Gráfica de funciones mediante criterio de asíntotas (parte1)

graficando funciones con limites y asíntotas

¿Qué son las asíntotas de una función?

Una asíntota es una línea recta generada por el gráfico de una función real que tiende a aproximarse a dicho gráfico sin llegar a igualarse (o intersectarse), sin importar cuan largo (o extenso) sea el trazado de ambos gráficos.

Existen tres clases de asíntotas

A) Asíntotas verticales (A.V.)
B) Asíntotas horizontales (A.H.)
C) Asíntotas oblicuas (A.O.)

A continuación enunciaré sus respectivas definiciones.

Sea f(x) una función definida en un intervalo de la recta, y sea c y d dos elementos de dicho intervalo, entonces se define:

A1) Asíntota vertical inferior izquierda.
Decimos que x=c es una asíntota vertical inferior por la izquierda si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=-\infty\]


siempre que toda x que tiende a c^{-} esté en el dominio de f (i.e. el intervalo de definición de f)

A2) Asíntota vertical inferior derecha.
Decimos que x=c es una asíntota vertical inferior por la izquierda si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=-\infty\]


siempre que toda x que tiende a c^{+} esté en el dominio de f (el intervalo de definición de f)

A3) Asíntota vertical superior izquierda.
Decimos que x=c es una asíntota vertical inferior por la izquierda si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=+\infty\]


siempre que toda x que tiende a c^{-} esté en el dominio de f (el intervalo de definición de f)

A4) Asíntota vertical superior derecha.
Decimos que x=c es una asíntota vertical inferior por la izquierda si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=+\infty\]


siempre que toda x que tiende a c^{+} esté en el dominio de f (i.e. el intervalo de definición de f)

B1) Asíntota horizontal izquierda.
Decimos que y=d es una asíntota horizontal por la izquierda si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=d\]


siempre que toda x que tiende a -\infty esté en el dominio de f (i.e. el intervalo de definición de f)

B2) Asíntota horizontal derecha.
Decimos que y=d es una asíntota horizontal por la derecha si y solo si:

    \[\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=d\]


siempre que toda x que tiende a +\infty esté en el dominio de f (el intervalo de definición de f)

C1) Asíntota oblicua izquierda.
Decimos que y=mx+b es una asíntota oblicua por la izquierda si y solo si:

    \[\boxed{\begin{array}{c}m = \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \;{\mkern 1mu} \frac{{f\left( x \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,,\quad\,\,\,b = \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \;{\mkern 1mu} \left( {f\left( x \right) - mx} \right)\\\end{array}}\]


siempre que toda x que tiende a -\infty esté en el dominio de f (i.e. el intervalo de definición de f)

C2) Asíntota oblicua derecha.
Decimos que y=mx+b es una asíntota oblicua por la derecha si y solo si:

    \[\boxed{\begin{array}{c}m = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \;{\mkern 1mu} \frac{{f\left( x \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,,\quad\,\,\,b = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \;{\mkern 1mu} \left( {f\left( x \right) - mx} \right)\\\end{array}}\]


siempre que toda x que tiende a +\infty esté en el dominio de f (i.e. el intervalo de definición de f)

Habiendo explicado esta teoría podemos realizar el siguiente

Ejercicio Explicativo.
Graficar la función

    \[f(x)=3-2\,x-{\frac {{x}^{2}}{\sqrt {{x}^{2}-x-2}}}\]

Solución.
1°) Hallando el dominio de f.
Empezamos haciendo {x}^{2}-x-2>0 obteniendo:

    \[Dom(f)=\left\langle {- \infty , -1} \right\rangle  \cup \left\langle {2,\infty } \right\rangle\]

2°) Hallando las asíntotas verticales.
Tomando el denominador de f e igualando a cero se tiene

    \[\begin{array}{c}{x^2} - x - 2 = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\x =  - 1\,\,\, \vee \,\,\,x = 2\end{array}\]

 
Como el Dom(f)=\left\langle {- \infty , -1} \right\rangle  \cup \left\langle {2,\infty } \right\rangle (ver Figura 01), para hallar las A.V. solo debe calcularse:

    \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \;{\mkern 1mu} f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,{\rm{y }}\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \;{\mkern 1mu} f\left( x \right)\]

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Figura 01: El dominio de la función f(x) = 3\,- 2x\, - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - x - 2}} restringe a solo calcular dos límites en vez de cuatro.

En efecto, si aplicamos lo que conocemos de calculo de límites obtenemos:

    \[\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^-}} \;{\mkern 1mu} f\left( x \right) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+}} \;{\mkern 1mu} f\left( x \right) = - \infty\end{array}\]

Cálculo paso a paso de las ecuaciones de las A.V. de f(x)
\mathbf{A)} Para x=-1

(1)   \begin{align*} \mathop{\lim}\limits_{x\to\,-1^{-}}&\left[\,f(x)\,\right]\\ &=\mathop{\lim}\limits_{x\to\,-1^{-}}\left(3-2x- \displaystyle{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x-2}}}\right) \end{align*}

factorizando el termino subradical

(2)   \begin{align*}  =& \mathop {\lim }\limits_{x \to\,-1^{-}} \left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} }}} \right)\\ \tag{3} =& 3-2(-1)-\displaystyle{\frac{(-1)^2}{\sqrt{(-1^{-}+1)(-1-2)}}} \end{align*}

aquí podemos ver que (-1^{-}+1)\thickapprox (-1.1+1.0)=-0.1 \thickapprox \boxed{0^{-}}

(4)   \begin{align*}  =&5-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{(0^{-})(-3)}}} \\ \tag{5} =&5-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{0^{+}}}=5-\displaystyle\frac{1}{0^{+}}\\\tag{6} =& 5-\infty \end{align*}

    \begin{align*} &\therefore\quad\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to\,-1^{-}}\left[{\,f(x)\,}\right]= -\,\infty} \end{align*}

\mathbf{B)} Para x=2

(1)   \begin{align*} \mathop{\lim}\limits_{x\to\,2^{+}}&\left[\,f(x)\,\right]\\ &=\mathop{\lim}\limits_{x\to\,2^{+}}\left(3-2x- \displaystyle{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-x-2}}}\right) \end{align*}

factorizando el termino subradical

(2)   \begin{align*}  =&  \mathop {\lim }\limits_{x \to\,2^{+}} \left( {3 - 2x - \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} }}} \right)\\ \tag{3} =& 3-2(2)-\displaystyle{\frac{(2)^2}{\sqrt{(2^{+}+1)(2^{+}-2)}}} \end{align*}

aquí podemos ver que (2^{+}-2)\thickapprox (2.1-2.0)=0.1 \thickapprox \boxed{0^{+}}

(4)   \begin{align*}  =&-1-\displaystyle{\frac{4}{\sqrt{(3)(0^{+})}}} \\ \tag{5} =&-1-\displaystyle\frac{4}{\sqrt{0^{+}}} =-1-\displaystyle\frac{4}{0^{+}}\\ \tag{6} =& -1-\infty \end{align*}

    \begin{align*} &\therefore\quad\boxed{\mathop{\lim}\limits_{x \to\,2^{+}}\left[{\,f(x)\,}\right]=-\,\infty} \end{align*}

de acuerdo con lo que hablamos en la teoría de este artículo, esto significa que:

x=-1 es una asíntota vertical inferior por la izquierda, y
x=2 es una asíntota vertical inferior por la derecha.

Ambas asíntotas verticales son inferiores.

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Figura 02: El sombreado amarillo degradado lo genera el dominio f(x), y corresponde al conjunto (\left\langle {-\!\infty,-1} \right\rangle\times\mathbb{R})\cup(\left\langle {2,+\!\infty}\right\rangle\times\mathbb{R})

¿Porqué le pusieron punta de flecha (en rojo) a las asíntotas verticales de la figura 02?
Al ser asíntotas inferiores, la gráfica de f(x) se debe trazar aproximándose a cada una de ellas siguiendo el sentido que indican dichas puntas de flecha, y siempre que se encuentre en la región que proyecta su dominio (sombreado en color en amarillo degradado).

Para ver el cálculo de las asíntotas horizontales y oblicuas y la gráfica final de f(x) haga clic en la siguiente entrada.


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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