Máximo Entero (parte 5) – Ejercicios Resueltos

inecuaciones con mayor entero, funcion parte entera, ecuaciones

Antes de resolver algunos ejercicios de inecuaciones con máximo entero en este post, revisaremos un teorema que es algo frecuente en inecuaciones con números reales.

Teorema 1

{\color{white}{ \underset{.}{\overset{|}{\overset{|}{\overset{|}{|}}}}}  } Para todo a\in\mathbb{R} y para todo b>0 se sabe

    \[\boxed{ \begin{array}{c} \boldsymbol{a^2 < b}\\[9pt] \color{blue}{ \textrm{sii y solo si} }\\[9pt] \boldsymbol{ -\sqrt{b} < a < \sqrt{b} } \end{array}          }\]

La importancia de este teorema está en que podemos deshacernos de un exponente cuadrático. Y así convertir la inecuación en formas de inecuación más conocidas para el mayor entero. Lo aplicaremos en el ejercicio 01.

Hallar el conjunto solución de las siguientes ejercicios

Ejercicio 1

    \[{\mev{\sqrt{4+3x-x^2}}{0.28}}^2 < 4\]

Resolución

(1)   \begin{equation*}  \left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\right]^2 <4 \end{equation*}

entonces, por el Teorema 1 se tiene {\color{white}{ \underset{|}{.} }}

    \[-2<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\right]<2\ \;{\color{blue}{\ldots(2)}}\]

Como: 0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R}^{+}_0, implica 0\leq{\big[\kern-0.25em\big[ {\sqrt{a} \big]\kern-0.25em\big]},{\color{white}{ \underset{.}{\underset{.}{.}} }} entonces

    \begin{equation*} 0\leq\left[\kern-0.30em\left[{\sqrt{4+3x-x^2}}\right]\kern-0.30em\right]<2\;\,{\color{blue}{\ldots(3)}} \end{equation*}

entonces, por los teoremas [6] y [7] se tiene

(4)   \begin{equation*}  0\leq \sqrt{4+3x-x^2}<2  \end{equation*}

elevando al cuadrado a los tres los miembros

(5)   \begin{equation*}   0\leq 4+3x-x^2 < 4  \end{equation*}

resolviendo ambas desigualdades

    \begin{align*}  4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\qquad{\color{blue}{\ldots(6)}}\\  (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\qquad{\color{blue}{\ldots(7)}}\\  x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle\;{\color{blue}{\ldots(8)}}  \end{align*}

Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)
\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare

Ejercicio 2

    \[\mev{x}{0.14}^4 -8\mev{x}{0.14}^2+7\geq 0\]

Resolución
Sea \;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em],\quad m \in \mathbb{Z}\; entonces la inecuación es

(1)   \begin{align*}  &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0 \end{align*}

factorizando se tiene

    \[(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0\;{\color{blue}{\ldots(2)}}\]

Por el método de los puntos críticos

    \[m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7}\;{\color{blue}{\ldots(3)}}\]

de la figura de abajo se sigue

    \[m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle \;{\color{blue}{\ldots(4)}}\]

lo cual genera 3 casos:

1. Cuando m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\; y \,m\in\mathbb{Z}, entonces

    \begin{align*} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\leq-3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq -3\quad\quad{\color{blue}{\ldots(5)}}\\ &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \;{\color{blue}{\ldots(6)}}\\ &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}\quad\qquad\;{\color{blue}{\ldots(7)}} \end{align*}

en (5) se escribió [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq-3 porque -3 es el entero más cercano que sea menor que -\sqrt{7}.
.
2. Cuando m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\; y \;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em], entonces

(8)   \begin{align*} &-1\leq[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}\end{align*}

3. Cuando m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\; y \,m\in\mathbb{Z}\;, entonces

(10)   \begin{align*} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\geq3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\geq3\\\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}\end{align*}

reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)

    \begin{align*}&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.\end{align*}

En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7]\, y \,[8].

\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare

conjunto solución de inecuacion con máximo entero
Posibles valores de m cuando m^4-8m^2+7 \geq 0, y m\in\mathbb{Z}

Ejercicio 3

    \[\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -\frac{13}{5}\]

Ver Resolución
Como -\frac{13}{5}=-2.6, entonces la desigualdad puede escribirse así

(1)   \begin{equation*}  \left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -2.6 \end{equation*}

y como -2.6 < -2, entonces por transitividad se tendrá

(2)   \begin{align*}  &\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\right] < -2 \end{align*}

aplicando el teorema [7] se eliminan los delimitadores

(3)   \begin{align*}  & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*}

multiplicando ambos lados por (-1)

(4)   \begin{align*}  \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\ \tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\ \tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\ \tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0 \end{align*}

ahora solo queda hacer |x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1, y de este punto crítico se originan dos casos. . 1. Cuando x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1, entonces

(a1)   \begin{align*}  \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\ \tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\ \tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\ \tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle & \end{align*}

pero eso último debe intersectarse con x < 1, así se tiene que la primera solución parcial es S_1=\emptyset. Ahora veamos el siguiente caso. . 2. Cuando x \geq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1, entonces

(b1)   \begin{align*}  \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\ \tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*}

pero eso último debe intersectarse con x \geq 1, así se tiene que la segunda solución parcial es S_2=\langle 3,4 \rangle. Finalmente la solución total es

    \[C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle\]

\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \textrm{C.S.}=\langle 3,4 \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare

Siguiente publicación: Aplicaciones del Máximo Entero en la vida real



⬇ Deja me gusta y comparte ⬇

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

Agregue un comentario

Su dirección de correo no se hará público. Los campos requeridos están marcados *

Abrir chat
1
Hola 👋🏻
¿Necesitas ayuda en tus exámenes online?
Consulta aquí.