La Ecuación de Onda

ecuacion de una cuerda vibrante en EDP

Problema con Valores en la Frontera (PVF) 

La Ecuación de Onda es una EDP que describe la altura u(x,t) de cada punto con coordenada \color{RoyalBlue}{x}, a lo largo de una cuerda vibrante de longitud L, en el instante {\color{magenta}{t}}. Debido a esto, es un caso unidimensional de ecuación de onda, y pertenece a la clase de problemas con valores en la frontera (PVF) homogéneos, el cual tiene la siguiente forma

(1)   \begin{equation*} {\Cbox{red}{\begin{array}{c} {\displaystyle a^2\frac{\partial^2 {\boldsymbol{u}}}{\partial {\color{RoyalBlue}{x}}^2} = \frac{\partial^2 {\boldsymbol{u}}}{\partial {\color{magenta}{t}}^2}}\\[0.35cm] 0 < {\color{RoyalBlue}{x}} < L , \quad {\color{magenta}{t}} > 0 \\[-0.10cm] \end{array}}} \end{equation*}

sujeta a:

(2)   \begin{equation*}\left\{    \begin{array}{r}     u(0,{\color{magenta}{t}}) = 0\\     u(L,{\color{magenta}{t}}) = 0    \end{array}\right. , \quad {\color{magenta}{t}} > 0  \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} \left\{\begin{array}{r} u({\color{RoyalBlue}{x}},0) = f({\color{RoyalBlue}{x}})\\[0.10cm] {\left. \frac{\partial u}{\partial {\color{magenta}{t}}} \right|_{{\color{magenta}{t}}=0}}({\color{RoyalBlue}{x}},0) = g({\color{teal}{x}}) \end{array}\right. ,\quad 0 < {\color{RoyalBlue}{x}} < L  \end{equation*}

Las ecuaciones (2) son llamadas condiciones de frontera (CF), de ahí que la ecuación de onda es una clase de \textcolor{verde}{\emph{problema con valores en la frontera (PVF)}}, y \textcolor{verde}{\emph{homogéneo}} porque (1) y (2) son condiciones homogéneas.

Las ecuaciones (3) son llamadas condiciones iniciales (CI), puesto que para t=0 \textcolor{verde}{[  \emph{el instante inicial} ]} las expresiones u(x,0) y \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0} son conocidas por los valores de f(x) y g(x). Ellas representan (\textcolor{verde}{\emph{respectivamente}}) la posición inicial de la cuerda y la velocidad inicial en el punto {\color{RoyalBlue}{x}}.

Por simplicidad, en adelante (\textcolor{verde}{\emph{y en los ejercicios resueltos}}), la ecuación (1) se escribirá en su forma de subíndice para referirse a sus derivadas parciales

    \[\boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}}\]

Similarmente, para referirse a \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0}, se escribirá

    \[\boldsymbol{u_t}(x,0) = g(x)\]

Nuestro objetivo es encontrar soluciones no triviales en forma de producto de funciones de una variable para esta ecuación de onda, o llámese también PVF [(1)-(3)].

Cálculo de la Solución

1. Separando variables Suponga que la solución es de la forma

(3.1)   \begin{equation*} u(x,t)=X(x)T(t) \end{equation*}

ya que, de momento, solo nos interesan las soluciones en forma de producto, las cuales nos darán ciertas ventajas.

Reemplazando 3.1 en a^2u_{xx}=u_{tt} se tiene

{\color{vrdclr}{.\hspace{0.3cm}.}}\begin{array}{>{\displaystyle}r@{\,}>{\displaystyle}lrc} a^2\frac{{\text d}^2}{{\text d}x^2}\left[X(x)T(t)\right]&=\frac{{\text d}^2}{{\text d}t^2}\left[X(x)T(t)\right]&\\[0.40cm] a^2X''(x)T(t)&=X(x)T''(t)&\\[0.25cm]  \frac{X''(x)}{X(x)}&=\frac{T''(t)}{a^2 T(t)}&\hspace{-0.4cm}\textcolor{teal}{\text{(3.2)}} \end{array}

Si analizamos la igualdad (3.2), se sigue que ambos miembros poseen un valor real constante para toda x,t. Dicho valor lo simbolizamos por -\lambda.

    \begin{align*} \frac{X^{\pr\pr}}{X} &=-\lambda\\  \frac{T^{\pr\pr}}{a^2 T}&=-\lambda  \end{align*}

Se eligió el signo negativo para tratar con más comodidad las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s) que se forman a partir de aquí (llámese convención matemática)

    \begin{align*} X''+\lambda X =0 \hspace{1cm} \text{\textcolor{teal}{(4)}}\\ T''+\lambda a^2 T =0 \hspace{1cm} \text{\textcolor{teal}{(5)}} \end{align*}

Por otro lado al sustituir (3.1) en las condiciones de frontera (2) se tiene:

{\color{vrdclr}{.\hspace{0.1cm}.}}    \begin{array}{>{\displaystyle}cc>{\displaystyle}cc}   u({\color{red}{0}},t) = 0 &,& u({\color{blue}{L}},t) = 0 & \\[0.3cm]   X({\color{red}{0}})\p T(t) = 0 &,& X({\color{blue}{L}})\p T(t) = 0 & \\ [0.2cm] X({\color{red}{0}})=\frac{0}{T(t)}&,& X({\color{blue}{L}})=\frac{0}{T(t)}& {\color{vrdclr}{{.\hspace{0.1cm}.}}}{\textcolor{teal}{\text{(5.1)}}}\\[0.40cm] X({\color{red}{0}}) = 0 &,& X({\color{blue}{L}}) = 0 &{\color{vrdclr}{.\hspace{0.1cm}.}}{\textcolor{teal}{\text{(5.2)}}}   \end{array}

Lo visto en (5.1) y (5.2) tiene sentido porque nuestro objetivo es encontrar soluciones no triviales del PVF [(1) – (3)], es decir, tenemos que asumir que u=XT es una solución no trivial por lo que u\neq0 implica X\neq0 y T\neq0 para toda (x,t) en \langle0,L\rangle\times\langle0,\infty\rangle.

Ahora, si juntamos las ecuaciones (4) y (5.2) [la ecuación (5) la dejamos para más adelante] tenemos

(6)   \begin{equation*}\left\{    \begin{array}{c}     X^{\pr \pr}+\lambda X =0 \\     X(0)=0 \quad,\quad X(L)=0    \end{array}\right.  \end{equation*}

un problema regular de Sturm-Liouville. [Que no asuste el nombre, no es difícil resolverlo, si ya se conocen los primeros temas de EDO’s lineales homogéneas].

2. Resolviendo para X=X(x) Para resolver (6) debe considerarse tres casos: \lambda = 0, \,\lambda < 0\, y \,\lambda > 0.

Caso I. [Cuando \color{red}{\lambda = 0}]

    \begin{align*} {\color{vrdclr}{.\hspace{0.9cm}.}}X''+ \lambda X & =0 \\ X''+ {\Bcnl{blue}{{\color{red}{0}}\p X}} & =0 \\    X'' & =0  \hspace{1.36cm} \text{\textcolor{teal}{(6.1)}}{\color{vrdclr}{.\hspace{0.6cm}.}} \end{align*}

Integrando sucesivamente ambos lados de la igualdad (6.1)

    \begin{align*}    X'' & =0 \\    X'  & = c_1 \\    {\color{vrdclr}{.\hspace{0.8cm}.}}X(x) & = c_1x + c_2\hspace{1.0cm} \text{\textcolor{teal}{(6.2)}}{\color{vrdclr}{..}} \end{align*}

donde c_1 y c_2 son constantes arbitrarias. Si usamos las condiciones de frontera para (6.2) tenemos:

{\color{vrdclr}{.\hspace{0.1cm}.}} \begin{array}{r@{\,}l@{\quad}c@{\quad}r@{\,}lc}    X(0)  &=0& {\color{blue}{,}}  & X(L)        & = 0   & \\[0.3cm] c_1(0) + c_2   &=0     & {\color{blue}{,}}  & c_1(L) + c_2 & = 0  & \\[0.3cm]    c_2            &=\color{red}{0}& \color{blue}{\rightarrow} & c_1(L) + \color{red}{0}& = 0          & \\[0.2cm] &  &                    & c_1                  & =\dfrac{0}{L}   & \\[0.3cm] \therefore \;\;c_2        &=0& {\color{blue}{,}} & c_1   & = 0     & \hspace{0.5cm} \text{\textcolor{teal}{(6.3)}} \end{array}

Si sustituimos (6.3) en (6.2), la solución es

    \[X(x)=0\cdot x+0\]

una función nula

    \[X(x)={\color{red}{0}}\; , \;\forall x\in \langle0,L\rangle,\]

y por ende u= X \p T = {\color{red}{0}} \p T = \boldsymbol{0} es la solución trivial u=0. Por tanto, el caso I (\color{NavyBlue}{\lb =0}) se descarta.

Caso II. [Cuando \color{red}{\lb < 0}]

Es conveniente escribir (note la convención matemática): \lb =-{\ap}^2, con \ap> 0. Entonces al reemplazarlo en la primera ecuación de (6) se tiene

(7.1)   \begin{equation*} X^{\pr \pr}-{\ap}^2X=0 \end{equation*}

se identifica su ecuación característica y se resuelve [como toda EDO homogénea de coeficientes constantes] en la variable m:

    \[\begin{array}{c}    m^2-\ap^2=0 \\ m=\ap \; \ou \; m=-\ap \end{array}\]

Como x pertenece a un intervalo finito, la solución de (7.1) es la expresión hiperbólica [ver propiedades de las EDO’s lineales]

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(7.2)   \begin{equation*}  X(x) = c_1 \cosh (\ap x) + c_2 \senh (\ap x)  \end{equation*}

Entonces, la condición inicial X(0)=0 implica

    \begin{align*}                  X({\color{red}{0}})&=0\\ c_1 \cosh(\ap\p{\color{red}{0}}) + c_2 \senh(\ap\p{\color{red}{0}})&=0\\  c_1\cdot 1 + \Ccnl{red}{c_2\cdot 0}      &=0\\                             c_1  &=0 \end{align*}

reemplazando c_1=0 en (7.2)

(7.3)   \begin{equation*}  X(x) = c_2 \senh (\ap x)  \end{equation*}

reemplazando (7.3) en la condición inicial X(L)=0 implica

    \[X({\color{blue}{L}})=0\]

(7.4)   \begin{equation*} c_2 \senh(\ap\p{\color{blue}{L}})=0  \end{equation*}

como L>0 y \ap > 0, se tiene \ap\p L> 0, con lo cual \senh(\ap\p{\color{blue}{L}})> 0. [Ver propiedades de las funciones hiperbólicas o grafique y=\senh(x)]. Entonces, en (7.4) podemos cancelar el seno hiperbólico quedando c_2=0.

Si reemplazamos c_2=0 en (7.3) encontramos que

    \[X(x)={\color{red}{0}}\cdot\senh(\ap\p L)\]

(7.5)   \begin{equation*} \Rightarrow \,\;X(x) = 0,\quad \forall x\in \langle 0,L \rangle  \end{equation*}

lo que indica que (7.5) es también una solución trivial. Ahora solo nos queda el

Caso III. [Cuando \color{red}{\lb > 0}]

Igual como en el caso anterior escribimos \lb = \ap^2 con \ap> 0. Entonces al reemplazarlo en la primera ecuación de (6) nos da

(8.1)   \begin{equation*} X^{\pr \pr}+{\ap}^2X=0 \end{equation*}

se identifica su ecuación característica y se resuelve (como toda EDO homogénea de coeficientes constantes) en la variable m:

    \[\begin{array}{c}    m^2-\ap^2=0 \\ m=\ap \; \ou \; m=-\ap \end{array}\]

Pero esta vez tenemos raíces complejas conjugadas, entonces está claro que la solución de (8.1) [ver propiedades de las EDO’s lineales] está dada por la forma trigonométrica

(8.2)   \begin{equation*}  X(x) = c_1 \cos(\ap x) + c_2 \sen(\ap x)  \end{equation*}

Nuevamente, usando las condiciones iniciales X(0)=0 y X(L)=0 tenemos

    \begin{align*}                  X({\color{red}{0}})&=0\\ c_1 \cos(\ap\p{\color{red}{0}}) + c_2\sen(\ap\p{\color{red}{0}})&=0\\  c_1\cdot 1 + \Ccnl{red}{c_2\cdot 0}      &=0\\                             c_1  &=0 \end{align*}

reemplazando c_1=0 en (8.2)

(8.3)   \begin{equation*} X(x) = c_2 \sen(\ap x) \end{equation*}

reemplazando (8.3) en la condición inicial X(L)=0 implica

    \begin{align*}                  X({\color{red}{L}})&=0\\ c_2 \sen(\ap\p{\color{red}{L}})&=0 \end{align*}

entonces

    \[c_2 = 0\;\ou\,\sen(\ap\p L)=0\]

pero, como se buscan las no triviales, se asume c_2 \neq 0 y se plantea:

    \begin{align*} \sen(\ap \p L)&=0\\ \ap \p L&=n\pi\;,\;\;\ n\in \Z^{+} \\ \rightarrow\;\,\ap &=\frac{n\pi}{L},\,\; \ap>0 \\ \rightarrow\;\,\sqrt{\lb} &=\frac{n\pi}{L}\end{align*}

(8.4)   \begin{equation*} \therefore \;\,\lb =\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\;\;\ n\in \Z^{+} \end{equation*}

de donde

(8.5)   \begin{equation*} X(x)=c_2\sen\left(\frac{n\pi}{L}x\right) \end{equation*}

es una solución para cada

(8.6)   \begin{equation*} \lb_n =\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\; n\in\Z^{+} \end{equation*}

estas dos últimas son las funciones propias y valores propios (respectivamente) de un problema regular de Sturm-Liouville.

Finalmente, en (8.5) y (8.6) , encontramos las soluciones no triviales para X.

3. Resolviendo para T=T(t) Notemos que la ecuación (5)

    \begin{equation*} T^{\pr \pr}+{a^2}{\lb}T=0 \end{equation*}

no tiene condiciones de frontera, así que solo hallaremos sus soluciones generales para los \lb hallados, es decir, para \lb =\ap^2 con \ap = \frac{n\pi}{L},\; n\in\Z^{+}

    \begin{align*}   T^{\pr \pr}+{a^2}{\lb}T & =0 \\   T^{\pr \pr}+{a^2}{\ap^2}T & =0 \\   T^{\pr \pr}+(a\,\ap)^2 T & =0 \end{align*}

su ecuación característica se resuelve (como ya se vio antes) en la variable m:

    \[\begin{array}{c}    m^2+(a\,\ap)^2=0 \\ m=(a\,\ap)\,i \; \ou \; m=-(a\,\ap)\,i \end{array}\]

Como t>0 pertenece a un intervalo semi-infinito, la solución toma la forma trigonométrica

(9.1)   \begin{equation*} T(t)= c_3\cos(a\,\ap t)+ c_4\sen(a\,\ap t) \end{equation*}

entonces multiplicamos (8.3) con (9.1)

    \begin{align*} u = & X(x)\p T(t) \\ = & {\color{RubineRed}{c_2}} {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}}\p[{\color{RoyalBlue}{c_3}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{RoyalBlue}{c_3}}\sen(a\,\ap t)] \\ = & {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}} \p [ {\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_3}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_4}}\sen(a\,\ap t) ] \\ = & [{\color{red}{A}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{red}{B}}\sen(a\,\ap t)]\p {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}} \end{align*}

El producto de constantes también es una constante, por eso se sustituyó {\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_3}}={\color{red}{A}}\, y \,{\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_4}}={\color{red}{B}}

Notemos también, que esta solución no trivial u depende de \lb y ésta, a su vez, depende de \alpha\, y \,n como se apreció en (8.5) y (8.6) , por tanto u=u_n, es decir u depende de n

Similarmente para A\, y \,B existen por cada \lb que hace que X,\,T sean no triviales, pero \ap=\frac{n\pi}{L}x existe por cada n=1,2,3,\ldots. Por tanto A y B dependen de n, entonces

(9.2)   \begin{equation*} u = u_n(x,t)   \end{equation*}

(9.3)   \begin{equation*} u   &= [A_n\cos(a\,\ap_n t)+ B_n\sen(a\,\ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)} \end{equation*}

Como las u_n\, (con n=1,2,3,\ldots) son infinitas soluciones de una EDP lineal homogénea se puede aplicar el principio de superposición, el cual nos garantiza que u=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n} es también una solución de la misma. Dejamos al lector averiguar porqué se ha elegido a la sumatoria de u_n y no las propias u_n como solución de la ecuación de onda sujeta a [(1) -(3)].

Bien, entonces hemos encontrado que

(7)   \begin{equation*} u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(a \ap_n t)+ B_n\sen(a \ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)} \end{equation*}

es una solución que satisface (1) y (2), pero aún falta que verifique las condiciones iniciales (3), por lo que

    \begin{align*}  u(x,0) & = f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left.[A_n\cos(\ap_n t)+ B_n\sen(\ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)}\vphantom{x^{2^2}}\right|_{\,t = {\color{red}{0}}}&= f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\ap_n {\color{blue}{0}})+ B_n\sen(\ap_n {\color{red}{0}})]\p{\sen(\ap_n x)} & = f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}[ A_n\p{\color{blue}{1}}+ {\Bcnl{RubineRed}{B_n\p {\color{red}{0}}}} ]\p{\sen(\ap_n x)} & = f(x)  \end{align*}

(9.5)   \begin{equation*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\p{\sen(\ap_n x)} = f(x)   \end{equation*}

La igualdad (9.5) indica que f(x) es un desarrollo en serie de Seno de Fourier a medio intervalo para f(x) [que nombrecito más complicado ¿no?]. Bueno, la teoría de ese tema indica que el coeficiente de A_n se calcula mediante la integral:

    \begin{equation*} A_n&=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x)\p \sen(\ap\,x)} \text{d}x \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} A_n&=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x)\p \sen\left(\frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x  \end{equation*}

Si aplicamos el mismo razonamiento para la segunda condición inicial de (3), es decir para u_t(x,0)=g(x) [invitamos al lector a comprobarlo] encontraremos que

    \begin{equation*} B_n&=\frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {g(x)\p \sen(\ap x)} \text{d}x \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} B_n&=\frac{2}{n\pi a} \int\limits_0^L {g(x)\p \sen\left(\frac{n\pi}{L}x \right)}\text{d}x  \end{equation*}

(10)   \begin{equation*}  {\textstyle u({\color{red}{x}},{\color{blue}{t}})= \sum\limits_{{\color{MidnightBlue}{n}}=1}^{\infty}\left[A_{\color{MidnightBlue}{n}} \cos\left(\frac{{\color{MidnightBlue}{n}} a\pi}{L}{\color{blue}{t}}\right)+ B_{\color{MidnightBlue}{n}}\sen\left(\frac{{\color{MidnightBlue}{n}} a\pi}{L}{\color{blue}{t}}\right)\right]\p{\sen\left(\frac{{\color{MidnightBlue}{n}}\pi}{L} {\color{red}{x}}\right)} } \end{equation*}

4. La solución La solución del problema de valores en la frontera de la ecuación (1) a la (3) consta de la serie (10) con los coeficientes A_n y B_n definidos en las ecuaciones (8) y (9), respectivamente.

Observación: Como se mencionó al inicio, la función g(x) representa la velocidad inicial u_t(x,0) de la cuerda vibrante que genera la onda. Entonces, en el momento que se libera la cuerda a partir del reposo g(x) = 0 es nula para toda x en el intervalo 0 < x < L y, en consecuencia, B_n = 0. Esto nos evita calcular la integral de la ecuación (9).

Las fórmulas (8), (9) y (10), son esenciales para la resolución de:

Ec. de Onda – Ejercicio 01 Ec. de Onda – Ejercicio 02
Ec. de Onda – Ejercicio 03
Ec. de Onda – Ejercicio 04
Ec. de Onda – Ejercicio 05 Ec. de Onda – Ejercicio 06
Ec. de Onda – Ejercicio 07

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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