Integrales inmediatas y por sustitución

ejercicios explicativo integrales

Existen muchos métodos para hallar la primitiva o antiderivada de una función real de una variable real. Así que presentamos aquí ejemplos explicativos (clásicos ejercicios propuestos en los libros de cálculo integral). Espero que ayude a identificar los casos y así aplicar eficazmente el planteamiento o el artificio necesario para hallar el valor de dichas integrales como las de tipo racional o irracional.

Ejercicio 01

Ejercicio 1. $\newcommand{\abs}[1]{\left| {#1} \right|}$Evaluar la siguiente integral $$\newcommand{\dx}{\operatorname{d}\!x}\int\frac{18}{9x^2-x^4}\dx$$

Resolución

Ver resolución

Suponga que el valor de la integral dada es $I$, es decir: $$I=\int\frac{18}{9x^2-x^4}\dx$$ entonces se tendrá

\begin{align*} I = &18\int\frac{1}{x^2(9-x^2)}\dx\tag{1}\\[0.4em] = & \frac{18}{9}\int\frac{9}{x^2(9-x^2)}\dx \tag{2}\\[0.4em] = & 2\int\frac{9\,{\color{red}{-x^2+x^2}} }{x^2(9-x^2)}\dx \tag{3}\\[0.4em] = & 2\int\left(\frac{\,{\color{blue}{9-x^2}}}{x^2(\,{\color{blue}{9-x^2}})}+\frac{{\color{blue}{x^2}}}{{\color{blue}{x^2}}(9-x^2)}\right)\dx \tag{4}\\[0.4em] = & 2\left(\int\frac{1}{x^2}\dx+\int\frac{1}{{\color{red}{3}}^3-x^2}\dx \right)\tag{5}\\[0.4em] = & 2\left[\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+\int\left(\frac{1}{2\cdot{\color{red}{3}}}\left[\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right]\right)\dx \right]\tag{6}\\[0.4em] =& \frac{-2}{x}+\frac{2}{6}\int\left(\frac{1}{3-x}+\frac{1}{3+x}\right)\dx\tag{7}\\[0.4em] =& -\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\big(-\ln\abs{3-x}+\ln\abs{3+x}\big)+C\tag{8}\\[0.4em] =& -\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\left(\ln\abs{\frac{3+x}{3-x}}\right)+C\tag{9} \end{align*}

Describiendo los pasos enumerados.

Paso 1. Extrayendo 18 fuera del operardor integral, y sacando factor común $x^2$ en el denominador.

Paso 2. Expresar 1 como $9\cdot\frac{1}{9}$ y extrayendo $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

Paso 3. Sumando y restando $x^2$ en el numerador del integrando.

Paso 4. Homogeneizando convenientemente

Paso 5. Simplificando cada fracción.

Paso 6. El primer término es un integral inmediata, y el en el segundo término se aplica una identidad de cierto tipo de expresiones racionales.

Paso 7. El factor 2 multiplicó a los sumandos de adentro del corchete [ ]. Se extrajo 1/6 fuera del operador integral de la derecha.

Paso 8. El integrando restante puede resolverse haciendo un sustitución $u=3-x$, $v=3+x$ y así convertirlas en integrales inmediatas.

Paso 9. Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente.

Por lo tanto la respuesta es:

$$I=-\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\left(\ln\abs{\frac{3+x}{3-x}}\right)+C$$


Ejercicio 02

Ejercicio 2. Evaluar la siguiente integral $$\int\frac{\dx}{\sqrt{4^x-1}}$$

Resolución

Ver resolución
Escribimos: $$I=\int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {{4^x} – 1} }}}$$ a. Como vemos que: $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2,$ tenemos el siguiente cambio de variable: $$u = {2^x}$$ b. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de esta igualdad $$\ln u = \ln {2^x}$$ c. Aplicamos la ley del sombrero de los logaritmos: $$\ln u = x\ln 2$$ d. Derivamos ambos miembros de la ecuación: $${{du} \over u} = \ln 2 \cdot {\rm{d}}x$$ e. Pasando a dividir el $\ln 2$ a la izquierda: $${{du} \over {u\ln 2}} = {\rm{d}}x$$ f. Hemos despejado la diferencial de $x$: $${\rm{d}}x = {{du} \over {u\ln 2}}$$ g. Así que reemplazaremos en $I$ las equivalencias $u = {2^x}$ y la ${\rm{d}}x = {{du} \over {u\ln 2}},$ y nos quedaría así:
integral indefinida - ejercicio 02 - resolución paso a paso

Ahora describimos los pasos que he enumerados a la mano derecha

  • En 2°) se aplicó producto de extremos sobre el producto de medios
  • En 3°) se extrajo el factor $\frac{1}{\ln 2}$ fuera de la integral, debido a la linealidad.
  • En 4°) se identificó una integral inmediata, la del arco secante.
  • En 5°) reemplazamos por $u$ por su valor original.
Y así hemos evaluado la integral solicitada. Siempre recordar que al final de cada respuesta hay q agregarle un constante $C.$

$$\int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {{4^x} – 1} }}} = {1 \over {\ln 2}} \cdot {\mathop{\rm arcsec}\nolimits} {(2^x)} + {C}$$



Ejercicio 03

Ejercicio 3. Evaluar la siguiente integral $$\int\!\!\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\dx$$

Intente resolver por su cuenta antes de ver la resolución paso a paso. Esta integral tiene casi la misma forma de resolverse que la del ejercicio 02.

Resolución

Ver resolución
Se escribe: \begin{equation}I=\int\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\dx \label{e01} \end{equation} a. Identificándose la variable a reemplazar (en este caso es la que más se repite). \begin{equation} {\color{blue}{u}} = {3^x}\end{equation} b. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y usamos regla del sombrero \begin{align} \ln u &= \ln {3^x} \nonumber \\ \ln u &= x\ln 3 \label{eq04} \end{align} c. Derivamos a cada lado en la igualdad \eqref{eq04} y despejamos $\dx$ \begin{align} {\rm{d}u} \over u &= \ln 3 \cdot {\dx}\\ {\rm{d}}x &= \color{NavyBlue}{ {\rm{d}u} \over {u\ln 3} } \end{align} d. En la expresión \eqref{e01} reemplazamos $\color{NavyBlue}{3^x}$ por $\color{blue}{u}$ y la $\color{NavyBlue}{\dx}$ por $\color{blue}{{{\rm{d}}u} \over {u\ln 3}}$, para obtener:
Integrales indefinidas - ejercicio 03 - resolución paso a paso

Si se fijaron lo que se hizo en el ejercicio 02 los pasos 6° al 8° se entienden intuitivamente.

e. En la igualdad del paso 8° debemos sustituir la parte subradical, o sea $u+9$ y así convertirla en una integral inmediata del tipo potencia $$u+9=z\;\;\;\rightarrow\;\;{\rm{d}}u={\rm{d}}z$$ y así obtenemos:
Integrales indefinidas - ejercicio 03 - resolución paso a paso - parte2
f. En el paso (15°) sustituimos $u$ por su valor original $3^x$ y así tenemos que:

$$ \int\!\!\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\,\dx = {2 \over {\ln 3}} \cdot \sqrt {{3^x} + 9} + {\rm{C}}$$


⬇ Deja me gusta y comparte ⬇

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

Agregue un comentario

Su dirección de correo no se hará público. Los campos requeridos están marcados *

Abrir chat
1
¿Quieres aprender las técnicas para calcular integrales? consulta aquí.
Powered by