El siguiente ejercicio fue planteado en la prueba 1 de matemáticas nivel medio (SL) en el programa de bachillerato internacional (Math IB SL Nov 2013).
Ann y Bob juegan un juego en el que cada uno tiene un dado de ocho caras. El dado de Ann tiene tres caras verdes y cinco caras rojas. El dado de Bob tiene cuatro caras verdes y cuatro caras rojas. Se turnan para lanzar su propio dado y notan qué color se enfrenta. El primer jugador en obtener verde gana. Ann lanza primero. Parte de un diagrama de árbol para este juego se muestra a continuación.
- Encuentre la probabilidad de que Ann gane en su primer lanzamiento.
- La probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es
Escriba el valor de 
y de 
. - La probabilidad de que Ann gane en su décimo lanzamiento es
donde 
, 
Encuentre el valor de 
de 
- Encuentre la probabilidad de que Ann gane el juego.
Solución
- El dado de Ann tiene 8 caras, de las cuales 3 de ellas son verdes, entonces la probabilidad de que Ann gane por obtener cara verde en su primer lanzamiento es:
- Completando el diagrama de árbol a partir de los datos, la probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es
de aquí se deduce que
y 
es una solución. Pero como 
entonces 
y 
es una segunda solución. - Para que Ann gane en el décimo lanzamiento tiene que ocurrir 9 jugadas fallidas, 9 de Ann y 9 de Bob,
donde![\[\underbrace{\widehat{{A_p}\,{B_p}},{{\widehat{{A_p}\,B}}_p},\widehat{{A_p}\,{B_p}}, \ldots ,\widehat{{A_p}\,{B_p}}}_{9{\text{ veces}}},{A_g}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14bfedffba326f9a95fcee7c3e5e3284_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ana pierde (evento), 
Ana gana, y 
Bob pierde. Entonces observando las ramas inferiores del diagrama de árbol anterior, encontramos que dicha probabilidad es
entonces![\[\begin{aligned} P(A_g) & = \underbrace {\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdots \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)}_{9{\text{ veces}}} \cdot \frac{3}{8}\\ & ={\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8}{r^k}\quad\textrm{..(por dato)}\end{aligned}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c0141ad68a7de2deaa92a78dc5efad7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
indentificando que![\[\begin{aligned} {\left( {\frac{5}{{2 \cdot 8}}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} &= {r^k}\cdot \frac{3}{8}\\ \rightarrow \quad {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^9} &= {r^k}\end{aligned}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-578d10af50c793ad9e0c30061c97dc98_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
, y 
- Del inciso (3) vimos que la probabilidad de que Ann gane en la 10 jugada es
, entonces la probabilidad que Ann gane a la n-ésima jugada es
que viene a ser una progresión geométrica (P.G.) con![\[{u_n} = \frac{3}{8} \cdot {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^{n - 1}},\quad n \geqslant 1,\quad n \in {\Bbb Z}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51d6bc52c17bc37e4ca63d3f15e4f783_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Ahora, existen infinitas formas de que Anne gane: En la primera jugada
, o en la segunda 
, o en la tercera 
, …, 
. Todos estos casos son eventos mútuamente excluyentes (la ocurrencia de uno implica lo no ocurrencia de los demás), y por propiedad la probabilidad de que Ann gane en cualesquiera de estos casos es
como![\[{u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots \infty = S_{\infty}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81d919dc67e1cae4326ac3b5b94139ea_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
, entonces de la propiedad de las P.G. se sigue
Rpta: La probabilidad de que Ann gane el juego es![\[\begin{aligned}S_\infty &= \frac{u_1}{1 - r} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{16}} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{\frac{11}{16}} = \frac{6}{11} \end{aligned}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0f4f04071a632789fd096850df4b3d3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
