Máximo Entero (parte 5) – Ejercicios Resueltos

inecuaciones con mayor entero, funcion parte entera, ecuaciones

Antes de resolver algunos ejercicios de inecuaciones con máximo entero en este post, revisaremos un teorema que es algo frecuente en inecuaciones con números reales.

Teorema 1. Para todo $a\in\mathbb{R}$ y para todo $b>0$ se tiene: \begin{equation*}\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a}a^2 < b\quad\Leftrightarrow\quad -\sqrt{b} < a <\sqrt{b} \phantom{a} }\end{equation*}

A continuación los ejercicios.

Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

Ejercicio 1. $$\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 < 4$$
Resolución
\begin{equation} \tag{1} \left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 <4 \end{equation} entonces, por el Teorema 1 se tiene \begin{equation} \tag{2} -2<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R}^{+}_0, \,\;\;\rightarrow\,\;\; 0\leq{\big[\kern-0.25em\big[ {\sqrt{a\vphantom{x^a_{a}}}\,} \big]\kern-0.25em\kern-0.006em\big]},$ entonces \begin{equation} \tag{3} 0<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} entonces, por los teoremas [6] y [7] se tiene \begin{equation} \tag{4} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}<2 \end{equation} elevando al cuadrado a los tres los miembros \begin{equation} \tag{5} 0\leq 4+3x-x^2 < 4 \end{equation} resolviendo ambas desigualdades \begin{align*} \tag{6} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\\ \tag{7} (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\\ \tag{8} x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle. \end{align*} Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

A continuación los ejercicios.

Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

Ejercicio 1. $$\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 < 4$$
Resolución
\begin{equation} \tag{1} \left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]^2 <4 \end{equation} entonces, por el Teorema 1 se tiene \begin{equation} \tag{2} -2<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R}^{+}_0, \,\;\;\rightarrow\,\;\; 0\leq{\big[\kern-0.25em\big[ {\sqrt{a\vphantom{x^a_{a}}}\,} \big]\kern-0.25em\kern-0.006em\big]},$ entonces \begin{equation} \tag{3} 0<\left[\kern-0.30em\left[ {\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]<2 \end{equation} entonces, por los teoremas [6] y [7] se tiene \begin{equation} \tag{4} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}<2 \end{equation} elevando al cuadrado a los tres los miembros \begin{equation} \tag{5} 0\leq 4+3x-x^2 < 4 \end{equation} resolviendo ambas desigualdades \begin{align*} \tag{6} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\\ \tag{7} (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\\ \tag{8} x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle. \end{align*} Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

Ejercicio 3. $$\newcommand{\mev}[2]{\left[\kern-#2em\left[ { #1 }\right]\kern-#2em\kern-0.006em\right]} \mev{x}{0.14}^4 -8\mev{x}{0.14}^2+7\geq 0$$
Resolución
Sea $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em],\quad m \in \mathbb{Z}\;$ entonces la inecuación es \begin{align*} \tag{1} &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0 \end{align*} factorizando se tiene \begin{align*} \tag{2} &\quad(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0. \end{align*} por el método de los puntos críticos \begin{align*} \tag{3} &\;\;m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7} \end{align*} de la figura de abajo se sigue \begin{align*} \tag{4} &\quad m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle \end{align*} esto genera 3 casos:

1. Cuando $m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}$, entonces
\begin{align*}
\tag{5} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\leq-3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq -3\\
\tag{6} &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \\
\tag{7} &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}
\end{align*} en (5) se escribió $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq-3$ porque $-3$ es el entero más cercano que sea menor que $-\sqrt{7}.$
.
2. Cuando $m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\;$ y $\;m=[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]$, entonces
\begin{align*}
\tag{8} &-1\leq[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\
\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}
\end{align*} 3. Cuando $m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\;$ y $\,m\in\mathbb{Z}\;$, entonces
\begin{align*}
\tag{10} [\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=m\geq3\;\rightarrow\;[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\geq3\\
\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}
\end{align*} reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)
\begin{align*}
&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.
\end{align*}
En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7]$\,$ y $\,$[8].

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

gráfica de los posibles valores del entero $m$
Figura: Posibles valores de $\phantom{a}m\phantom{a}$ cuando $\phantom{a}m^4-8m^2+7 \geq 0$, $\phantom{a}$ y $\phantom{a}$ $m\in\mathbb{Z}$

Ejercicio 4. $$\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -\frac{13}{5}$$
Resolución
Como $-\frac{13}{5}=-2.6$, entonces la desigualdad puede escribirse así \begin{equation} \tag{1} \left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -2.6 \end{equation} y como $-2.6 < -2$, entonces por transitividad se tendrá \begin{align*} \tag{2} &\left[\kern-0.32em\left[ { \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }\right]\kern-0.32em\kern-0.006em\right] < -2 \end{align*} aplicando el teorema [7] se eliminan los delimitadores \begin{align*} \tag{3} & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*} multiplicando ambos lados por $(-1)$ \begin{align*} \tag{4} \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\ \tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\ \tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\ \tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0 \end{align*} ahora solo queda hacer $|x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1$, y de este punto crítico se originan dos casos. . 1. Cuando $x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1,$ entonces \begin{align*} \tag{a1} \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\ \tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\ \tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\ \tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle & \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x < 1$, así se tiene que la primera solución parcial es $S_1=\emptyset.$ Ahora veamos el siguiente caso. . 2. Cuando $x \geq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1,$ entonces \begin{align*} \tag{b1} \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\ \tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\ \tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x \geq 1$, así se tiene que la segunda solución parcial es $S_2=\langle 3,4 \rangle$. Finalmente la solución total es $$C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle$$
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle 3,4 \rangle \phantom{a} }\;\;\;\blacksquare$

Siguiente publicación: Aplicaciones del Máximo Entero en la vida real


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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