El juego de Ann y Bob

El siguiente ejercicio fue planteado en la prueba 1 de matemáticas nivel medio (SL) en el programa de bachillerato internacional (Math IB SL Nov 2013).

Ejercicio #10

Ann y Bob juegan un juego en el que cada uno tiene un dado de ocho caras. El dado de Ann tiene tres caras verdes y cinco caras rojas. El dado de Bob tiene cuatro caras verdes y cuatro caras rojas. Se turnan para lanzar su propio dado y notan qué color se enfrenta. El primer jugador en obtener verde gana. Ann lanza primero. Parte de un diagrama de árbol para este juego se muestra a continuación.

Encuentre la probabilidad de que Ann gane en su primer lanzamiento.
La probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es $\frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times p \times q \times \frac{3}{8}.$ Escriba el valor de $p$ y de $q$ .
La probabilidad de que Ann gane en su décimo lanzamiento es $\frac{3}{8}{r^k}$ donde $r \in \mathbb{Q}$ , $k \in \mathbb{Z}.$ Encuentre el valor de $r$ de $k$
Encuentre la probabilidad de que Ann gane el juego.

Solución

El dado de Ann tiene 8 caras, de las cuales 3 de ellas son verdes, entonces la probabilidad de que Ann gane por obtener cara verde en su primer lanzamiento es: $\boxed{P(A_g) = \frac{3}{8}}$
Completando el diagrama de árbol a partir de los datos, la probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es $\frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{8}.$

de aquí se deduce que $\boxed{p=\frac{5}{8}}$ y $\boxed{q=\frac{4}{8}}$ es una solución. Pero como $p \times q = q \times p$ entonces $\boxed{p=\frac{4}{8}}$ y $\boxed{q=\frac{5}{8}}$ es una segunda solución.
Para que Ann gane en el décimo lanzamiento tiene que ocurrir 9 jugadas fallidas, 9 de Ann y 9 de Bob,
$\underbrace{\widehat{{A_p}\,{B_p}},{{\widehat{{A_p}\,B}}_p},\widehat{{A_p}\,{B_p}}, \ldots ,\widehat{{A_p}\,{B_p}}}_{9{\text{ veces}}},{A_g}$
donde $A_p=$ Ana pierde (evento), $A_g =$ Ana gana, y $B_p =$ Bob pierde. Entonces observando las ramas inferiores del diagrama de árbol anterior, encontramos que dicha probabilidad es
$\begin{aligned} P(A_g) & = \underbrace {\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdots \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)}_{9{\text{ veces}}} \cdot \frac{3}{8}\\ & ={\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8}{r^k}\quad\textrm{..(por dato)}\end{aligned}$
entonces
$\begin{aligned} {\left( {\frac{5}{{2 \cdot 8}}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} &= {r^k}\cdot \frac{3}{8}\\ \rightarrow \quad {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^9} &= {r^k}\end{aligned}$
indentificando que $\boxed{r=\frac{5}{16}}$ , y $\boxed{k=9}$
Del inciso (3) vimos que la probabilidad de que Ann gane en la 10 jugada es $\frac{3}{8}{r^k} = \frac{3}{8} \cdot {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^9}$ , entonces la probabilidad que Ann gane a la n-ésima jugada es
${u_n} = \frac{3}{8} \cdot {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^{n - 1}},\quad n \geqslant 1,\quad n \in {\Bbb Z}$
que viene a ser una progresión geométrica (P.G.) con ${u_1} = \frac{3}{8},\quad r = \frac{5}{{16}}$ .
Ahora, existen infinitas formas de que Anne gane: En la primera jugada $u_1$ , o en la segunda $u_2$ , o en la tercera $u_3$ , …, $u_{\infty}$ . Todos estos casos son eventos mútuamente excluyentes (la ocurrencia de uno implica lo no ocurrencia de los demás), y por propiedad la probabilidad de que Ann gane en cualesquiera de estos casos es
${u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots \infty = S_{\infty}$
como $r < 1$ , entonces de la propiedad de las P.G. se sigue
$\begin{aligned}S_\infty &= \frac{u_1}{1 - r} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{16}} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{\frac{11}{16}} = \frac{6}{11} \end{aligned}$
Rpta: La probabilidad de que Ann gane el juego es $\boxed{\frac{6}{11}}$