Máximo Entero (parte 5) – Ejercicios Resueltos

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Antes de resolver algunos ejercicios de inecuaciones con máximo entero en este post, revisaremos un teorema que es algo frecuente en inecuaciones con números reales.

Teorema 1. Para todo $a\in\mathbb{R}$ y para todo $b>0$ se tiene: \begin{equation*}\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a}a^2 < b\quad\Leftrightarrow\quad -\sqrt{b} < a <\sqrt{b} \phantom{a} }\end{equation*}
.

A continuación los ejercicios.

Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

Ejercicio 1. $$\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 < 4$$
Resolución
\begin{equation} \tag{1} \left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 <4 \end{equation} entonces, por el teorema [1] se tiene \begin{equation} \tag{2} -2<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R}^{+}_0, \,\;\;\rightarrow\,\;\; 0\leq{\big[\kern-0.25em\big[ {\sqrt{a\vphantom{x^a_{a}}}\,} \big]\kern-0.25em\kern-0.006em\big]},$ entonces \begin{equation} \tag{3} 0<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} entonces, por los teoremas [6] y [7] de la parte 2 se tiene \begin{equation} \tag{4} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}<2 \end{equation} elevando al cuadrado a los tres los miembros \begin{equation} \tag{5} 0\leq 4+3x-x^2 < 4 \end{equation} resolviendo ambas desigualdades \begin{align*} \tag{6} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\\ \tag{7} (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\\ \tag{8} x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle. \end{align*} Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

Ejercicio 2. $$\left[\kern-0.15em\left[ { x }\right]\kern-0.15em\kern-0.006em\right]^4-8\left[\kern-0.15em\left[ { x }\right]\kern-0.15em\kern-0.006em\right]^2+7\geq 0$$
Resolución
Sea $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em],\quad m \in \mathbb{Z}\;$ entonces la inecuación es \begin{align*} \tag{1} &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0 \end{align*} factorizando se tiene \begin{align*} \tag{2} &\quad(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0. \end{align*} por el método de los puntos críticos \begin{align*} \tag{3} &\;\;m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7} \end{align*} de la figura de abajo se sigue \begin{align*} \tag{4} &\quad m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle \end{align*} esto genera 3 casos:

1. Cuando $m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}$, entonces
\begin{align*}
\tag{5} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\leq-3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq -3\\
\tag{6} &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \\
\tag{7} &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}
\end{align*} en (5) se escribió $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq-3$ porque $-3$ es el entero más cercano que sea menor que $-\sqrt{7}.$
.
2. Cuando $m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\;$ y $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]$, entonces
\begin{align*}
\tag{8} &-1\leq[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\
\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}
\end{align*} 3. Cuando $m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}\;$, entonces
\begin{align*}
\tag{10} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\geq3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\geq3\\
\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}
\end{align*} reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)
\begin{align*}
&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.
\end{align*}
En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7]$\,$ y $\,$[8] de la parte 2.

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

gráfica de los posibles valores del entero $m$
Figura: Posibles valores de $\phantom{a}m\phantom{a}$ cuando $\phantom{a}m^4-8m^2+7 \geq 0$, $\phantom{a}$ y $\phantom{a}$ $m\in\mathbb{Z}$

Ejercicio 3. $$\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -\frac{13}{5}$$
Resolución
Como $-\frac{13}{5}=-2.6$, entonces la desigualdad puede escribirse así \begin{equation} \tag{1} \left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -2.6 \end{equation} y como $-2.6 < -2$, entonces por transitividad se tendrá \begin{align*} \tag{2} &\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -2 \end{align*} aplicando el teorema [7] de la parte 2 se eliminan los delimitadores \begin{align*} \tag{3} & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*} multiplicando ambos lados por $(-1)$ \begin{align*} \tag{4} \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\ \tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\ \tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\ \tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0 \end{align*} ahora solo queda hacer $|x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1$, y de este punto crítico se originan dos casos. . 1. Cuando $x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1,$ entonces \begin{align*} \tag{a1} \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\ \tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\ \tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\ \tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle & \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x < 1$, así se tiene que la primera solución parcial es $S_1=\emptyset.$ Ahora veamos el siguiente caso. . 2. Cuando $x \geq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1,$ entonces \begin{align*} \tag{b1} \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\ \tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x \geq 1$, así se tiene que la segunda solución parcial es $S_2=\langle 3,4 \rangle$. Finalmente la solución total es $$C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle$$
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle 3,4 \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

Siguiente publicación: Aplicaciones del Máximo Entero en la vida real


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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