Inecuaciones con máximo entero | Matemática Universitaria

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Antes de resolver algunos ejercicios de inecuaciones con máximo entero en este post, revisaremos un teorema que es algo frecuente en inecuaciones con números reales.

Teorema 1

${\color{white}{ \underset{.}{\overset{|}{\overset{|}{\overset{|}{|}}}}} }$ Para todo $a\in\mathbb{R}$ y para todo $b>0$ se sabe

$\boxed{ \begin{array}{c} \boldsymbol{a^2 < b}\\[9pt] \color{blue}{ \textrm{sii y solo si} }\\[9pt] \boldsymbol{ -\sqrt{b} < a < \sqrt{b} } \end{array} }$

La importancia de este teorema está en que podemos deshacernos de un exponente cuadrático. Y así convertir la inecuación en formas de inecuación más conocidas para el mayor entero. Lo aplicaremos en el ejercicio 01.

Hallar el conjunto solución de las siguientes ejercicios

Ejercicio 1

${\mev{\sqrt{4+3x-x^2}}{0.28}}^2 < 4$

Resolución

(1) $\begin{equation*} \left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\right]^2 <4 \end{equation*}$

entonces, por el Teorema 1 se tiene ${\color{white}{ \underset{|}{.} }}$

$-2<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\right]<2\ \;{\color{blue}{\ldots(2)}}$

Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R}^{+}_0,$ implica $0\leq{\big[\kern-0.25em\big[ {\sqrt{a} \big]\kern-0.25em\big]},{\color{white}{ \underset{.}{\underset{.}{.}} }}$ entonces

$\begin{equation*} 0\leq\left[\kern-0.30em\left[{\sqrt{4+3x-x^2}}\right]\kern-0.30em\right]<2\;\,{\color{blue}{\ldots(3)}} \end{equation*}$

entonces, por los teoremas [6] y [7] se tiene

(4) $\begin{equation*} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}<2 \end{equation*}$

elevando al cuadrado a los tres los miembros

(5) $\begin{equation*} 0\leq 4+3x-x^2 < 4 \end{equation*}$

resolviendo ambas desigualdades

$\begin{align*} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\qquad{\color{blue}{\ldots(6)}}\\ (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\qquad{\color{blue}{\ldots(7)}}\\ x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle\;{\color{blue}{\ldots(8)}} \end{align*}$

Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

Ejercicio 2

$\mev{x}{0.14}^4 -8\mev{x}{0.14}^2+7\geq 0$

Resolución

Sea $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em],\quad m \in \mathbb{Z}\;$ entonces la inecuación es

(1) $\begin{align*} &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0 \end{align*}$

factorizando se tiene

$(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0\;{\color{blue}{\ldots(2)}}$

Por el método de los puntos críticos

$m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7}\;{\color{blue}{\ldots(3)}}$

de la figura de abajo se sigue

$m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle \;{\color{blue}{\ldots(4)}}$

lo cual genera 3 casos:

1. Cuando $m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}$ , entonces

$\begin{align*} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\leq-3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq -3\quad\quad{\color{blue}{\ldots(5)}}\\ &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \;{\color{blue}{\ldots(6)}}\\ &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}\quad\qquad\;{\color{blue}{\ldots(7)}} \end{align*}$

en (5) se escribió $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq-3$ porque $-3$ es el entero más cercano que sea menor que $-\sqrt{7}.$
.
2. Cuando $m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\;$ y $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]$ , entonces

(8) $\begin{align*} &-1\leq[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}\end{align*}$

3. Cuando $m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}\;$ , entonces

(10) $\begin{align*} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\geq3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\geq3\\\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}\end{align*}$

reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)

$\begin{align*}&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.\end{align*}$

En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7] $\,$ y $\,$ [8].

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

conjunto solución de inecuacion con máximo entero — Posibles valores de $m$ cuando $m^4-8m^2+7 \geq 0$ , y $m\in\mathbb{Z}$

Ejercicio 3

$\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -\frac{13}{5}$

Ver Resolución

Como $-\frac{13}{5}=-2.6$ , entonces la desigualdad puede escribirse así

(1) $\begin{equation*} \left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -2.6 \end{equation*}$

y como $-2.6 < -2$ , entonces por transitividad se tendrá

(2) $\begin{align*} &\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -2 \end{align*}$

aplicando el teorema [7] se eliminan los delimitadores

(3) $\begin{align*} & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*}$

multiplicando ambos lados por $(-1)$

(4) $\begin{align*} \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\ \tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\ \tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\ \tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0 \end{align*}$

ahora solo queda hacer $|x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1$ , y de este punto crítico se originan dos casos. . 1. Cuando $x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1,$ entonces

(a1) $\begin{align*} \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\ \tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\ \tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\ \tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle & \end{align*}$

pero eso último debe intersectarse con $x < 1$ , así se tiene que la primera solución parcial es $S_1=\emptyset.$ Ahora veamos el siguiente caso. . 2. Cuando $x \geq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1,$ entonces

(b1) $\begin{align*} \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\ \tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*}$

pero eso último debe intersectarse con $x \geq 1$ , así se tiene que la segunda solución parcial es $S_2=\langle 3,4 \rangle$ . Finalmente la solución total es

$C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle$