
El siguiente ejercicio fue planteado en la prueba 1 de matemáticas nivel medio (SL) en el programa de bachillerato internacional (Math IB SL Nov 2013).
Ann y Bob juegan un juego en el que cada uno tiene un dado de ocho caras. El dado de Ann tiene tres caras verdes y cinco caras rojas. El dado de Bob tiene cuatro caras verdes y cuatro caras rojas. Se turnan para lanzar su propio dado y notan qué color se enfrenta. El primer jugador en obtener verde gana. Ann lanza primero. Parte de un diagrama de árbol para este juego se muestra a continuación.
- Encuentre la probabilidad de que Ann gane en su primer lanzamiento.
- La probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es
Escriba el valor de
y de
.
- La probabilidad de que Ann gane en su décimo lanzamiento es
donde
,
Encuentre el valor de
de
- Encuentre la probabilidad de que Ann gane el juego.
Solución
- El dado de Ann tiene 8 caras, de las cuales 3 de ellas son verdes, entonces la probabilidad de que Ann gane por obtener cara verde en su primer lanzamiento es:
- Completando el diagrama de árbol a partir de los datos, la probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es
de aquí se deduce que
y
es una solución. Pero como
entonces
y
es una segunda solución.
- Para que Ann gane en el décimo lanzamiento tiene que ocurrir 9 jugadas fallidas, 9 de Ann y 9 de Bob,
Ana pierde (evento),
Ana gana, y
Bob pierde. Entonces observando las ramas inferiores del diagrama de árbol anterior, encontramos que dicha probabilidad es
, y
- Del inciso (3) vimos que la probabilidad de que Ann gane en la 10 jugada es
, entonces la probabilidad que Ann gane a la n-ésima jugada es
.
Ahora, existen infinitas formas de que Anne gane: En la primera jugada, o en la segunda
, o en la tercera
, …,
. Todos estos casos son eventos mútuamente excluyentes (la ocurrencia de uno implica lo no ocurrencia de los demás), y por propiedad la probabilidad de que Ann gane en cualesquiera de estos casos es
, entonces de la propiedad de las P.G. se sigue
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