Máximo Entero (parte 5) – Ejercicios Resueltos

\begin{align*} \tag{1} \mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}^2& <4 \end{align*} entonces, por el teorema [1] se tiene \begin{align*} \tag{2} -2<\mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}&<2 \end{align*} Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R^{+}_0},\,\;\;\rightarrow\,\;\;0\leq\mew{\sqrt{a\vphantom{x^a_{a}}}\,}{0.25}$, entonces \begin{align*} \tag{3} 0\leq\mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}&<2 \end{align*} entonces, por los teoremas [6] y [7] de la parte 2 se tiene \begin{align*} \tag{4} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}&<2 \end{align*} elevando al cuadrado a los tres los miembros \begin{align*} \tag{5} 0\leq 4+3x-x^2 & < 4 \end{align*} resolviendo ambas desigualdades \begin{align*} \tag{6} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\\ \tag{7} (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\\ \tag{8} x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle. \end{align*} Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)

Sea $\;m=\mev{x}{0.15},\quad m \in \Z\;$ entonces la inecuación es
\begin{align*}
\tag{1} &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0
\end{align*} factorizando se tiene
\begin{align*}
\tag{2} &\quad(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0.
\end{align*} por el método de los puntos críticos
\begin{align*}
\tag{3} &\;\;m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7}
\end{align*} de la figura de abajo se sigue
\begin{align*}
\tag{4} &\quad m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle\\
\end{align*}

1. Cuando $m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\;$ y $\,m\in\Z$, entonces
\begin{align*}
\tag{5} \mev{x}{0.15}&=m\leq-3\;\rightarrow\;\mev{x}{0.15}\leq -3\\
\tag{6} &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \\
\tag{7} &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}
\end{align*} en (5) se escribió $\mev{x}{0.15}\leq-3$ porque $-3$ es el entero más cercano que sea menor que $-\sqrt{7}.$
.
2. Cuando $m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\;$ y $\;m=\mev{x}{0.15}$, entonces
\begin{align*}
\tag{8} &-1\leq\mev{x}{0.15}\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\
\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}
\end{align*} 3. Cuando $m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\;$ y $\,m\in\Z\;$, entonces
\begin{align*}
\tag{10} \mev{x}{0.15}&=m\geq3\;\rightarrow\;\mev{x}{0.15}\geq3\\
\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}
\end{align*} reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)
\begin{align*}
&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.
\end{align*}
En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7]$\,$ y $\,$[8] de la parte 2.

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\qdr$

Figura: Posibles valores de $\phantom{a}m\phantom{a}$ cuando $\phantom{a}m^4-8m^2+7 \geq 0$, $\phantom{a}$ y $\phantom{a}$ $m\in\Z$

Como $-\frac{13}{5}=-2.6$, entonces la desigualdad puede escribirse así
\begin{align*}
\tag{1} &\mev{ \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }{0.32} < -2.6
\end{align*}
y como $-2.6 < -2$, entonces por transitividad se tendrá
\begin{align*}
\tag{2} &\mev{ \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }{0.32} < -2
\end{align*}
aplicando el teorema [7] de la parte 2 se eliminan los delimitadores
\begin{align*}
\tag{3} & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*} multiplicando ambos lados por $(-1)$ \begin{align*} \tag{4} \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\
\tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\
\tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\
\tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0
\end{align*} ahora solo queda hacer $|x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1$, y de este punto crítico se originan dos casos.
.
1. Cuando $x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1,$ entonces \begin{align*} \tag{a1} \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\
\tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\
\tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\
\tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\
\tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle &
\end{align*}
pero eso último debe intersectarse con $x < 1$, así se tiene que la primera solución parcial es $S_1=\emptyset.$ Ahora veamos el siguiente caso.
.
2. Cuando $x \geq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1,$ entonces
\begin{align*}
\tag{b1} \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\
\tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\
\tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x \geq 1$, así se tiene que la segunda solución parcial es $S_2=\langle 3,4 \rangle$. Finalmente la solución total es
$$C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle$$