Ecuación de Onda – Ejercicio 02

Ejercicio resuelto número 02 de la ecuación de la onda.

Continuando con la publicación de Ecuación de Onda ahora se resolverá lo siguiente:

Ejercicio 02

Encontrar la solución de la siguiente ecuación, sujeta a las condiciones dadas:
{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \; 0 < x < L, \; t > 0 sujeta a:

    \[u(0,t) = 0,\; u(1,t) = 0,\; t > 0\]

    \[\left\{ \begin{array}{l} u(x,0) = 0,\\ {u_t}(x,0) = x(L-x) \end{array} \right. \,;\;  0 < x < L\]

Resolución:

Por dato, se observa que: f(x) = 0, y además que: g(x) = x\left( {L - x} \right).
Entonces, de acuerdo con la fórmula (0.4) del post anterior, la solución es:

    \[{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\]

donde los A_n y los B_n para todo n = 1,\,2,\,\,3, \ldots están dados por:

    \begin{align*} {A_n} &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\&= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{L}0 \cdot (L - 0) \end{align*}

entonces: \boxed{A_n = 0}, para todo número n de los enteros.

Ahora, con respecto a los coeficientes B_n, se tiene:

    \begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {x\left( {L - x} \right)\, \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x\,} \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\left[ {\left( {\frac{{L{x^2}}}{{\pi n}} - \frac{{{L^2}x}}{{\pi n}} - \frac{{2{L^3}}}{{{n^3}{\pi ^3}}}} \right)\cos \left( {\frac{{\pi nx}}{L}} \right)}\right. \\ & \left.{+ \left( {\frac{{{L^3}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} - \frac{{2{L^2}x}}{{{\pi ^2}{n^2}}}} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{\pi nx}}{L}} \right)} \right]_0^L \\ &=\frac{2}{{n\,\pi a}} \cdot \frac{{2{L^3}}}{{{n^3}{\pi ^3}}}\left( {1 - \;\;{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right) \end{align*}

encontrándose que, para todo entero n:

    \[\boxed{{B_n} = \frac{{4{L^3}}}{{{n^4}{{\pi }^4}a}}\left( {1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right)}\]

Por lo que, reemplazando A_n y B_n en la fórmula (0.4) del post anterior, se tiene:

    \begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {0 + \frac{{{L^3}}}{{6a}} \cdot \,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \end{align*}

Por lo tanto:

    \[\boxed{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{4{L^3}}}{{{n^4}{{\pi}^4}a}}\left( {1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}} \right) \cdot \,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \right]} }\]


con 0 < x < 1,\,  y con  \,t > 0, es la solución pedida.

Observación

¿Cómo estamos seguros de que la respuesta es correcta?
Las integrales fueron calculadas con Maplesoft tal como se aprecia en la siguiente imagen:

Las integrales calculadas con Maplesoft

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 03


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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