Ecuación de Onda – Ejerc 01

Desplazamiento oscilatorio de una cuerda, análisis del movimiento ondulatorio de una cuerda, ecuación de la onda.

Repaso

Vamos primero a puntualizar la teoría expuesta en el post Ecuación de Onda y luego lo aplicaremos a un ejercicio concreto.

Aviso ⚠
Para quienes ven esto desde un smartphone, algunas ecuaciones son largas y se “auto recortan” al ancho de pantalla. Puede hacer “scroll” sobre ellas con su propia función táctil y así ver la porción invisible. O girar la pantalla y verlas completamente en forma horizontal.

 Se define la ecuación de la onda para una cuerda de longitud L por:

(0.1)   \[\begin{array}{c} \dvc\bm{a^2 u_{\color{bluer}{xx}} = u_{\color{magenta}{tt}}}\,,\dvc\\[9pt] \left\{ \begin{array}{ll} {\color{bluer}{x}}\in\mathbb{R},&\; 0 < {\color{bluer}{x}} < L,\\ {\color{magenta}{t}}\in\mathbb{R},&\; {\color{magenta}{t}} > 0.\\ \end{array} \right. \end{array}\]

ésta describe la forma que posee una cuerda (por ejemplo, una de guitarra) al vibrar, pero además está sujeta a condiciones de frontera:

(0.2)   \begin{equation*} \left\{     \begin{array}{r} u(0,{\color{magenta}{t}}) = 0\\ u(L,{\color{magenta}{t}}) = 0     \end{array} \right. , \quad  {\color{magenta}{t}} > 0   \end{equation*}

y a las condiciones iniciales:

    \begin{equation*}\label{3} \left\{\begin{array}{r} u({\color{bluer}{x}},0) = f({\color{bluer}{x}})\\[0.10cm] {\left. \frac{\partial u}{\partial {\color{magenta}{t}}} \right|_{{\color{magenta}{t}}=0}}({\color{bluer}{x}},0) = g({\color{bluer}{x}}) \end{array}\right. ,\quad 0 < {\color{bluer}{x}} < L\;\,{\color{teal}{\ldots\bm{(0.3)}} \end{equation*}

En el bloque de ecuaciones (0.3) la identidad u(x,0) = f(x)\, indica que la posición inicial de la cuerda está determinada por una función dada f(x) de la cuerda vibrante, y la ecuación {u_t}(x,0) = g(x) que es la rapidez inicial de dicha cuerda está determinada por otra función dada .
Las ecuaciones (0.2) dicen que los extremos están fijos a la misma altura referencial y = 0.
El término a^2 presente en (0.1) es el cociente entre la densidad lineal (\rho) de la cuerda y la tensión de la misma (T), ambas magnitudes, evidentemente, son constantes.

    \[a^2=\frac {T}{\rho}\]

Por ende la solución está en términos de a.
La solución de la ecuación de la onda, sujeta a las condiciones iniciales y de frontera, está dada por:

    \[{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\;\,{\color{teal}{\ldots\bm{(0.4)}}\]

Con respecto a su demostración. Como ya he dicho, se expuso todo en el post Ecuación de Onda.

Las constantes A_n y B_n están dadas por las siguientes integrales:

    \[{A_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\;\,{\color{teal}{\ldots\bm{(0.5)}}\]

    \[{B_n} = \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\;\,{\color{teal}{\ldots\bm{(0.6)}}\]

Entonces, básicamente se trata de calcular dichas integrales a partir de los valores de frontera que nos proporcionen los ejercicios. Aquí se presentan algunos de ellos.

Ejercicios Resueltos

En esta y las siguientes publicaciones se presentaran ejercicios ilustrativos del tipo “resuelva la ecuación de la onda dada, sujeta a las condiciones dadas”.

Ejercicio 01. 

{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \;  0 < x < L, \; t > 0 sujeto a:

    \[u(0,t) = 0,\; u(L,t) = 0,\; t > 0\]

    \begin{equation*}\left\{ \begin{align*} u(x,0)     &= \frac{1}{4}x\left( {L - x} \right),\\ {u_t}(x,0) &= 0,\quad 0 < x < L \end{align*}\right.\end{equation*}

Resolución:

Por dato, se observa que f(x) = \frac{1}{4}x\left( {L - x} \right), g(x) = 0.
Y, de acuerdo con la fórmula (0.4), la solución es:

    \[{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\]

donde los A_n y los B_n para todo n = 1,\,2,\,\,3, \ldots están dados por:

    \begin{equation*}\begin{align*}{B_n}&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^1 {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{{n\pi a}}0 \cdot (1 - 0)\end{align*}\end{equation*}

entonces, para todo número n entero:

    \[\boxed{B_n = 0}\]

Calculando ahora los coeficientes A_n para cada entero n:

    \begin{equation*}\begin{align*}{A_n} &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\& = \frac{2}{L}\int\limits_0^{L/2} {\frac{1}{4}x\left( {L - x} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \,{\text{d}}x \\& = \frac{2}{L} \cdot \frac{{n\,{\pi}\,{L^3}}}{{48}}\end{align*}\end{equation*}

encontrando que, para todo n entero:

    \[\boxed{A_n=\frac{n\,\pi L^2}{24}}\]

Ahora, reemplazando A_n y B_n en la fórmula (0.4), se tiene:

    \begin{equation*}\begin{align*}u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\\&= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{n\,{\pi}\,{L^2}}}{{24}} \cdot \cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right) + 0 \cdot } \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\end{align*}\end{equation*}

Por lo tanto:

    \[\boxed{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{n\,{\pi}\,{L^2}}}{{24}} \cdot \,\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} }\]


con 0 < x < L,\,  y con  \,t > 0, es la solución pedida.

⇑ Respuesta ⇑

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 02


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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