Gráfica de funciones mediante criterio de asíntotas (parte2)

Continuando con la solución del ejercicio explicativo: graficar la función f(x)=3-2\,x-{\frac {{x}^{2}}{\sqrt {{x}^{2}-x-2}}} mediante asíntotas. Ahora sigue calcular las asíntotas horizontales y las asíntotas oblicuas.

3°) Asíntotas horizontales (A.H.)
No tiene ninguna complicación, mientras sepamos calcular límites al infinito, podremos verificar que:

    \[\lim_{x\rightarrow -\infty} f \left( x \right) =+\infty\]

compruébenlo en este spoiler.
Cálculo paso a paso de la ecuación de la A.H. por la izquierda

    \begin{align*}\mathop{\lim }\limits_{x \to\, -\infty}&\left[{\,f(x)\,}\right]\\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to\, -\infty } \left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)\end{align*}

sustituyendo (-\infty) por (+\infty) y la variable x por (-x), se tiene

    \begin{align*}&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\end{align*}

efectuando la resta con m.c.m.

    \begin{align*}&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {3 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\end{align*}

dividiendo por x^2

    \begin{align*}&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{\left( {3 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x - 2} - {x^2}}}{x^2}}}{{\displaystyle\frac{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}{x^2}}}} \right)\\\end{align*}

homogenizando y agrupando convenientemente

    \begin{align*}&=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)\sqrt {\frac{{x^2} + x - 2}{x^2}} - \frac{x^2}{x^2}}}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^4}}}} }}} \right)\\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} - 1}}{{\sqrt {\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} - \frac{2}{{{x^4}}}} }}} \right)\\&=\displaystyle\frac{{2 \cdot \sqrt 1 - 1}}{{\sqrt 0^{+} }}=\displaystyle\frac{1}{0^{+}}\\[0.4cm]&\quad\therefore\quad\boxed{\mathop{\lim}\limits_{x\to\,-\infty}\left[{\,f(x)\,}\right]=+\infty}\end{align*}

es decir no existe asíntota horizontal por la izquierda para la función f.

Similarmente se puede comprobar que

    \[\lim_{x\rightarrow +\infty} f \left( x \right) =-\infty\]

compruébenlo en el siguiente spoiler.
Cálculo paso a paso de la ecuación de la A.H. derecha

    \[\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} &&\mathop{\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left[ {\,f(x)\,} \right] \\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \!\infty } \left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)\\[0.1cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {3 - 2x} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{\left( {3 - 2x} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{3 - 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2}}}} - \frac{{{x^2}}}{x}}}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^4}}}} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} - 2} \right)\sqrt {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} - 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \displaystyle\frac{{( - 2) \cdot \sqrt 1 - 1}}{{\sqrt 0 }} = \displaystyle\frac{{ - 3}}{{{0^ + }}}\\[0.4cm] &=& -\,\infty\end{array}\]

es decir la función f no tiene asíntota horizontal por la derecha.

Por lo tanto, f(x) no tiene asíntotas horizontales. A parte de decirnos este cálculo que f no tiene A.H. puede parecer un calculo muy largo o de poca utilidad, pero el signo de \infty nos dice además que f puede seguir un camino próximo al de unas asíntotas oblicuas, uno por el segundo cuadrante (-\infty,+\!\infty) y otra por el cuarto cuadrante (+\!\infty,-\infty), entonces ayudará a comprobar el gráfico al final.

4°) Asíntotas Oblicuas (A.O.)
4.1. Asíntota Oblicua por la izquierda.

De acuerdo con lo leído en la entrada anterior (item C1 y C2)

     $$m =\lim_{x \to -\infty }\left[\textstyle{\frac{f(x)}{x}}\right] \quad,\quad b =\lim_{x \to -\infty}[f(x) - mx]$$

entonces reemplazando f(x) y calculando esos límites al infinito (dominando muy bien ese tema), se obtiene:

    \[m =- 1\qquad\textrm{ y }\qquad b = \frac{7}{2}\]

Cálculo paso a paso del coeficiente m cuando x → (-∞)

    \[\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} m &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, -\infty } \left( {\,\displaystyle\frac{{f(x)}}{x}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {3 - 2x - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)} \right]\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{{ - x}}\left( {3 + 2x - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)} \right]\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{( - 3 - 2x)\sqrt {{x^2} + x - 2} + {x^2}}}{{x\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{( - 3 - 2x)\sqrt {{x^2} + x - 2} + {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x\sqrt {{x^2} + x - 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{ - 3 - 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{x}{x}\sqrt {\frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}} }}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( { - \frac{3}{x} - 2} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\ &=& \displaystyle\frac{{\left( { - 2} \right)\sqrt {1 + 0 - 0} + 1}}{{\sqrt {1 + 0 - 0} }}\\ &=& \displaystyle\frac{{ - 2(1) + 1}}{1}\\\therefore\quad m &=& -1 \end{array}\]


Cálculo paso a paso del término b cuando x → (-∞)

    \begin{align*}b &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \left( {\,f(x) - mx} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \left[ {\left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right) - ( - 1)x} \right]\\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \left( {3 - 2x - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }} + x} \right)\\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \left( {3 - x - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)\end{align*}

ahora se sustituye (-\infty) por (+\infty) y la variable x por (-x)

    \begin{align*}&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 + x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\end{align*}

 

dividir ambos términos por x ó x^2 no va a funcionar se obtendría la formas indeterminadas \left(\frac{0}{0}\right) ó (\infty-\infty). La solución es multiplicar y dividir por la conjugada del numerador

    \begin{align*}&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} }} \cdot \frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x - 2} + {x^2}}}{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x - 2} + {x^2}}}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {\left( {3 + \;x} \right)\sqrt {{x^2} + x - 2} } \right)}^2} - {{\left( {\;{x^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x - 2} \left( {(3 + x)\sqrt {{x^2} + x - 2} + {x^2}} \right)}}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {3 + \;x} \right)}^2}\left( {{x^2} + x - 2} \right) - {x^4}}}{{(3 + x)({x^2} + x - 2) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{ \bcancel{x^4} + 7{x^3} + 13{x^2} - 3\;x - 18 - \bcancel{x^4}}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{7{x^3} + 13{x^2} - 3\;x - 18}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\end{align*}

ahora, ambos términos tienen el mismo grado 3 entonces pueden dividirse por x^3

    \begin{align*}&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{7{x^3} + 13{x^2} - 3\;x - 18}}{{{x^3}}}}}{{\displaystyle\frac{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}{{{x^3}}}}}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{7 + \frac{{13}}{x} - \frac{{3\;}}{{{x^2}}} - \frac{{18}}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{6}{{{x^3}}}} \right) + \left( 1 \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\&= \displaystyle\frac{{7 + 0}}{{1 + 1}}\end{align*}


y finalmente:

    \begin{align*}&\boxed{b= \displaystyle{\frac{7}{2}}}\end{align*}


entonces, la asíntota oblicua de f(x) por la izquierda  es:

    \[\boxed{y =  - x + \frac{7}{2}}.\]

 
4.2. Asíntota Oblicua por la derecha.
De acuerdo con lo leído en la entrada anterior (item C1 y C2)

    \[m =\lim_{x \to +\infty }\left[\textstyle{\frac{f(x)}{x}}\right] \quad,\quad b =\lim_{x \to +\infty}[f(x) - mx]\]

reemplazando f(x) y calculando esos límites al infinito, se obtiene:

    \[m =- 3\qquad\textrm{ y }\qquad b = \frac{5}{2}\]

Cálculo paso a paso del coeficiente m cuando x → (+∞)

    \[\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}m &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\,\displaystyle\frac{{f(x)}}{x}} \right)\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {3 - 2x - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)} \right]\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {\frac{{(3 - 2x)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)} \right]\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 - 2x)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{x\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right)\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{(3 - 2x)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x\sqrt {{x^2} - x - 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{3 - 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2}}}} - \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{x}{x}\sqrt {\frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2}}}} }}} \right)\\&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} - 2} \right)\sqrt {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} - 1}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\&=& \displaystyle\frac{{\left( { - 2} \right)\sqrt {1 - 0} - 1}}{{\sqrt {1 - 0 - 0} }}\\&=& \displaystyle\frac{{ - 2(1) - 1}}{1}\\\therefore\quad m &=& - 3\end{array}\]


Cálculo paso a paso del término b cuando x → (+∞)

    \begin{align*}b&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\,f(x) - mx} \right] \\ &=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right) - ( - 3)x} \right] \\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }} + 3x} \right) \\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 + x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right) \\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right) \\\end{align*}

Dividir ambos términos por x ó x^2 no va a funcionar, se obtendría la formas indeterminadas \left(\frac{0}{0}\right) ó (\infty-\infty), la solución es multiplicar y dividir por la conjugada del numerador

    \begin{align*}&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} - x - 2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }} \cdot \displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} - x - 2} + {x^2}}}{{(3 + x)\sqrt {{x^2} - x - 2} + {x^2}}}} \right) \\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {\left( {3 + \;x} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2} } \right)}^2} - {{\left( {\;{x^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} \left( {(3 + x)\sqrt {{x^2} - x - 2} + {x^2}} \right)}}} \right) \\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {3 + \;x} \right)}^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) - {x^4}}}{{(3 + x)({x^2} - x - 2) + {x^2}\sqrt {{x^2} - x - 2} }}} \right) \\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\bcancel{x^4} + 5{x^3} + {x^2} - 21x - 18 - \bcancel{x^4}}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\\&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{5{x^3} + {x^2} - 21x - 18}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}} \right)\end{align*}

ahora, ambos términos tienen el mismo grado 3, entonces los dividimos por x^3

    \begin{align*}&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{5{x^3} + {x^2} - 21x - 18}}{{{x^3}}}}}{{\displaystyle\frac{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x - 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x - 2} }}{{{x^3}}}}}} \right) \\&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{5 + \frac{{13}}{x} - \frac{{3\;}}{{{x^2}}} - \frac{{18}}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{6}{{{x^3}}}} \right) + \left( 1 \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right) \\&=\displaystyle\frac{{5 + 0}}{{1 + 1}}\end{align*}


y finalmente:

    \begin{align*}&\boxed{b={\displaystyle\frac{5}{2}}}\end{align*}

entonces, la asíntota oblicua de f(x) por la derecha  es:

    \[\boxed{y =-3x + \frac{5}{2}}.\]

Estas dos asíntotas resultan ser dos rectas inclinadas a la izquierda por arriba (por su pendiente negativa) y cortando al eje y en \frac{5}{2}=2.5 y \frac{7}{2}=3.5, entonces el gráfico hasta ahora va así
aíntotas oblícuas de f, gráfica de asíntotas, líneas rectas, límites al infinito, gráfico de funciones reales
Figura 03: Las A.O. están inclinadas a la izquierda por arriba por ser de pendiente negativa
De forma similar a la figura anterior, le pusimos flechas rojas para indicar hacia donde es el comportamiento del gráfico de f.
  • La recta  - x + \frac{7}{5} tiene punta de flecha a la izquierda porque se obtuvo de un límite al -\infty
  • La recta  - 3x + \frac{5}{5} tiene punta de flecha a la derecha porque se obtuvo de un límite al +\infty.
Recordemos el concepto de asíntota, es aquella línea recta generada por función con la propiedad de aproximarse progresivamente (tanto como se quiera) sin que lleguen ambas a intersectarse, por más extensas que se tracen en su respectivo gráfico del plano xy.
.
Ahora ya está todo listo, de a cuerdo a las flechas rojas, la gráfica de f debe extenderse en 2 tramos de curva, la primera en la región \left\langle {-\!\infty,-1} \right\rangle\times\mathbb{R}, limitada por la A.O. y = - x + \frac{7}{2} y la A.V. x=-1,
.
y la segunda en la región \left\langle {2,+\!\infty}\right\rangle\times\mathbb{R}, limitada por la A.O. y = - 3x + \frac{5}{2} y la A.V. x=2.
.
solo queda eliminar las puntas de flecha que sirvieron de guía de trazado. Y así el gráfico final es
graficando funciones irracionales con asíntotas y límites al infinito
Figura 04: Gráfico de la función f\left( x \right) = 3 \,- 2x\, - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x - 2} }} con sus asíntotas y sus respectivas ecuaciones.
.
Este gráfico puede comprobarse escribiendo en el mismo buscador de google el siguiente código:
y=3-2x-(x^2)/(x^2-x-2)^(1/2), y=-3x+5/2, y=-x+7/2
Notar que eso es la ecuación de f(x) y sus A.O. separadas por comas.
.

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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