A continuación presentamos una lista de ecuaciones que contienen expresiones lineales y expresiones racionales que están afectadas por el operador de valor absoluto (V.A.) caracterizado por las típicas barras $| .. |$.
La siguiente tabla muestra los enunciados con su respectivo conjunto solución (C.S.) y vinculados a sus respectivos desarrollos, luego clic en el spoiler para ver la resolución.
| Ejercicio | Respuesta | |
|---|---|---|
| 1) | $\left| {2 - \frac{x}{3}} \right| = 2$ | $\text{C.S.} = \{0,12\}$ |
| 2) | $\left|\frac{x+1}{x-5}\right| = 1$ | $\text{C.S.}= \{2\}$ |
| 3) | $\left| {\frac{2x-3}{1-x}} \right| = 2$ | $\text{C.S.}=\{\frac{5}{4}\}$ |
| 4) | $\left| {\frac{3x}{4}} - 1 \right| = 4$ | $\text{C.S.}=\{-4,\frac{20}{3}\}$ |
| 5) | $\left| {\frac{4-x}{3x}} \right| = 3$ | $\text{C.S.}= \{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\}$ |
| 6) | $\left| {2x+9} \right| = x-1$ | $\text{C.S.}= \emptyset$ |
| 7) | $\left| {x+6} \right| = 2x+6$ | $\text{C.S.}= \{0\}$ |
| 8) | $\left| {4x-23} \right| = x-2$ | $\text{C.S.}= \{5,7\}$ |
| 9) | $\left| {2x-3} \right| = 5-2x$ | $\text{C.S.}= \{2\}$ |
| 10) | $\left|{6x+3}\right|=\left|{18+x}\right|\color{white}{..}$ | $\text{C.S.}= \{-3,3\}$ |
Desarrollo
Recuerde que: si 
son números reales cualesquiera:
Para el ejercicio, tenemos
siendo (V) una proposición verdadera, entonces el conjunto solución (C.S.) está compuesto por esos dos valores de $x$.
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0,12\} \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2537dc4e6ddfe43c69ff6f8c39d77cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De acuerdo con la propiedad antes vista $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $$a=\frac{x+1}{x-5}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=1$$ es evidente que $b=1\geq 0$, entonces no hay que resolver ninguna inecuación ahí, y solo se trabaja con $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$ En efecto:
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\} \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fccd26c79da7116b1d90436e719b45a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De acuerdo con la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $${a=\frac{2x-3}{1-x}}\;\,{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\,b=2$$ como es obvio que $b=2\geq 0$, o sea, no produce ninguna inecuación para resolver, solo se trabajará con $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;} \;\, a=-b\;]$$ En efecto:
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{\frac{5}{4}\right\} \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c7cf3d51cc5ff9f8a2dfd8c45715cdd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De acuerdo con la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ siendo: $$a=\frac{3x}{4} – 1\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=4$$ entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, tendremos
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-4,\frac{20}{3}\right\} \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1cd712134e8a82900c5faf7f04483e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicando la misma propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ identificándose: $$a=\frac{4-x}{3x}\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=3$$ entonces, reemplazando $a$, $b$ en dicha propiedad, se tiene
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\left\{-\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right\} \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48cd174e4e697ba9aa0df18eb97da9f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ pero primero reconociendo que: $$a=2x+9\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-1$$ a diferencia de los casos anteriores $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ entonces, reemplazando $a$, $b$, se tiene
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\emptyset \phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-166be269df8fbf8c53d96bd620f5b940_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=x+6\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=2x+6$$ es claro que $b$ no es una constante, sino una expresión de $x,$ que origina una inecuación $b\geq 0,$ la cual arrojará un intervalo que debe intersectarse con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Entonces, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{0\}\phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f432ce7e9d7bb22908574fa44147b984_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=4x-23\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=x-2$$ puesto que $b$ no es constante, sino una expresión de $x,$ se tendrá que resolver una inecuación $b\geq 0,$ luego se intersecta su solución con el resultado de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{5,7\}\phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-807a0ce526aee97837b3f3a782ce08f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b\;]\;{\; {\scriptstyle \wedge} \;}\;(b\geq 0)$$ en donde identificamos: $$a=2x-3\;\;{\color{BurntOrange}{\text{y}}}\;\;b=5-2x.$$ Bueno, ya vimos que cuando $b$ no es número constante, se tendrá que resolver una inecuación al reemplazar $b$ en $b\geq 0,$ luego elegir los valores $x$ de $[\;a=b \;\,{\; {\scriptstyle \vee} \;}\;\, a=-b.\;]$ que se encuentren en el intervalo solución. Así pues, reemplazando $a$, $b$, en la propiedad:
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{2\}\phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7113f801e9ff9304b301543f58ee3ebc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Es más fácil verlo desde el gráfico correspondiente
Respuesta : ![\quad \Gbox{red}{ \phantom{a} \rule[-1.5mm]{0cm}{6mm} \textrm{C.S.}=\{-3,3\}\phantom{a}}\qdr](https://matematicauniversitaria.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ef271793f0b122b528c45711c0ff06a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Ecuaciones con valor absoluto (aplicaciones)
