Ecuación de Onda – Ejerc 01

Vamos primero a puntualizar la teoría expuesta en el post Ecuación de Onda y luego lo aplicaremos a un ejercicio concreto.

 Se define la ecuación de la onda para una cuerda de longitud $L$ por:

$$\boxed{ {a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}\quad,\quad \left\{
\begin{aligned}
& \forall\,x\in\mathbb{R},\; 0 < x < L,\\
& \forall\,t\in\mathbb{R},\; t > 0.
\end{aligned}
\right.}\tag{0.1}$$

ésta describe la forma que posee una cuerda (por ejemplo, una de guitarra) al vibrar, pero además está sujeta a condiciones de frontera:

$$\left\{
\begin{aligned}
&u(0,t) = 0,\\
& u(L,t) = 0
\end{aligned}
\right. \quad ; \quad \forall\,t\in\mathbb{R},\;t > 0.\tag{0.2}$$

y a las condiciones iniciales:

$$\left\{
\begin{aligned}
& u(x,0) = f(x),\\
& {u_t}(x,0) = g(x)
\end{aligned}\right.\quad ; \quad \forall\,x\in\mathbb{R}, \; 0 < x < L   \tag{0.3}$$

En el bloque de ecuaciones (0.3) la identidad $u(x,0) = f(x)\,$ indica que la posición inicial de la cuerda está determinada por una función dada $f(x)$ de la cuerda vibrante, y la ecuación ${u_t}(x,0) = g(x)$ que es la rapidez inicial de dicha cuerda está determinada por otra función dada .
Las ecuaciones (0.2) dicen que los extremos están fijos a la misma altura referencial $y = 0.$
El término $a^2$ presente en (0.1) es el cociente entre la densidad lineal ($\rho$) de la cuerda y la tensión de la misma ($T$), ambas magnitudes, evidentemente, son constantes.

$$a^2=\frac{\rho}{T}$$

Por ende la solución está en términos de $a.$
La solución de la ecuación de la onda, sujeta a las condiciones iniciales y de frontera, está dada por:

$${u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\tag{0.4}$$

Con respecto a su demostración. Como ya he dicho, se expuso todo en el post Ecuación de Onda.

Las constantes $A_n$ y $B_n$ están dadas por las siguientes integrales:

$${A_n} = \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\tag{0.5}$$

$${B_n} = \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\tag{0.6}$$

Entonces, básicamente se trata de calcular dichas integrales a partir de los valores de frontera que nos proporcionen los ejercicios. Aquí se presentan algunos de ellos.

Ejercicios Resueltos

En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de la onda dada, sujeta a las condiciones dadas:

Ejerc 01. 

${a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \; 0 < x < L, \; t > 0$ sujeto a:

$$u(0,t) = 0,\; u(1,t) = 0,\; t > 0$$

$$\left\{\begin{aligned}
&u(x,0) = \frac{1}{4}x\left( {L – x} \right),\\
& {u_t}(x,0) = 0,\; 0 < x < L
\end{aligned}\right.$$

Resolución:

Por dato, se observa que $f(x) = \frac{1}{4}x\left( {L – x} \right),$ $g(x) = 0.$
Y, de acuerdo con la fórmula (0.4), la solución es:
$${u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}$$

donde los $A_n$ y los $B_n$ para todo $n = 1,\,2,\,\,3, \ldots$ están dados por:

$$\begin{align*}
{B_n}&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\
&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\
&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^1 {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{{n\pi a}}0 \cdot (1 – 0)\end{align*}$$entonces, para todo número $n$ entero: $$\boxed{B_n = 0}$$ Calculando ahora los coeficientes $A_n$ para cada entero $n$:
$$\begin{align*}
{A_n} &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\
& = \frac{2}{L}\int\limits_0^{L/2} {\frac{1}{4}x\left( {L – x} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \,{\text{d}}x \\
& = \frac{2}{L} \cdot \frac{{n\,{\pi}\,{L^3}}}{{48}}
\end{align*}$$ encontrando que, para todo $n$ entero: $$\boxed{A_n=\frac{n\,\pi L^2}{24}}$$ Ahora, reemplazando $A_n$ y $B_n$ en la fórmula (0.4), se tiene:
$$\begin{align*}
u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\\
&= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{n\,{\pi}\,{L^2}}}{{24}} \cdot \cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right) + 0 \cdot } \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}
\end{align*}$$
Por lo tanto:
$$\boxed{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{n\,{\pi}\,{L^2}}}{{24}} \cdot \,\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} }$$
con $ 0 < x < 1,\,$  y con  $\,t > 0,$ es la solución pedida.

⇑ Respuesta ⇑

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