Ecuaciones con Valor Absoluto – ejercicios resueltos

Posted by 10 Febrero, 2017 in Análisis real
teorema del valor aboluto

A continuación presentamos una lista de ecuaciones que contienen expresiones lineales y expresiones racionales que están afectadas por el operador de valor absoluto (V.A.) caracterizado por las típicas barras | .. |.

La siguiente tabla muestra los enunciados con su respectivo conjunto solución (C.S.) y vinculados a sus respectivos desarrollos, luego clic en el spoiler para ver la resolución.

EJERCICIORESPUESTA
1.\color{bluer}{\left| {2 - \frac{x}{3}} \right| = 2}\text{C.S.} = \{0,12\}
2.\color{bluer}{\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1}\text{C.S.}=\{2\}
3.\color{bluer}{\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2}\text{C.S.}=\{\frac{5}{4}\}
4.\color{bluer}{\left| {\frac{3x}{4}} - 1 \right| = 4}\text{C.S.}=\{-4,\frac{20}{3}\}
5.\color{bluer}{\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3}\text{C.S.}= \{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\}
6.\color{bluer}{\left| {2x+9} \right| = x-1}\text{C.S.}= \emptyset
7.\color{bluer}{\left| {x+6} \right| = 2x+6}\text{C.S.}= \{0\}
8.\color{bluer}{\left| {4x-23} \right| = x-2}\text{C.S.}= \{5,7\}
9.\color{bluer}{\left| {2x-3} \right| = 5-2x}\text{C.S.}=\{2\}
10.\color{bluer}{\left|{6x+3}\right|=\left|{18+x}\right|}\text{C.S.}= {-3,3}

1. Ecuaciones Racionales con V.A.

Ejercicio 01

Resolver:

    \[\left| {2\,- \frac{x}{3}} \right| = 2\]

Mostrar Resolución

Recuerde que: si \color{blue}{a},\color{red}{ b} son números reales cualesquiera:

Para el ejercicio, tenemos

siendo (V) una proposición verdadera, entonces el conjunto solución (C.S.) está compuesto por esos dos valores de x.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0,12\} \phantom{a}}\qdr

Ejercicio 02

Hallar el valor de x en:

    \[\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1\]

Mostrar Resolución

De acuerdo con la propiedad antes vista

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

siendo:

    \[a=\frac{x+1}{x-5}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=1\]

es evidente que b=1\geq 0, entonces no hay que resolver ninguna inecuación ahí, y solo se trabaja con

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]\]

En efecto:
ejercicio con valor absoluto
donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado derecho x=2.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\} \phantom{a}}\qdr

Ejercicio 03

Resolver en la variable x en:

    \[\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2\]

Mostrar Resolución

De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

siendo:

    \[{a=\frac{2x-3}{1-x}}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=2\]

como es obvio que b=2\geq 0, o sea, no produce ninguna inecuación para resolver, solo se trabajará con

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]\]

En efecto:
ecuacion con valor absoluto - ejercicio 02
donde (F) indica la falsedad, entonces solo queda la solución del lado izquierdo x=\frac{5}{4}.

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{\frac{5}{4}\right\} \phantom{a}}\qdr

Ejercicio 04

Resolver la ecuación:

    \[\left| {\frac{3x}{4}}\, - 1 \right| = 4\]

Mostrar Resolución

De acuerdo con la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

siendo:

    \[a=\frac{3x}{4} - 1\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=4\]

entonces, reemplazando a, b en dicha propiedad, tendremos
ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 04
esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-4,\frac{20}{3}\right\} \phantom{a}}\qdr

Ejercicio 05

Resuelva la ecuación con V.A.

    \[\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3\]

Mostrar Resolución

Aplicando la misma propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

identificándose:

    \[a=\frac{4-x}{3x}\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=3\]

entonces, reemplazando a, b en dicha propiedad, se tiene
ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 05
esta vez obtuvimos dos soluciones, entonces escribimos:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right\} \phantom{a}}\qdr

2. Ecuaciones Lineales con V.A.

Ejercicio 06

Hallar x en la ecuación

    \[\left| {2x+9} \right| = x-1\]

Mostrar Resolución

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

pero primero reconociendo que:

    \[a=2x+9\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-1\]

a diferencia de los casos anteriores b no es una constante, sino una expresión de x, entonces, reemplazando a, b, se tiene
ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 06
pero ninguno de estos valores de x cumple con la condición de ser mayor o igual que 1, por tanto la solución es vacía y escribimos

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\emptyset \phantom{a}}\qdr

Una forma más clara de hallar el conjunto solución es graficando el intervalo x\geq 1, si nunguno de los valores de x está en la parte coloreada en verde, entonces CS=\emptyset.

Ejercicio 07

Hallar los valores de x que verifican

    \[\left| {x+6} \right| = 2x+6\]

Mostrar Resolución

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

en donde identificamos:

    \[a=x+6\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=2x+6\]

es claro que b no es una constante, sino una expresión de x, que origina una inecuación b\geq 0, la cual arrojará un intervalo que debe intersectarse con el resultado de [\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;] Entonces, reemplazando a, b, en la propiedad:
ecuacion con valor absoluto - ejercicio n° 07
en este último renglón debemos de responder ¿cual de los valores del corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 3 (paréntesis naranja del mismo renglón). Veremos que único valor x que cumple dicha condición es x=0, luego:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0\}\phantom{a}}\qdr

Pero si graficamos el intervalo x\geq -3 se puede entender mucho mejor

Ejercicio 08

Resolver la ecuación

    \[\left| {4x-23} \right| = x-2\]

Mostrar Resolución

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

en donde identificamos:

    \[a=4x-23\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-2\]

puesto que b no es constante, sino una expresión de x, se tendrá que resolver una inecuación b\geq 0, luego se intersecta su solución con el resultado de [\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;] Así pues, reemplazando a, b, en la propiedad:
ecuación con valor absoluto - ejercicio n° 08
en este último renglón ¿cual de los valores en el corchete morado (o purpura) son mayores o iguales que 2. Lógicamente ambos valores de x cumplen dicha condición, luego:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{5,7\}\phantom{a}}\qdr

Ejercicio 09

Encontrar el conjunto solución de

    \[\left| {2x-3} \right| = 5-2x\]

Mostrar Resolución

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

    \[[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)\]

en donde identificamos:

    \[a=2x-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=5-2x.\]

Bueno, ya vimos que cuando b no es número constante, se tendrá que resolver una inecuación al reemplazar b en b\geq 0, luego elegir los valores x de [\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;] que se encuentren en el intervalo solución. Así pues, reemplazando a, b, en la propiedad:
ecuación con valor absoluto - ejercicio n° 08
se descarta la expresión falsa (F), solo tenemos x=2, que será solución solo si es menor o igual que 5/2, (paréntesis naranja). Como \frac{5}{2}=2.5 y 2\leq 2.5 se tiene:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\}\phantom{a}}\qdr

Es más fácil verlo desde el gráfico correspondiente

gráfico solución de ecuación con valor absoluto

Ejercicio 10

Hallar el conjunto de valores x que verifican

    \[\left| {6x+3} \right| = \left| {18+x} \right|\]

Mostrar Resolución
Ahora debe aplicarse una propiedad distinta a la usada en los los ejercicios anteriores. Para todo para de números reales {\color{red}{a}}, {\color{blue}{b}} se cumple:
V.A. Propiedad n° 2
donde se identifica:

    \[{\color{red}{a}}=6x+3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;{\color{blue}{b}}=18+x\]

entonces se sustituye:
resolución del ejercicio 10 - Ec. con V.A.
De esto último:

    \[7x+21=0\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,5x-15=0\]

de donde, despejando cada una, se obtiene:

    \[x=-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;x=3\]

A diferencia de los casos anteriores, no hay intervalo que intersectar, entonces:

Respuesta : \quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{-3,3\}\phantom{a}}\qdr

Este post continúa en:

Ecuaciones con valor absoluto (aplicaciones) 

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6 Comments

  2. Hola Salomón, tengo una duda con este ejercicio |(x-5)/(x-3)|=0 llegué a esta inecuación (2x-16)/(x-3)>=0 y obtuve estos puntos críticos x=8 y x=3. Obtuve este rango de valores que satisfacen la inecuación: (-oo, 3) U [8, oo).

    Para -(x-5)/(x3)=0 y obtuve estos puntos críticos x=13/4 y x=3. Obtuve este rango de valores que satisfacen la inecuación: (-oo, 3) U (3, 13/4] U [13/4, oo).

    Por tanto la solución a la inecuación sería: (-oo, 3) U (3, oo)

    Te agradecería tus comentarios.

    Saludos,

    Responder

    1. Hola Valentín. Perdón por la tardanza. Y pues.. si tu ejercicio solo es:

          $$\left|\frac{x-5}{x-3}\right|=0$$

      entonces el conjunto solución es:

          $$CS=\{5\}$$

      Y si tu ejercicio es solamente la inecuación:

          $$\frac{2x-16}{x-3}\geq 0$$

      entonces el conjunto solución es tal como dices:

          $$CS=\langle-\infty,3\rangle \cap [8,\infty\rangle$$

      Pero si tu ejercicio es ambos, o sea:

          $$\left(\left|\frac{x-5}{x-3}\right|=0 \right) \wedge \left(\frac{2x-16}{x-3}\geq 0\right)$$

      entonces la solución es el conjunto vacío ($\displaystyle{CS=\emptyset}$), puesto que no existe $\displaystyle{x=5}$ tal que $x\in\langle-\infty,3\rangle \cap [8,\infty\rangle$, es decir se deben intersectar ambos conjuntos obtenidos.

      Responder

    1. Hola Freddy. Disculpa estuve ausente un tiempo, pero ya estoy denuevo acá. Y pues veo que tu ejercicio es así:

          $$\left|(\sqrt{3}+\sqrt{5})x+\sqrt{5}\right|=\sqrt{3}\right|$$

      entonces la solución deberá salirte tal que así:

          $$CS=\{-4+\sqrt{15},-1\}$$

      Veamos paso a paso como se llega a eso:
      Paso 1.

          $$(\sqrt{3}+\sqrt{5})x+\sqrt{5} = \sqrt{3}\;\; \vee \;\;(\sqrt{3}+\sqrt{5})x+\sqrt{5} = -\sqrt{3}$$

      eso es aplicando la propiedad

          $$|a|=b \;\;\Leftrightarrow\;\; [a=b\; \vee \;a=-b]$$

      la cual nos permite eliminar el operador de |\ldots|, o sea, las barras del V.A.
      Paso 2.

          $$(\sqrt{3}+\sqrt{5})x = \sqrt{3} - \sqrt{5}\; \vee \;(\sqrt{3}+\sqrt{5})x = -\sqrt{3} -\sqrt{5}$$

      Paso 3.

          $$x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\;\; \vee \;\;x = -\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

      Luego de racionalizar y simplificar (verifícalo por ti mismo) llegamos a:

          $$x=-4+\sqrt{15}\;\; \vee \;\;x=-1$$

      Estudia mucho, suerte en todo.

      Responder

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