Ecuación de Onda – Ejercicio 02

Continuando con la publicación de Ecuación de la Onda ahora se resolverá lo siguiente:

Ejercicio 02

Encontrar la solución de la siguiente ecuación, sujeta a las condiciones dadas:
${a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \; 0 < x < L, \; t > 0$ sujeta a:

$$u(0,t) = 0,\; u(1,t) = 0,\; t > 0$$

$$\left\{\begin{aligned}
&u(x,0) = 0,\\
& {u_t}(x,0) = x(L-x)
\end{aligned}\right. \,;\; 0 < x < L$$

Resolución:

Por dato, se observa que: $f(x) = 0,$ y además que: $g(x) = x\left( {L – x} \right).$
Entonces, de acuerdo con la fórmula (0.4) del post anterior, la solución es:
$${u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}$$

donde los $A_n$ y los $B_n$ para todo $n = 1,\,2,\,\,3, \ldots$ están dados por:
$$\begin{align*}
{A_n} &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\
&= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\
&= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{L}0 \cdot (L – 0)
\end{align*}$$
entonces: $\boxed{A_n = 0}$, para todo número $n$ de los enteros.

Ahora, con respecto a los coeficientes $B_n,$ se tiene:
$$\begin{align*}
{B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x \\
&= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {x\left( {L – x} \right)\, \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x\,} \\
&= \frac{2}{{n\pi a}}\left[ {\left( {\frac{{L{x^2}}}{{\pi n}} – \frac{{{L^2}x}}{{\pi n}} – \frac{{2{L^3}}}{{{n^3}{\pi ^3}}}} \right)\cos \left( {\frac{{\pi nx}}{L}} \right)}\right. \\
&\phantom{holaa barrio} \left.{+ \left( {\frac{{{L^3}}}{{{\pi ^2}{n^2}}} – \frac{{2{L^2}x}}{{{\pi ^2}{n^2}}}} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{\pi nx}}{L}} \right)} \right]_0^L \\
&=\frac{2}{{n\,\pi a}} \cdot \frac{{2{L^3}}}{{{n^3}{\pi ^3}}}\left( {1 – \;\;{{\left( { – 1} \right)}^n}} \right)
\end{align*}$$
encontrándose que, para todo entero $n$: $$\boxed{{B_n} = \frac{{4{L^3}}}{{{n^4}{{\pi }^4}a}}\left( {1 – {{\left( { – 1} \right)}^n}} \right)}$$

Por lo que, reemplazando $A_n$ y $B_n$ en la fórmula (0.4) del post anterior, se tiene:
$$
\begin{align*}
u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}\\
&= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {0 + \frac{{{L^3}}}{{6a}} \cdot \,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}
\end{align*}
$$
Por lo tanto:
$$\boxed{u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{4{L^3}}}{{{n^4}{{\pi}^4}a}}\left( {1 – {{\left( { – 1} \right)}^n}} \right) \cdot \,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}\,t} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \right]} }$$
con $ 0 < x < 1,\,$  y con  $\,t > 0,$ es la solución pedida.

Observación

¿Cómo estamos seguros de que la respuesta es correcta?
Las integrales fueron calculadas con Maplesoft tal como se aprecia en la siguiente imagen:

Las integrales calculadas con Maplesoft

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