Ecuaciones con Valor Absoluto | Matemática Universitaria

A continuación presentamos una lista de ecuaciones que contienen expresiones lineales y expresiones racionales que están afectadas por el operador de valor absoluto (V.A.) caracterizado por las típicas barras $| .. |$ .

La siguiente tabla muestra los enunciados con su respectivo conjunto solución (C.S.) y vinculados a sus respectivos desarrollos, luego clic en el spoiler para ver la resolución.

\color{bluer}{\left| {2 - \frac{x}{3}} \right| = 2}

1. Ecuaciones Racionales con V.A.

Ejercicio 01

Resolver:

$\left| {2\,- \frac{x}{3}} \right| = 2$

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Recuerde que: si $\color{blue}{a},\color{red}{ b}$ son números reales cualesquiera:

Para el ejercicio, tenemos

siendo (V) una proposición verdadera, entonces el conjunto solución (C.S.) está compuesto por esos dos valores de $x$ .

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0,12\} \phantom{a}}\qdr$

Ejercicio 02

Hallar el valor de $x$ en:

$\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1$

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De acuerdo con la propiedad antes vista

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

siendo:

$a=\frac{x+1}{x-5}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=1$

es evidente que $b=1\geq 0$ , entonces no hay que resolver ninguna inecuación ahí, y solo se trabaja con

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$

En efecto:

donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado derecho $x=2$ .

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\} \phantom{a}}\qdr$

Ejercicio 03

Resolver en la variable $x$ en:

$\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2$

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De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

siendo:

${a=\frac{2x-3}{1-x}}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=2$

como es obvio que $b=2\geq 0$ , o sea, no produce ninguna inecuación para resolver, solo se trabajará con

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$

En efecto:

donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado izquierdo $x=\frac{5}{4}$ .

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{\frac{5}{4}\right\} \phantom{a}}\qdr$

Ejercicio 04

Resolver la ecuación:

$\left| {\frac{3x}{4}}\, - 1 \right| = 4$

Mostrar Resolución

De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

siendo:

$a=\frac{3x}{4} - 1\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=4$

entonces, reemplazando $a$ , $b$ en dicha propiedad, tendremos

esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-4,\frac{20}{3}\right\} \phantom{a}}\qdr$

Ejercicio 05

Resuelva la ecuación con V.A.

$\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3$

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Aplicando la misma propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

identificándose:

$a=\frac{4-x}{3x}\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=3$

entonces, reemplazando $a$ , $b$ en dicha propiedad, se tiene

esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right\} \phantom{a}}\qdr$

2. Ecuaciones Lineales con V.A.

Ejercicio 06

Hallar $x$ en la ecuación

$\left| {2x+9} \right| = x-1$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

pero primero reconociendo que:

$a=2x+9\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-1$

a diferencia de los casos anteriores $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ entonces, reemplazando $a$ , $b$ , se tiene

pero ninguno de estos valores de $x$ cumple con la condición de ser mayor o igual que 1, por tanto la solución es vacía y escribimos

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\emptyset \phantom{a}}\qdr$

Una forma más clara de hallar el conjunto solución es graficando el intervalo $x\geq 1$ , si nunguno de los valores de $x$ está en la parte coloreada en verde, entonces $CS=\emptyset.$

Ejercicio 07

Hallar los valores de $x$ que verifican

$\left| {x+6} \right| = 2x+6$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

en donde identificamos:

$a=x+6\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=2x+6$

es claro que $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ que origina una inecuación $b\geq 0,$ la cual arrojará un intervalo que debe intersectarse con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Entonces, reemplazando $a$ , $b$ , en la propiedad:

en este último renglón debemos de responder ¿cual de los valores del corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 3 (paréntesis naranja del mismo renglón). Veremos que único valor $x$ que cumple dicha condición es $x=0,$ luego:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0\}\phantom{a}}\qdr$

Pero si graficamos el intervalo $x\geq -3$ se puede entender mucho mejor

Ejercicio 08

Resolver la ecuación

$\left| {4x-23} \right| = x-2$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

en donde identificamos:

$a=4x-23\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-2$

puesto que $b$ no es constante, sino una expresión de $x,$ se tendrá que resolver una inecuación $b\geq 0,$ luego se intersecta su solución con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Así pues, reemplazando $a$ , $b$ , en la propiedad:

en este último renglón ¿cual de los valores en el corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 2. Lógicamente ambos valores de $x$ cumplen dicha condición, luego:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{5,7\}\phantom{a}}\qdr$

Ejercicio 09

Encontrar el conjunto solución de

$\left| {2x-3} \right| = 5-2x$

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Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$

en donde identificamos:

$a=2x-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=5-2x.$

Bueno, ya vimos que cuando $b$ no es número constante, se tendrá que resolver una inecuación al reemplazar $b$ en $b\geq 0,$ luego elegir los valores $x$ de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ que se encuentren en el intervalo solución. Así pues, reemplazando $a$ , $b$ , en la propiedad:

se descarta la expresión falsa (F), solo tenemos $x=2,$ que será solución solo si es menor o igual que $5/2$ , (paréntesis naranja). Como $\frac{5}{2}=2.5$ y $2\leq 2.5$ se tiene:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\}\phantom{a}}\qdr$

Es más fácil verlo desde el gráfico correspondiente

Ejercicio 10

Hallar el conjunto de valores $x$ que verifican

$\left| {6x+3} \right| = \left| {18+x} \right|$

Mostrar Resolución

Ahora debe aplicarse una propiedad distinta a la usada en los los ejercicios anteriores. Para todo para de números reales ${\color{red}{a}}$ , ${\color{blue}{b}}$ se cumple:

donde se identifica:

${\color{red}{a}}=6x+3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;{\color{blue}{b}}=18+x$

entonces se sustituye:

De esto último:

$7x+21=0\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,5x-15=0$

de donde, despejando cada una, se obtiene:

$x=-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;x=3$

A diferencia de los casos anteriores, no hay intervalo que intersectar, entonces:

Respuesta : $\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{-3,3\}\phantom{a}}\qdr$

Este post continúa en:

Ecuaciones con valor absoluto (aplicaciones)

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Máximo Entero (parte 2) - Teoremas

Gráfica de funciones mediante criterio de asíntotas (parte2)

Aplicaciones del Máximo Entero en la vida real

2 Comments

elvia marina peralvo dice:

19 Marzo, 2020 a las 5:02 pm

excelente guía felicidades aprendi mas y despeje algunas dudas

Responder
1. Salomón CB dice:
  
  19 Marzo, 2020 a las 7:47 pm
  
  Me alegra que le sea de utilidad señorita. Puede comentar cualquier otra duda que tenga. Saludos 🙂
  
  Responder

	EJERCICIO	RESPUESTA
1.	$\color{bluer}{\left\| {2 - \frac{x}{3}} \right\| = 2}$	$\text{C.S.} = \{0,12\}$
2.	$\color{bluer}{\left\|\frac{x+1}{x-5}\right\| = 1}$	$\text{C.S.}=\{2\}$
3.	$\color{bluer}{\left\| {\frac{2x-3}{1-x}} \right\| = 2}$	$\text{C.S.}=\{\frac{5}{4}\}$
4.	$\color{bluer}{\left\| {\frac{3x}{4}} - 1 \right\| = 4}$	$\text{C.S.}=\{-4,\frac{20}{3}\}$
5.	$\color{bluer}{\left\| {\frac{4-x}{3x}} \right\| = 3}$	$\text{C.S.}= \{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\}$
6.	$\color{bluer}{\left\| {2x+9} \right\| = x-1}$	$\text{C.S.}= \emptyset$
7.	$\color{bluer}{\left\| {x+6} \right\| = 2x+6}$	$\text{C.S.}= \{0\}$
8.	$\color{bluer}{\left\| {4x-23} \right\| = x-2}$	$\text{C.S.}= \{5,7\}$
9.	$\color{bluer}{\left\| {2x-3} \right\| = 5-2x}$	$\text{C.S.}=\{2\}$
10.	$\color{bluer}{\left\|{6x+3}\right\|=\left\|{18+x}\right\|}$	$\text{C.S.}= {-3,3}$

Ecuaciones con Valor Absoluto – ejercicios resueltos

1. Ecuaciones Racionales con V.A.

Ejercicio 01

Ejercicio 02

Ejercicio 03

Ejercicio 04

Ejercicio 05

2. Ecuaciones Lineales con V.A.

Ejercicio 06

Ejercicio 07

Ejercicio 08

Ejercicio 09

Ejercicio 10

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