Integrales inmediatas y por sustitución

ejercicios explicativo integrales

Existen muchos métodos para hallar la primitiva o antiderivada de una función real de una variable real. Así que presentamos aquí ejemplos explicativos (clásicos ejercicios propuestos en los libros de cálculo integral). Espero que ayude a identificar los casos y así aplicar eficazmente el planteamiento o el artificio necesario para hallar el valor de dichas integrales como las de tipo racional o irracional.

Ejercicio 1. $\newcommand{\abs}[1]{\left| {#1} \right|}$Evaluar la siguiente integral $$\newcommand{\dx}{\operatorname{d}\!x}\int\frac{18}{9x^2-x^4}\dx$$

Solución

Suponga que el valor de la integral dada es $I$, es decir: $$I=\int\frac{18}{9x^2-x^4}\dx$$ entonces se tendrá

\begin{align*} I = &18\int\frac{1}{x^2(9-x^2)}\dx\tag{1}\\[0.4em] = & \frac{18}{9}\int\frac{9}{x^2(9-x^2)}\dx \tag{2}\\[0.4em] = & 2\int\frac{9\,{\color{red}{-x^2+x^2}} }{x^2(9-x^2)}\dx \tag{3}\\[0.4em] = & 2\int\left(\frac{\,{\color{blue}{9-x^2}}}{x^2(\,{\color{blue}{9-x^2}})}+\frac{{\color{blue}{x^2}}}{{\color{blue}{x^2}}(9-x^2)}\right)\dx \tag{4}\\[0.4em] = & 2\left(\int\frac{1}{x^2}\dx+\int\frac{1}{{\color{red}{3}}^3-x^2}\dx \right)\tag{5}\\[0.4em] = & 2\left[\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+\int\left(\frac{1}{2\cdot{\color{red}{3}}}\left[\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right]\right)\dx \right]\tag{6}\\[0.4em] =& \frac{-2}{x}+\frac{2}{6}\int\left(\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right)\dx\tag{7}\\[0.4em] =& -\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\big(-\ln\abs{3-x}+\ln\abs{3+x}\big)+C\tag{8}\\[0.4em] =& -\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\left(\ln\abs{\frac{3+x}{3-x}}\right)+C\tag{9} \end{align*}

Describiendo los pasos enumerados.

Paso 1. Extrayendo 18 fuera del operardor integral, y sacando factor común $x^2$ en el denominador.

Paso 2. Expresar 1 como $9\cdot\frac{1}{9}$ y extrayendo $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

Paso 3. Sumando y restando $x^2$ en el numerador del integrando.

Paso 4. Homogeneizando convenientemente

Paso 5. Simplificando cada fracción.

Paso 6. El primer término es un integral inmediata, y el en el segundo término se aplica una identidad de cierto tipo de expresiones racionales.

Paso 7. El factor 2 multiplicó a los sumandos de adentro del corchete [ ]. Se extrajo 1/6 fuera del operador integral de la derecha.

Paso 8. El integrando restante puede resolverse haciendo un sustitución $u=3-x$, $v=3+x$ y así convertirlas en integrales inmediatas.

Paso 9. Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente.

Por lo tanto la respuesta es:

$$I=-\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\left(\ln\abs{\frac{3+x}{3-x}}\right)+C$$


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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