Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales

ejercicios resueltos de ecuaciones con radicales

En los próximos apartados veremos toda la teoría necesaria para dominar este importante aspecto de las inecuaciones con variable real.

1. ECUACIONES CON RADICALES

Son aquellas en que la variable aparece bajo un signo radical \sqrt{{\color{amber}{\square}}}. Por ejemplo, si p(x) es una proposición que contiene a la variable \boldsymbol{x}, entonces:

  1. \sqrt{p(x)} = b\dvcc
  2. \sqrt[3]{p(x)} = c\dvcc
  3. \sqrt[4]{p(x)} = d
  4. son ecuaciones con radicales.

Solo mostraremos la técnica para resolver ecuaciones con radicales que contengan raíces cuadradas. Pero antes de empezar directamente con el problema, recordemos que:

\fan{a}Si \boldsymbol{p(x)} es un número real positivo, entonces

    \[\boldsymbol{p(x)}\bm{\in}{\rm I\!R} \;\;{\color{bluer}{\textrm{y}}}\;\; \boldsymbol{p(x)\geq 0}\]

Esta inecuación constituye el universo \bm{U} dentro del cual se resuelve la ecuación radical.

1.1 Técnica de resolución

A grandes rasgos, para resolver ecuaciones con radicales podemos seguir 2 pasos

  1. Escribir una ecuación equivalente que contenga un solo radical en un lado, y todos los de más términos en el otro.
  2. Eliminar el radical elevando al cuadrado ambos lados, aplicando el siguiente teorema:

Teorema 1

\fan{a} Si \fan{a}\col{blue}{\boldsymbol{b\in \rn}}\fan{a} y \fan{a}\col{cgreen}{\boldsymbol{a\in \rn^+}}, \fan{a}entonces

    \[\begin{array}{c} \boldsymbol{\sqrt{a}=b}\\ \col{blue}{\boldsymbol{\sii}} \\ \ab \bm{a\geq 0} \cp \ana \ab \bm{a=b^2}\cp \end{array}\]

1.2 Ejercicios Resueltos

Para entenderlo mejor veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 01

Hallar el conjunto solución de

    \[\bm{12-\sqrt{x+8}=2-2x}\]

Ver resolución
1°)\fan{.} Ordenando términos:

    \[\sqrt{x+8} = {10+2x}\dva\]

2°)\fan{.} El universo de la ecuación es

    \[\col{awesome}{\U}\,\col{bluer}{:}\;  x+8\geq 0 \;\;\col{blue}{\sii} \;\;  \col{awesome}{\bm{x\geq-8}} \dva\]

3°)\fan{.} Por el Teorema 1:

    \[\col{red}{x\in\U} \ana  \ab 10+2x\geq 0 \cp  \ana   \ac x+8=(10+2x)^2 \cc\dva\]

4°)\fan{.} Agrupando y simplificando

    \[\ena  (\col{red}{x\geq -8})  \ana  \ab x\geq -5 \cp  \ana  \ac 4x^2+39x+92=0 \cc \dva\]

5°)\fan{.} Resolviendo la cuadrática

    \[\ena (x\geq -5)  \;\ana\; \left[x=-4 \;\ona\; x=-\frac{23}{4}\right]\dva\]

6°)\fan{.} Dado que: {\color{blue}{-4>-5}}\fan{a} y \fan{|} \cf \col{blue}{\frac{-23}{4}<-5},\fan{.} entonces \fan{.}{\color{bluer}{\bm{x=-4}}}\fan{.} es la única solución válida. Por tanto la respuesta es:

    \[\Gbox{red}{\color{blue}{ \bm{ \textbf{C.S.}=\{-4\} } }}\]

Ejemplo 02

Encuentre el C.S. de

    \[\bm{\sqrt{2x+\sqrt{2x+4}}=4}\]

Ver resolución
1°)\fan{.} Como \col{bluer}{\bm{b}}=4\geq0,\fan{.} el conjunto \U es todo \rn, elevamos al cuadrado obtenemos:

    \[\sqrt{2x+4} = {2(8-x)}\dva\]

2°)\fan{.} El universo de la ecuación es

    \[\col{awesome}{\U}\,\col{bluer}{:}\;  2x+4\geq 0 \;\;\col{blue}{\sii} \;\;  \col{awesome}{\bm{x\geq-2}} \dva\]

3°)\fan{.} Por el Teorema 1:

    \[\ab \col{red}{x\in\U} \cp   \ana  \ab 8-x\geq 0 \cp  \ana  \ac 2x+4=4(8-x)^2\cc \dva\]

4°)\fan{.} Agrupando y simplificando

    \[\ena (\col{red}{x\geq-2})  \ana  \ab x\leq 8 \cp   \ana  \ac 2x^2-33x+26=0 \cc \dva\]

5°)\fan{.} Resolviendo la cuadrática

    \[\ena(-2\leq x \leq 8)  \;\ana\; \left[x=6\;\ona\;x=\frac{21}{2}\right]\dva\]

6°)\fan{.} Pero vemos que: \dva\col{blue}{6\in[-2,8]}\fan{a} y \fan{|} \cf \col{blue}{\frac{21}{2}\notin[-2,8]},\fan{.} entonces \fan{.}\cm\col{bluer}{\bm{x=6}}\fan{.} es la única solución válida. Por tanto la respuesta es:

    \[\dva\Gbox{red}{\col{bluer}{\bm{\textbf{C.S.}=\{-6\}}}}\]

Ejemplo 03

Resolver la siguiente ecuación

    \[\bm{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}=3}\]

Ver resolución
1°)\fan{.} Los universos parciales son:

    \[\begin{array}{lrl} \col{mred}{\U_1}:2x-1\geq 0  & \sii &  x\in \col{mred}{\bm{\left[\cfr{1}{2},+\infty\right\rangle}}\col{white}{\big|}\\[0.1cm] \col{cgreen}{\U_2}:x+3\geq 0  & \sii &  x\in \col{cgreen}{\bm{[-3,+\infty\rangle}}      \end{array}\]

2°)\fan{.} Universo de la ecuación:

    \[\col{red}{\U} = \col{mred}{\U_1} \cap \col{cgreen}{\U_2}            = \col{red}{\bm{\left[\cfr{1}{2},+\infty\right\rangle}}\dva\]

3°)\fan{.} Ecuación equivalente:

    \[\sqrt{2x-1}=3-\sqrt{x+3}\dva\]

4°)\fan{.} Elevando al cuadrado obtenemos:

    \[6\sqrt{x+3}=13-x\dva\]

5°)\fan{.} Por el Teorema 1:

    \[\left(\col{red}{\bm{x\geq\cfr{1}{2}}}\right)  \ana \ab 13-x \geq 0 \cp  \ana \ac 36(x+3) = (13-x)^2 \cc\dva\]

6°)\fan{.} Intersectando intervalos y reduciendo la cuadrática

    \[\ab \cfr{1}{2} \leq x\leq 13\cp \ana   \ab x^2-62x+61 \cp \dva\]

7°)\fan{.} Resolviendo la cuadrática

    \[\ab \cfr{1}{2} \leq x \leq 13 \cp \ana   \ab x=1 \ona x=61 \cp \dva\]

8°)\fan{.} En vista que:

    \[\ab \col{cgreen}{\bm{1}}\in\left[\cfr{1}{2},13\right] \cp \ana    \ab \col{cgreen}{\bm{61}}\notin\left[\cfr{1}{2},13\right] \cp\dvd\]

la única solución válida es \cm\col{blue}{x=1}.\cm Por tanto la respuesta es:

    \[\dva\Gbox{red}{\col{bluer}{\bm{\textbf{C.S.}=\{1\}}}}\dva\]

Ejemplo 04

Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación

    \[\bm{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+8}=\sqrt{6x+1}}\]

Ver resolución
1°)\fan{.} Los universos parciales son:

    \[x+1\geq 0\;,\;x+8\geq 0\;,\;6x+1\geq 0\dva\]

2°)\fan{.} Universo de la ecuación:

    \begin{align*}  \col{white}{\overline{\overline \U} } %--- el renglón anterior empuja el align un poco hacia abajo para separarlo de la linea de texto anterior --- \col{red}{\U} &= (x\geq -1)  \;\col{blue}{\bm{\cap}}\;  (x\geq -8)  \;\col{blue}{\bm{\cap}}\;  (x\geq -\cfr{1}{6}) \\ \col{blue}{\sii}\;\col{red}{\U} & = \col{awesome}{\bm{\left[-\cfr{1}{6}, \infty \right\rangle}}  \col{white}{\cfr{1}{\underline 6}} %--- el renglón anterior es pa q QL no lo moche al 6 --- \end{align*}

3°)\fan{.} Elevando al cuadrado ambos lados obtenemos:

    \[\sqrt{x^2+9x+8}=2x-4\dva\]

4°)\fan{.} Por el Teorema 1:

    \[\col{awesome}{\bm{x\geq -\cfr{1}{6}}}   \ana \ab 2x - 4 \geq 0 \cp  \ana \ac x^2+9x+8 = (2x-4)^2 \cc \col{white}{\cfr{1}{\underline 6}} % pa q no lo moche al 6 del 1/6 \dva\]

5°)\fan{.} Reduciendo la ecuación cuadrática

    \[\ab x\geq -\cfr{1}{6} \ana  x\geq 2 \cp \ana  \ab 3x^2+9x+8 =0 \cp \col{white}{\cfr{1}{\underline 6}} % pa q no lo moche al 6 del 1/6 \dva\]

6°)\fan{.} Intersectando intervalos y hallando las raíces de la cuadrática

    \[\ab x\geq 2 \cp \ana \ab x=\cfr{1}{3} \ona x=8 \cp % \cp es cerrar paréntesis en negrita y naranja \col{white}{\cfr{1}{\underline 3}} % pa q no lo moche al 3 del 1/3 \dva % \dva pa q se separe del texto anterior\]

7°)\fan{.} Dado que:

    \[\ab \col{cgreen}{\bm{\cfr{1}{3}}}\notin\left[\cfr{1}{2},13\right] \cp \ana   \ab \col{cgreen}{\bm{8}}\in\left[2,+\infty\rangle \cp\]

la única solución válida es \cm\col{blue}{x=8}.\cm Por tanto la respuesta es:

    \[\dva\Gbox{red}{\col{bluer}{\bm{\textbf{C.S.}=\{8\}}}}\dva\]

1.3 Ejercicios Propuestos

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. \fan{a}\sqrt{2x-3}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-2}\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{2\}}}\]


2. \fan{a}\sqrt{3x+16}-\sqrt{2x+9}=1\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ 0,-4\}}}\]


3. \fan{a}\sqrt{2x-1}-\sqrt{3x+10}+\sqrt{x-1}=0\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ 5 \}}}\]


4. \fan{a}\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}=x\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{2\}}}\]


5. \fan{a}\sqrt{3x-6}+\sqrt{2x+6}=\sqrt{9x+4}\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{-4,5\}}}\]


6. \fan{a}\sqrt{2x-7}+\sqrt{x-5}=\sqrt{x}\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{\cfr{5+\sqrt{29}}{2}\}}}\]


7. \fan{a}\sqrt{x-2{\color{blue}{a}}}=\sqrt{x-5{\color{blue}{a}}}-\sqrt{x+3{\color{blue}{a}}}\,,\;{\color{amber}{a>0}}\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ 6a \}}}\]


8. \fan{a}\sqrt{x+2{\color{blue}{a}}}+\sqrt{x}=\sqrt{12x+{\color{blue}{a}}}\,,\;{\color{amber}{a>0}}\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ \cfr{a}{4}, \cfr{a}{24}\}}}\]


9. \fan{a}\sqrt{3x^2-7x-30}-\sqrt{2x^2-7x-5}=x-5\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ 5,6\}}}\]


10. \fan{a}\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=3\dvcc
Ver resolución
Respuesta:

    \[\col{blue}{\textbf{C.S.}\bm{=\{ \cfr{3}{5}\}}}\]



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