Ecuaciones con Valor Absoluto – ejercicios resueltos

teorema del valor aboluto

A continuación presentamos una lista de ecuaciones que contienen expresiones lineales y expresiones racionales que están afectadas por el operador de valor absoluto (V.A.) caracterizado por las típicas barras $| .. |$.

La siguiente tabla muestra los enunciados con su respectivo conjunto solución (C.S.) y vinculados a sus respectivos desarrollos, luego clic en el spoiler para ver la resolución.

 EjercicioRespuesta
1)$\left| {2 - \frac{x}{3}} \right| = 2$$\text{C.S.} = \{0,12\}$
2)$\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1$$\text{C.S.}= \{2\}$
3)$\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2$$\text{C.S.}=\{\frac{5}{4}\}$
4)$\left| {\frac{3x}{4}} - 1 \right| = 4$$\text{C.S.}=\{-4,\frac{20}{3}\}$
5)$\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3$$\text{C.S.}= \{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\}$
6)$\left| {2x+9} \right| = x-1$$\text{C.S.}= \emptyset$
7)$\left| {x+6} \right| = 2x+6$$\text{C.S.}= \{0\}$
8)$\left| {4x-23} \right| = x-2$$\text{C.S.}= \{5,7\}$
9)$\left| {2x-3} \right| = 5-2x$$\text{C.S.}= \{2\}$
10)$\left|{6x+3}\right|=\left|{18+x}\right|\color{white}{..}$$\text{C.S.}= \{-3,3\}$

Desarrollo


Ejercicio 1. Resolver $$\left| {2 – \frac{x}{3}} \right| = 2$$
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Recuerde que: si \color{blue}{a},\color{red}{ b} son números reales cualesquiera:

Para el ejercicio, tenemos

siendo (V) una proposición verdadera, entonces el conjunto solución (C.S.) está compuesto por esos dos valores de $x$.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0,12\}  \phantom{a}}\qdr


Ejercicio 2. Hallar el valor de $x$ en: $$\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1$$

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De acuerdo con la propiedad antes vista $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $$a=\frac{x+1}{x-5}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=1$$ es evidente que $b=1\geq 0$, entonces no hay que resolver ninguna inecuación ahí, y solo se trabaja con $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$ En efecto:

ejercicio con valor absoluto
donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado derecho $x=2$.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\}  \phantom{a}}\qdr


Ejercicio 3. Resolver en la variable $x$ en: $$\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2$$

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De acuerdo con la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $${a=\frac{2x-3}{1-x}}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=2$$ como es obvio que $b=2\geq 0$, o sea, no produce ninguna inecuación para resolver, solo se trabajará con $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$ En efecto:

ecuacion con valor absoluto - ejercicio 02
donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado izquierdo $x=\frac{5}{4}$.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{\frac{5}{4}\right\}  \phantom{a}}\qdr


Ejercicio 4. Resolver la ecuación: $$\left| {\frac{3x}{4}} – 1 \right| = 4$$

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De acuerdo con la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $$a=\frac{3x}{4} – 1\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=4$$ entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, tendremos

ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 04
esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-4,\frac{20}{3}\right\}  \phantom{a}}\qdr


Ejercicio 5. Resuelva la ecuación con V.A. $$\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3$$

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Aplicando la misma propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ identificándose: $$a=\frac{4-x}{3x}\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=3$$ entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, se tiene

ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 05
esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right\}  \phantom{a}}\qdr


Ejercicio 6. Hallar $x$ en la ecuación $$\left| {2x+9} \right| = x-1$$
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Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ pero primero reconociendo que: $$a=2x+9\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-1$$ a diferencia de los casos anteriores $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ entonces, reemplazando $a$, $b$, se tiene

ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 06
pero ninguno de estos valores de $x$ cumple con la condición de ser mayor o igual que 1, por tanto la solución es vacía y escribimos

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\emptyset \phantom{a}}\qdr

Una forma más clara de hallar el conjunto solución es graficando el intervalo $x\geq 1$, si nunguno de los valores de $x$ está en la parte coloreada en verde, entonces $CS=\emptyset.$

Ejercicio 7. Hallar los valores de $x$ que verifican $$\left| {x+6} \right| = 2x+6$$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=x+6\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=2x+6$$ es claro que $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ que origina una inecuación $b\geq 0,$ la cual arrojará un intervalo que debe intersectarse con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Entonces, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 07
en este último renglón debemos de responder ¿cual de los valores del corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 3 (paréntesis naranja del mismo renglón). Veremos que único valor $x$ que cumple dicha condición es $x=0,$ luego:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0\}\phantom{a}}\qdr

Pero si graficamos el intervalo $x\geq -3$ se puede entender mucho mejor

Ejercicio 8. Resolver la ecuación $$\left| {4x-23} \right| = x-2$$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=4x-23\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-2$$ puesto que $b$ no es constante, sino una expresión de $x,$ se tendrá que resolver una inecuación $b\geq 0,$ luego se intersecta su solución con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

ecuación con valor absoluto - ejercicio n° 08
en este último renglón ¿cual de los valores en el corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 2. Lógicamente ambos valores de $x$ cumplen dicha condición, luego:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{5,7\}\phantom{a}}\qdr


Ejercicio 9. Encontrar el conjunto solución de $$\left| {2x-3} \right| = 5-2x$$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=2x-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=5-2x.$$ Bueno, ya vimos que cuando $b$ no es número constante, se tendrá que resolver una inecuación al reemplazar $b$ en $b\geq 0,$ luego elegir los valores $x$ de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ que se encuentren en el intervalo solución. Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:

ecuación con valor absoluto - ejercicio n° 08
se descarta la expresión falsa (F), solo tenemos $x=2,$ que será solución solo si es menor o igual que $5/2$, (paréntesis naranja). Como $\frac{5}{2}=2.5$ y $2\leq 2.5$ se tiene:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\}\phantom{a}}\qdr

Es más fácil verlo desde el gráfico correspondiente

gráfico solución de ecuación con valor absoluto


Ejercicio 10. Hallar el conjunto de valores $x$ que verifican $$\left| {6x+3} \right| = \left| {18+x} \right| $$

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Ahora debe aplicarse una propiedad distinta a la usada en los los ejercicios anteriores. Para todo para de números reales ${\color{red}{a}}$, ${\color{blue}{b}}$ se cumple:
V.A. Propiedad n° 2
donde se identifica: $${\color{red}{a}}=6x+3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;{\color{blue}{b}}=18+x$$ entonces se sustituye:
resolución del ejercicio 10 - Ec. con V.A.
De esto último: $$7x+21=0\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,5x-15=0$$ de donde, despejando cada una, se obtiene: $$x=-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;x=3$$ A diferencia de los casos anteriores, no hay intervalo que intersectar, entonces:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{-3,3\}\phantom{a}}\qdr


Este post continúa en:

Ecuaciones con valor absoluto (aplicaciones) 


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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