|\;m_1-1<v& \small{\textsf{$\rightarrow$ $v$ no es cota inferior}}\\(10) & \therefore\;M_x\neq\phi & \small{\textsf{9) contradice a 5)}}\\\end{array}\]

Q.E.D.

Esta demostración es muy interesante, ya que puede verse la utilidad del axioma del supremo en \mathbb{R}


Habiéndose demostrado que M_x=\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\} es no vacío y acotado superiormente, se sigue por la propiedad del supremo en \mathbb{R} que existe el supremo de M_x y se denota por \left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right], esto es:

    \[\textrm{Para todo}\; x\in\mathbb{R}\;\;\textrm{existe}\;\;\sup(M_x)=[\kern-0.17em[ x]\kern-0.17em]\]


Teorema 2 (Propiedad Fundamental del M.E.)
Si x\in \mathbb{R} \scriptstyle\wedge M_x=\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\}, entonces [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=\sup(M_x) es el máximo valor de M_x. Es decir

    \[[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=\max{(M_x)}\]

Debido a que su demostración es complicada de escribirla aquí, la presentamos en la siguiente fotocaptura

maximo entero - demostración del teorema N° 02

Definición 2  El Máximo Entero (M.E.)
El supremo de un conjunto es llamado máximo valor cuando pertenece a dicho conjunto. Así [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em] es el máximo valor entero de M_x.
En adelante se le llamará Máximo Entero de x\in\mathbb{R}, así se tiene la siguiente:


Definición 3.
Para cada número real x, su máximo entero está determinado por

    \[\begin{array}{r@{}c@{}l} \mev{x}{0.15} &=& \max\{n\in\z\;|\;n\leq x\} \\[5pt] \mev{x}{0.15} &=& \max(M_x) \\ \end{array}\]


Teorema 3 (Teorema principal del M.E., primera versión)
Para todo x\in \mathbb{R} se cumple: \quad[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq x<[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]+1.

Demostración

maximo entero - demostración del teorema N° 03 (principal)

Al teorema 3 lo he llamado teorema principal del máximo entero, debido a la gran frecuencia con que suele utilizarse en la resolución de diversos problemas de números reales, en matemática básica o análisis matemático.
Una versión práctica, y equivalente, de dicho teorema es el siguiente.


Teorema 4 (Segunda versión del Teorema 3)
Para todo x\in \mathbb{R}, la ecuación ‘[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n‘ es equivalente a escribir ‘x\in[n,n+1\rangle‘ es decir:

    \[\forall \,x\in\mathbb{R}\;,\quad[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n\quad \Leftrightarrow \quad n \leq x < n+1.\]

La demostración es, obviamente, casi igual que el de la primera versión. Y viene a ser la imagen de portada que elegí para este post.


La teoría complementaria y los ejercicios explicativos de M.E. continúan en el siguiente post.


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

7 Comments

  1. En el teorema principal del máximo entero, no logro ver como el paso (1) y (5) se unen.
    En el paso (5) demuestras que [x]-1<x, pero se necesita que demuestres que x<[x]+1.

    1. Hola Carlos. Tienes razón, debo corregir la demostración (en breve lo haré).
      Para demostrar que x < [x]+1 puede hacerse por el absurdo, con lo cual suponemos: [x] +1 ≤ x. Esto último me indica que [x] +1 ∈ Mx (por definición de Mx). Como [x] es el supremo de los Mx y [x] + 1 ∈ Mx , se cumplirá que: [x] + 1 < [x]. Esto implicaría 1 < 0, lo cual es absurdo. Por tanto deberá cumplirse x < [x]+1, porque [x] +1 ≤ x me conduce a 1 ≤ 0 (una falsedad). Gracias por tu importante observación. Éxitos.

    1. @Arnold Fernández Hola, gracias por comentar. Cuando quiero escribir por ejemplo:

          $$[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n$$

      utilizo el siguiente código latex:
      $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n$,
      en donde 0.17em puede aumentarse o rebajarse a conveniencia. Saludos.

    1. Hola Luis, gracias por preguntar.
      La estructura de los teoremas es condicional, hay un antecedente (Hipótesis) y un consecuente (Tesis).
      Entonces sí, sí se podrían escribir en lenguaje simbólico de lógica proposicional.
      Y hay veces que la Tesis es un compuesto de otras estructuras lógicas como el bicondicional “si y solo si”.
      Las formas de demostrar los teoremas varian. Por ejemplo cuando demuestras la “ida y vuelta” del “si y solo si”, la forma “clasica condicional” (partir del antecedente y llegar al consecuente), o la “reducción al absurdo”.
      Con respecto a las definiciones, éstas no se demuestran y siempre son del tipo si y solo si. En ese sentido son como los axiomas.

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