Integrales indefinidas, resolución por fórmula y por sustitución

integrales indefinidas, metodo sustitución e inmediatas - miniatura

Existen muchos métodos para hallar la primitiva o antiderivada de una función real de una variable real. Así que presentamos aquí ejemplos explicativos (clásicos ejercicios propuestos en los libros de cálculo integral). Espero que ayude a identificar los casos y así aplicar eficazmente el planteamiento o el artificio necesario para hallar el valor de dichas integrales como las de tipo racional o irracional.

Ejercicio 01

\newcommand{\abs}[1]{\left| {#1} \right|} Evaluar la siguiente integral \newcommand{\dx}{\operatorname{d}\!x}

    \[\int\!\!\frac{18}{9x^2-x^4}\dx\]

Resolución

Ver resolución

Suponga que el valor de la integral dada es I, es decir:

    \[I=\int\frac{18}{9x^2-x^4}\dx\]

entonces se tendrá
Integrales indefinidas - ejercicio 1 - completo

Describiendo los pasos enumerados.

Paso 1. Extrayendo 18 fuera del operardor integral, y sacando factor común x^2 en el denominador.

Paso 2. Expresar 1 como 9\cdot\frac{1}{9} y extrayendo \frac{1}{9} fuera de la integral.

Paso 3. Sumando y restando x^2 en el numerador del integrando.

Paso 4. Homogeneizando convenientemente

Paso 5. Simplificando cada fracción.

Paso 6. El primer término es un integral inmediata, y el en el segundo término se aplica una identidad de cierto tipo de expresiones racionales.

Paso 7. El factor 2 multiplicó a los sumandos de adentro del corchete [ ]. Se extrajo 1/6 fuera del operador integral de la derecha.

Paso 8. El integrando restante puede resolverse haciendo un sustitución u=3-x, v=3+x y así convertirlas en integrales inmediatas.

Paso 9. Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente. Por lo tanto:

La respuesta es:

    \[I=-\frac{2}{x}+\frac{1}{3}\left(\ln\abs{\frac{3+x}{3-x}}\right)+C\]


Ejercicio 02

Encuentre el valor de la integral

    \[\int\!\!\frac{\dx}{\sqrt{4^x-1}}\]

Resolución

Ver resolución
Escribimos:

    \[I=\int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {{4^x} - 1} }}}\]

a. Como vemos que: 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2, tenemos el siguiente cambio de variable:

    \[u = {2^x}\]

b. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de esta igualdad

    \[\ln u = \ln {2^x}\]

c. Aplicamos la ley del sombrero de los logaritmos:

    \[\ln u = x\ln 2\]

d. Derivamos ambos miembros de la ecuación:

    \[{{du} \over u} = \ln 2 \cdot {\rm{d}}x\]

e. Pasando a dividir el \ln 2 a la izquierda:

    \[{{du} \over {u\ln 2}} = {\rm{d}}x\]

f. Hemos despejado la diferencial de x:

    \[{\rm{d}}x = {{du} \over {u\ln 2}}\]

g. Así que reemplazaremos en I las equivalencias u = {2^x} y la {\rm{d}}x = {{du} \over {u\ln 2}}, y nos quedaría así:
integral indefinida - ejercicio 02 - resolución paso a paso

Ahora describimos los pasos que he enumerados a la mano derecha

  • En 2°) se aplicó producto de extremos sobre el producto de medios
  • En 3°) se extrajo el factor \frac{1}{\ln 2} fuera de la integral, debido a la linealidad.
  • En 4°) se identificó una integral inmediata, la del arco secante.
  • En 5°) reemplazamos por u por su valor original.
Y así hemos evaluado la integral solicitada. Siempre recordar que al final de cada respuesta hay q agregarle un constante C.

La respuesta es:

    \[\int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {{4^x} - 1} }}}  = {1 \over {\ln 2}} \cdot {\mathop{\rm arcsec}\nolimits} {(2^x)} + {C}\]


Ejercicio 03

Evaluar la siguiente integral siguiente

    \[\int\!\!\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\dx\]

Intente resolver por su cuenta antes de ver la resolución paso a paso. Esta integral tiene casi la misma forma de resolverse que la del ejercicio 02.

Resolución

Ver resolución
Se escribe:

(1)   \begin{equation*}I=\int\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\dx     \end{equation*}

a. Identificándose la variable a reemplazar (en este caso es la que más se repite).

(2)   \begin{equation*} {\color{blue}{u}} = {3^x}\end{equation*}

b. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y usamos regla del sombrero

(3)   \begin{align*} \ln u &= \ln {3^x} \nonumber \\ \ln u &= x\ln 3 \end{align*}

c. Derivamos a cada lado en la igualdad (3) y despejamos \dx

(4)   \begin{align*} {\rm{d}u} \over u &= \ln 3 \cdot {\dx}\\ {\rm{d}}x &= \color{NavyBlue}{ {\rm{d}u} \over {u\ln 3} }  \end{align*}

d. En la expresión (1) reemplazamos \color{NavyBlue}{3^x} por \color{blue}{u} y la \color{NavyBlue}{\dx} por \color{blue}{{{\rm{d}}u} \over {u\ln 3}}, para obtener:
Integrales indefinidas - ejercicio 03 - resolución paso a paso

Si se fijaron lo que se hizo en el ejercicio 02 los pasos 6° al 8° se entienden intuitivamente.

e. En la igualdad del paso 8° debemos sustituir la parte subradical, o sea u+9 y así convertirla en una integral inmediata del tipo potencia

    \[u+9=z\;\;\;\rightarrow\;\;{\rm{d}}u={\rm{d}}z\]

y así obtenemos:
Integrales indefinidas - ejercicio 03 - resolución paso a paso - parte2
f. En el paso (15°) sustituimos \color{MidnightBlue}{u} por su valor original 3^x y así tenemos que:

La respuesta es:

    \[\int\!\!\frac{3^x}{\sqrt{3^x+9}}\,\dx = {2 \over {\ln 3}} \cdot \sqrt {{3^x} + 9}  + {\rm{C}}\]


Ejercicio 04

Calcular el valor de la integral

    \[\int\!\!\frac{1}{x(x^2-8)}\,\dx\]

Resuelva por su cuenta antes de ver la esta resolución. Es muy similar al ejercicio 01.

Resolución

Ver resolución
Escribimos:

(1)   \begin{equation*} I=\int\!\!\frac{1}{x(x^2-8)}\,\dx  \end{equation*}

a. Enumeramos los cuatro primeros pasos:
Integrales indefinidas - ejercicio 4 - parte 1

En el paso (1°) multiplicamos y dividimos por -8 al integrando

En el paso (2°) agregamos y quitamos x^2 en el numerador

En el paso (3°) hemos homogeneizado

En el paso (4°) propiedad cancelativa

b. Vemos que se formarán integrales inmediatas:
Integrales indefinidas - ejercicio 4 - parte 2

En el paso (5°) tenemos lo que quedó de la cancelación

En el paso (6°) aplicamos la linealidad del operador integral

En el paso (7°) identificamos una integral inmediata, la del logaritmo natural. Y multiplicamos y dividimos por 2 al termino de la derecha.

En el paso (8°) identificamos una integral inmediata, del logaritmo natural, para el segundo termino

c. Finalmente, en los pasos siguientes, se muestra el proceso para simplificar y llegar a una respuesta compacta (y para hacerlo coincidir con la respuesta del libro de Tópicos vol II, pag 15, ejerc 4)

Integrales indefinidas - ejercicio 4 - parte 3

En el paso (9°) se multiplicó y dividió por 2 al primer término (izquierda)

En el paso (10°) se usó la ley del sombrero también al mismo termino

En el paso (11°) se sacó factor común {1\over 2} y se asoció con {-1\over 8}

En el paso (12°) se aplicó la propiedad: logaritmo de un cociente. Y podemos usar el signo de {1\over 16} para invertir la fracción. Por tanto:

La respuesta es:

    \[\int\!\!\frac{1}{x(x^2-8)}\,\dx = {1 \over {16}} \cdot \ln \left| {{{{x^2} - 8} \over {{x^2}}}} \right| + C\]


Vídeo explicativo

Explico ahora una forma alternativa para comprender el funcionamiento del artificio usado para las integrales racionales de los ejercicios 1 y 4, artificio al que yo llamo homogenización algebraica. Se ha utilizado también unas integrales inmediatas del formulario presentado más abajo, como la del arcotangente

    \[\int\frac{\dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C.\]


Fórmulas de integración inmediata

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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