Ecuaciones con Valor Absoluto – ejercicios resueltos

Recuerde que: si son números reales cualesquiera:

Para el ejercicio, tenemos

siendo (V) una proposición verdadera, entonces el conjunto solución (C.S.) está compuesto por esos dos valores de $x$.

Respuesta :

De acuerdo con la propiedad antes vista
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
siendo:

$$a=\frac{x+1}{x-5}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=1$$

es evidente que $b=1\geq 0$, entonces no hay que resolver ninguna inecuación ahí, y solo se trabaja con
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$
En efecto:

donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado derecho $x=2$.

Respuesta :

De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
siendo:
$${a=\frac{2x-3}{1-x}}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=2$$
como es obvio que $b=2\geq 0$, o sea, no produce ninguna inecuación para resolver, solo se trabajará con
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$
En efecto:

donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado izquierdo $x=\frac{5}{4}$.

Respuesta :

De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
siendo:
$$a=\frac{3x}{4} – 1\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=4$$
entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, tendremos

esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta :

Aplicando la misma propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
identificándose:
$$a=\frac{4-x}{3x}\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=3$$
entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, se tiene

esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta :

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
pero primero reconociendo que:
$$a=2x+9\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-1$$
a diferencia de los casos anteriores $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ entonces, reemplazando $a$, $b$, se tiene

pero ninguno de estos valores de $x$ cumple con la condición de ser mayor o igual que 1, por tanto la solución es vacía y escribimos

Respuesta :

Una forma más clara de hallar el conjunto solución es graficando el intervalo $x\geq 1$, si nunguno de los valores de $x$ está en la parte coloreada en verde, entonces $CS=\emptyset.$

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
en donde identificamos:
$$a=x+6\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=2x+6$$
es claro que $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ que origina una inecuación $b\geq 0,$ la cual arrojará un intervalo que debe intersectarse con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$
Entonces, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

en este último renglón debemos de responder ¿cual de los valores del corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 3 (paréntesis naranja del mismo renglón). Veremos que único valor $x$ que cumple dicha condición es $x=0,$ luego:

Respuesta :

Pero si graficamos el intervalo $x\geq -3$ se puede entender mucho mejor

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
en donde identificamos:
$$a=4x-23\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-2$$
puesto que $b$ no es constante, sino una expresión de $x,$ se tendrá que resolver una inecuación $b\geq 0,$ luego se intersecta su solución con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$
Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

en este último renglón ¿cual de los valores en el corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 2. Lógicamente ambos valores de $x$ cumplen dicha condición, luego:

Respuesta :

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:
$$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$
en donde identificamos:
$$a=2x-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=5-2x.$$
Bueno, ya vimos que cuando $b$ no es número constante, se tendrá que resolver una inecuación al reemplazar $b$ en $b\geq 0,$ luego elegir los valores $x$ de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ que se encuentren en el intervalo solución.
Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

se descarta la expresión falsa (F), solo tenemos $x=2,$ que será solución solo si es menor o igual que $5/2$, (paréntesis naranja). Como $\frac{5}{2}=2.5$ y $2\leq 2.5$ se tiene:

Respuesta :

Es más fácil verlo desde el gráfico correspondiente

Ahora debe aplicarse una propiedad distinta a la usada en los los ejercicios anteriores.

Para todo para de números reales ${\color{red}{a}}$, ${\color{blue}{b}}$ se cumple:

donde se identifica:
$${\color{red}{a}}=6x+3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;{\color{blue}{b}}=18+x$$
entonces se sustituye:

De esto último:
$$7x+21=0\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,5x-15=0$$
de donde, despejando cada una, se obtiene:
$$x=-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;x=3$$
A diferencia de los casos anteriores, no hay intervalo que intersectar, entonces:

Respuesta :