La Ecuación de Onda

Problema con Valores en la Frontera (PVF)

La Ecuación de Onda es una que EDP describe la altura $u(x,t)$ de cada punto con coordenada $\color{RoyalBlue}{x}$, a lo largo de una cuerda vibrante de longitud $L$, en el instante ${\color{magenta}{t}}$. Debido a esto, es un caso unidimensional de ecuación de onda, y pertenece a la clase de problemas con valores en la frontera (PVF) homogéneos, el cual tiene la siguiente forma

\begin{equation}\label{1} \require{color} {\Cbox{red}{\begin{array}{c} {\displaystyle a^2\frac{\partial^2 {\boldsymbol{u}}}{\partial {\color{RoyalBlue}{x}}^2} = \frac{\partial^2 {\boldsymbol{u}}}{\partial {\color{magenta}{t}}^2}}\\[0.35cm] 0 < {\color{RoyalBlue}{x}} < L , \quad {\color{magenta}{t}} > 0 \\[-0.10cm] \end{array}}}\tag{1} \end{equation} sujeta a: \begin{equation}\label{2}\left\{ \begin{array}{r} u(0,{\color{magenta}{t}}) = 0\\ u(L,{\color{magenta}{t}}) = 0 \end{array}\right. , \quad {\color{magenta}{t}} > 0 \tag{2} \end{equation} \begin{equation}\label{3} \left\{\begin{array}{r} u({\color{RoyalBlue}{x}},0) = f({\color{RoyalBlue}{x}})\\[0.10cm] {\left. \frac{\partial u}{\partial {\color{magenta}{t}}} \right|_{{\color{magenta}{t}}=0}}({\color{RoyalBlue}{x}},0) = g({\color{teal}{x}}) \end{array}\right. ,\quad 0 < {\color{RoyalBlue}{x}} < L \tag{3} \end{equation}

Las ecuaciones \eqref{2} son llamadas condiciones de frontera (CF), de ahí que la ecuación de onda es una clase de problema con valores en la frontera (PVF), y homogéneo porque \eqref{1} y \eqref{2} son homogéneas.

Las ecuaciones \eqref{3} son llamadas condiciones iniciales (CI), puesto que para $t=0$ [el instante inicial] las expresiones $u(x,0)$ y $\left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0}$ son conocidas por los valores de $f(x)$ y $g(x)$. Ellas representan (respectivamente ) la posición inicial de la cuerda y la velocidad inicial en el punto ${\color{RoyalBlue}{x}}$.

Por simplicidad, en adelante (y en los ejercicios resueltos), la ecuación \eqref{1} se escribirá en su forma de subíndice para referirse a sus derivadas parciales

$$
\boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}}
$$

Similarmente, para referirse a $\left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0},$ se escribirá
$$
\boldsymbol{u_t}(x,0) = g(x)
$$

Nuestro objetivo es encontrar soluciones no triviales en forma de producto de funciones de una variable para esta ecuación de onda, o llámese también PVF [\eqref{1}-\eqref{3}].

Cálculo de la Solución

1. Separando variables Suponga que la solución es de la forma \begin{equation}\label{3.1} u(x,t)=X(x)T(t)\tag{3.1} \end{equation} ya que, de momento, solo nos interesan las soluciones en forma de producto, las cuales nos darán ciertas ventajas.

Reemplazando \eqref{3.1} en $a^2u_{xx}=u_{tt}$ se tiene \begin{align*} a^2\frac{{\text d}^2}{{\text d}x^2}\left[X(x)T(t)\right]&=\frac{{\text d}^2}{{\text d}t^2}\left[X(x)T(t)\right]\\ a^2X^{\pr \pr}(x)T(t)&=X(x)T^{\pr\pr}(t)\\ \frac{X^{\pr\pr}(x)}{X(x)}&=\frac{T^{\pr\pr}(t)}{a^2 T(t)}\tag{$3.2$} \end{align*}

Si analizamos la igualdad (3.2), se sigue que ambos miembros poseen un valor real constante para toda $x,t$. Dicho valor lo simbolizamos por $-\lambda$. \begin{align*} \frac{X^{\pr\pr}}{X} &=-\lambda\\ \frac{T^{\pr\pr}}{a^2 T}&=-\lambda \end{align*} Se eligió el signo negativo para tratar con más comodidad las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s) que se forman a partir de aquí (llámese convención matemática) \begin{align*} X^{\pr\pr}+\lambda X &=0 \tag{4}\\ T^{\pr\pr}+\lambda a^2 T&=0 \tag{5} \end{align*}

Por otro lado al sustituir \eqref{3.1} en las condiciones de frontera \eqref{2} se tiene: \begin{align*} u({\color{red}{0}},t) &= 0 \;,\;&u({\color{blue}{L}},t) &= 0\\ X({\color{red}{0}})\p T(t) &= 0 \;,\;&X({\color{blue}{L}})\p T(t) &= 0\\ X({\color{red}{0}}) &= \frac{0}{T(t)} \;,\;&X({\color{blue}{L}}) &= \frac{0}{T(t)} \tag{5.1}\\ X({\color{red}{0}}) &= 0 \;,\;&X({\color{blue}{L}}) &= 0 \tag{5.2} \end{align*}

Lo visto en (5.1) y (5.2) tiene sentido porque nuestro objetivo es encontrar soluciones no triviales del PVF [\eqref{1} – \eqref{3}], es decir, tenemos que asumir que $u=XT$ es una solución no trivial por lo que $u\neq0$ implica $X\neq0$ y $T\neq0$ para toda $(x,t)$ en $\langle0,L\rangle\times\langle0,\infty\rangle.$

Ahora, si juntamos las ecuaciones (4) y (5.2) [la ecuación (5) la dejamos para más adelante] tenemos

\begin{equation}\label{6}\left\{ \begin{array}{c} X^{\pr \pr}+\lambda X =0 \\ X(0)=0 \quad,\quad X(L)=0 \end{array}\right. \tag{6} \end{equation} un problema regular de Sturm-Liouville. [Que no asuste el nombre, no es difícil resolverlo, si ya se conocen los primeros temas de EDO’s lineales homogéneas].

2. Resolviendo para $X=X(x)$ Para resolver \eqref{6} debe considerarse tres casos: $\lambda = 0$, $\,\lambda < 0\,$ y $\,\lambda > 0$.

Caso I. [Cuando $\color{red}{\lambda = 0}$] \begin{align*} X^{\pr \pr}+ \lambda X & =0 \\ X^{\pr \pr}+ {\Bcnl{blue}{{\color{red}{0}}\p X}} & =0 \\ X^{\pr \pr} & =0 \tag{6.1} \end{align*}

Integrando sucesivamente ambos lados de la igualdad (6.1) \begin{align*} X^{\pr \pr} & =0 \\ X^{\pr} & = c_1 \\ X(x) & = c_1x + c_2\tag{6.2} \end{align*} donde $c_1$ y $c_2$ son constantes arbitrarias. Si usamos las condiciones de frontera para (6.2) tenemos: \begin{align*} X(0) &= 0 \;,\;& X(L) &= 0 \\ c_1(0) + c_2 &= 0 \;,\;& c_1(L) + c_2 &= 0 \\ c_2 &= 0 \;\rightarrow\;& c_1(L) + 0 &= 0 \\ & \;\;& c_1 &= \frac{0}{L} \\ \therefore \;c_2 &= 0 \;,\;& c_1 &= 0 \tag{6.3} \end{align*}

Si sustituimos (6.3) en (6.2), la solución es $$X(x)=0\cdot x+0$$ una función nula $$X(x)={\color{red}{0}}\; , \;\forall x\in \langle0,L\rangle,$$ y por ende $u= X \p T = {\color{red}{0}} \p T = \boldsymbol{0}$ es la solución trivial $u=0.$ Por tanto, el caso I ($\color{NavyBlue}{\lb =0}$) se descarta.

Caso II. [Cuando $\color{red}{\lb < 0}$]

Es conveniente escribir (note la convención matemática): $\lb =-{\ap}^2$, con $\ap> 0$. Entonces al reemplazarlo en la primera ecuación de \eqref{6} se tiene \begin{equation}\label{7.1} X^{\pr \pr}-{\ap}^2X=0\tag{7.1} \end{equation}

se identifica su ecuación característica y se resuelve [como toda EDO homogénea de coeficientes constantes] en la variable $m$: $$\begin{array}{c} m^2-\ap^2=0 \\ m=\ap \; \ou \; m=-\ap \end{array}$$ Como $x$ pertenece a un intervalo finito, la solución de \eqref{7.1} es la expresión hiperbólica [ver propiedades de las EDO’s lineales]

\begin{equation}\label{7.2} X(x) = c_1 \cosh (\ap x) + c_2 \senh (\ap x)\tag{7.2} \end{equation} Entonces, la condición inicial $X(0)=0$ implica \begin{align*} X({\color{red}{0}})&=0\\ c_1 \cosh(\ap\p{\color{red}{0}}) + c_2 \senh(\ap\p{\color{red}{0}})&=0\\ c_1\cdot 1 + \Ccnl{red}{c_2\cdot 0} &=0\\ c_1 &=0 \end{align*} reemplazando $c_1=0$ en \eqref{7.2}

\begin{equation}\label{7.3} X(x) = c_2 \senh (\ap x)\tag{7.3} \end{equation} reemplazando \eqref{7.3} en la condición inicial $X(L)=0$ implica \begin{align*} X({\color{blue}{L}})&=0\\ c_2 \senh(\ap\p{\color{blue}{L}})&=0 \tag{7.4}\\ \end{align*} como $L>0$ y $\ap > 0$, se tiene $\ap\p L> 0$, con lo cual $\senh(\ap\p{\color{blue}{L}})> 0$. [Ver propiedades de las funciones hiperbólicas o grafique $y=\senh(x)$]. Entonces, en (7.4) podemos cancelar el seno hiperbólico quedando $c_2=0.$

Si reemplazamos $c_2=0$ en (7.3) encontramos que \begin{align*} X(x)=&{\color{red}{0}}\cdot\senh(\ap\p L)\\ \Rightarrow & \,\;X(x) = 0,\qquad \forall x\in \langle 0,L \rangle \tag{7.5} \end{align*} (7.5) es también una solución trivial. Ahora solo nos queda el

Caso III. [Cuando $\color{red}{\lb > 0}$]

Igual como en el caso anterior escribimos $\lb = \ap^2$ con $\ap> 0$. Entonces al reemplazarlo en la primera ecuación de \eqref{6} nos da \begin{equation}\label{8.1} X^{\pr \pr}+{\ap}^2X=0\tag{8.1} \end{equation} se identifica su ecuación característica y se resuelve (como toda EDO homogénea de coeficientes constantes) en la variable $m$: $$\begin{array}{c} m^2-\ap^2=0 \\ m=\ap \; \ou \; m=-\ap \end{array}$$

Pero esta vez tenemos raíces complejas conjugadas, entonces está claro que la solución de \eqref{8.1} [ver propiedades de las EDO’s lineales] está dada por la forma trigonométrica \begin{equation}\label{8.2} X(x) = c_1 \cos(\ap x) + c_2 \sen(\ap x)\tag{8.2} \end{equation}

Nuevamente, usando las condiciones iniciales $X(0)=0$ y $X(L)=0$ tenemos \begin{align*} X({\color{red}{0}})&=0\\ c_1 \cos(\ap\p{\color{red}{0}}) + c_2\sen(\ap\p{\color{red}{0}})&=0\\ c_1\cdot 1 + \Ccnl{red}{c_2\cdot 0} &=0\\ c_1 &=0 \end{align*} reemplazando $c_1=0$ en \eqref{8.2} \begin{equation}\label{8.3} X(x) = c_2 \sen(\ap x)\tag{8.3} \end{equation}

reemplazando \eqref{8.3} en la condición inicial $X(L)=0$ implica \begin{align*} X({\color{red}{L}})&=0\\ c_2 \sen(\ap\p{\color{red}{L}})&=0 \end{align*}

entonces $$c_2 = 0\;\ou\,\sen(\ap\p L)=0$$ pero, como se buscan las no triviales, se asume $c_2 \neq 0$ y se plantea: \begin{align*} \sen(\ap \p L)&=0\\ \ap \p L&=n\pi\;,\;\;\ n\in \Z^{+} \\ \rightarrow\;\,\ap &=\frac{n\pi}{L},\,\; \ap>0 \\ \rightarrow\;\,\sqrt{\lb} &=\frac{n\pi}{L} \\ \therefore \;\,\lb &=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\;\;\ n\in \Z^{+}\tag{8.4} \end{align*}

de donde \begin{equation}\label{8.5} X(x)=c_2\sen\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\tag{8.5} \end{equation} es una solución para cada \begin{equation}\label{8.6} \lb_n =\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\; n\in\Z^{+}\tag{8.6} \end{equation} estas dos últimas son las funciones propias y valores propios (respectivamente) de un problema regular de Sturm-Liouville.

Finalmente, en \eqref{8.5} y \eqref{8.6}, encontramos las soluciones no triviales para $X$.

3. Resolviendo para $T=T(t)$ Notemos que la ecuación (5) \begin{equation*} T^{\pr \pr}+{a^2}{\lb}T=0 \end{equation*} no tiene condiciones de frontera, así que solo hallaremos sus soluciones generales para los $\lb$ hallados, es decir, para $\lb =\ap^2$ con $\ap = \frac{n\pi}{L},\; n\in\Z^{+}$ \begin{align*} T^{\pr \pr}+{a^2}{\lb}T & =0 \\ T^{\pr \pr}+{a^2}{\ap^2}T & =0 \\ T^{\pr \pr}+(a\,\ap)^2 T & =0 \end{align*}

su ecuación característica se resuelve (como ya se vio antes) en la variable $m$: $$\begin{array}{c} m^2+(a\,\ap)^2=0 \\ m=(a\,\ap)\,i \; \ou \; m=-(a\,\ap)\,i \end{array}$$ Como $t>0$ pertenece a un intervalo semi-infinito, la solución toma la forma trigonométrica \begin{equation}\label{9.1} T(t)= c_3\cos(a\,\ap t)+ c_4\sen(a\,\ap t)\tag{9.1} \end{equation}

entonces multiplicamos \eqref{8.3} con \eqref{9.1} \begin{align*} u = & X(x)\p T(t) \\ = & {\color{RubineRed}{c_2}} {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}}\p[{\color{RoyalBlue}{c_3}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{RoyalBlue}{c_3}}\sen(a\,\ap t)] \\ = & {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}} \p [ {\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_3}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_4}}\sen(a\,\ap t) ] \\ = & [{\color{red}{A}}\cos(a\,\ap t)+ {\color{red}{B}}\sen(a\,\ap t)]\p {\color{OliveGreen}{\sen(\ap x)}} \end{align*}

El producto de constantes también es una constante, por eso se sustituyó ${\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_3}}={\color{red}{A}}\,$ y $\,{\color{RubineRed}{c_2}}{\color{RoyalBlue}{c_4}}={\color{red}{B}}$

Notemos también, que esta solución no trivial $u$ depende de $\lb$ y ésta, a su vez, depende de $\alpha\,$ y $\,n$ como se apreció en \eqref{8.5} y \eqref{8.6}, por tanto $u=u_n$, es decir $u$ depende de $n$

Similarmente para $A\,$ y $\,B$ existen por cada $\lb$ que hace que $X,\,T$ sean no triviales, pero $\ap=\frac{n\pi}{L}x$ existe por cada $n=1,2,3,\ldots.$ Por tanto $A$ y $B$ dependen de $n$, entonces

\begin{align*} u &= u_n(x,t) \tag{9.2}\\ u &= [A_n\cos(a\,\ap_n t)+ B_n\sen(a\,\ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)}\tag{9.3} \end{align*} donde \begin{equation} \ap_n =\frac{n\pi}{L}x \tag{9.4} \end{equation}

Como las $u_n\,$ (con $n=1,2,3,\ldots$) son infinitas soluciones de una EDP lineal homogénea se puede aplicar el principio de superposición, el cual nos garantiza que $u=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n}$ es también una solución de la misma. Dejamos al lector averiguar porqué se ha elegido a la sumatoria de $u_n$ y no las propias $u_n$ como solución de la ecuación de onda sujeta a [\eqref{1}-\eqref{3}].

Bien, entonces hemos encontrado que \begin{equation}\label{7} u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(a \ap_n t)+ B_n\sen(a \ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)}\tag{7} \end{equation} es una solución que satisface \eqref{1} y \eqref{2}, pero aún falta que verifique las condiciones iniciales \eqref{3}, por lo que

\begin{align*} u(x,0) & = f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left.[A_n\cos(\ap_n t)+ B_n\sen(\ap_n t)]\p{\sen(\ap_n x)}\vphantom{x^{2^2}}\right|_{\,t = {\color{red}{0}}}&= f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\ap_n {\color{blue}{0}})+ B_n\sen(\ap_n {\color{red}{0}})]\p{\sen(\ap_n x)} & = f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}[ A_n\p{\color{blue}{1}}+ {\Bcnl{RubineRed}{B_n\p {\color{red}{0}}}} ]\p{\sen(\ap_n x)} & = f(x) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\p{\sen(\ap_n x)} & = f(x) \tag{9.5} \end{align*}

La igualdad (9.5) indica que $f(x)$ es un desarrollo en serie de Seno de Fourier a medio intervalo para $f(x)$ [que nombrecito más complicado ¿no?]. Bueno, la teoría de ese tema indica que el coeficiente de $A_n$ se calcula mediante la integral: \begin{align*} A_n&=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x)\p \sen(\ap\,x)} \text{d}x\\ A_n&=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x)\p \sen\left(\frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x\tag{8} \end{align*}

Si aplicamos el mismo razonamiento para la segunda condición inicial de \eqref{3}, es decir para $u_t(x,0)=g(x)$ [invitamos al lector a comprobarlo] encontraremos que \begin{align*} B_n&=\frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {g(x)\p \sen(\ap x)} \text{d}x\\ B_n&=\frac{2}{n\pi a} \int\limits_0^L {g(x)\p \sen\left(\frac{n\pi}{L}x \right)}\text{d}x\tag{9} \end{align*}

\begin{equation}\label{10} u({\color{red}{x}},{\color{blue}{t}})= \sum\limits_{{\color{JungleGreen}{n}}=1}^{\infty}\left[A_{\color{JungleGreen}{n}} \cos\left(\frac{{\color{JungleGreen}{n}} a\pi}{L}{\color{blue}{t}}\right)+ B_{\color{JungleGreen}{n}}\sen\left(\frac{{\color{JungleGreen}{n}} a\pi}{L}{\color{blue}{t}}\right)\right]\p{\sen\left(\frac{{\color{JungleGreen}{n}}\pi}{L} {\color{red}{x}}\right)}\tag{10} \end{equation}

4. La solución La solución del problema de valores en la frontera de la ecuación \eqref{1} a la \eqref{3} consta de la serie \eqref{10} con los coeficientes $A_n$ y $B_n$ definidos en las ecuaciones (8) y (9), respectivamente.

Observación: Como se mencionó al inicio, la función $g(x)$ representa la velocidad inicial $u_t(x,0)$ de la cuerda vibrante que genera la onda. Entonces, en el momento que se libera la cuerda a partir del reposo $g(x) = 0$ es nula para toda $x$ en el intervalo $0 < x < L$ y, en consecuencia, $B_n = 0.$ Esto nos evita calcular la integral de la ecuación (9).

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