Ec. de la Onda – Ejerc 06

Al resolver la ecuación de la onda $a^2 u_{xx} = u_{tt}$, con sus condiciones iniciales (2) y de frontera (3), No siempre su solución es una serie, como la fórmula (4). Al parecer esto es posible cuando $f(x)$ o $g(x)$ es un múltiplo de $\text{sen}(x)$.

Por eso, continuando la serie de ejercicios sobre La Ecuación de la Onda, veremos lo que pasa cuando otra de las funciones, específicamente $f(x)$, de las condiciones (3), es un múltiplo escalar de la función $\text{sen}(x)$ en el intervalo $\left\langle {0,1} \right\rangle $. Esto generará una expresión de la forma $$\int\limits_0^1 {{\text{sen}}(3\pi x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {n\pi x} \right) \cdot \text{d}x$$ y claro, similarmente al ejercicio anterior habrá que usar la fórmula de transformación de producto a suma. Observemos:

Ejercicio 06

Resolver la ecuación: \begin{equation}\label{01} \begin{array}{c} \boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}},\\ 0 < x < 1 , \quad t > 0 \end{array}\tag{1}\end{equation} sujeta a: \begin{equation} \label{02}\left\{ \begin{array}{rl} u(0,t) = & \hspace{-0.4cm} 0\\ u(1,t) = & \hspace{-0.4cm} 0 \end{array}\right. ;\quad t > 0 \tag{2} \end{equation} y tal que \begin{equation}\label{03} \begin{array}{c} \left\{\begin{array}{rl} u(x,0) =& \hspace{-0.3cm} 0.01\,{\text{sen}}(3\pi x) \\ u_t(x,0) =& \hspace{-0.3cm} 0 \end{array}\right. ; \\ 0 < x < 1 \end{array}\tag{3} \end{equation}

Resolución

Por dato se observa que $f(x)=0.01\,{\text{sen}}(3\pi x)\;$ y $\;g(x)=0$, y la constante $L=1.$ Ahora sabemos por lo visto en La Ecuación de la Onda que la solución de este problema está dado por:

\begin{equation}\label{04} \color{red}{\boxed{\color{teal}{ \begin{array}{rl} u(x,t) = & \hspace{-0.5cm}\sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right. \\ & \hspace{-0.2cm}\;\;\, + \left.{\color{red}{B_n}}\,{\text{sen}}\left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{\displaystyle n\pi}{L} x \right) \end{array}}}} \tag{4} \end{equation}

en esta ecuación, para todo entero positivo $n$, los coeficientes $A_n$ y los $B_n$ se hallan de la forma siguiente:

\begin{equation}\label{05} \boxed{ A_n = \frac{2}{\color{green}{L}}\int\limits_0^{\color{green}{L}} {\color{red}{f(x)}} \cdot \text{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{\color{green}{L}}x} \right) \cdot \text{d}x } \tag{5} \end{equation}

\begin{align*} A_n&= \frac{2}{{\color{green}{1}}} \int\limits_0^{{\color{green}{1}}} {\color{red}{\text{0.01 sen}(3\pi x)}} \cdot \, \text{sen}\left(\frac{n\pi}{\color{green}{1}}x\right) \cdot \text{d}x \\ &= 0.02{\color{blue}{\int\limits_0^1 \text{sen}(3\pi x) \cdot \text{sen}(n\pi x) \cdot \text{d}x}} \end{align*}

Para la integral en azul, usar la fórmula de trasformación de producto a suma, de la trigonometría básica. \begin{align*} A_n &= { \color{red}{\cancel{\color{black}{0.02}}} }\int\limits_0^1 {\left[ \frac{\cos (3\pi x \, – n\pi x)\, – \cos (3\pi x + n\pi x)}{ \color{red}{\cancel{\color{black}{2}}} }\right]\!{\text{d}}x} \\ & = 0.01\int\limits_0^1 {\left[ {\cos ((3 \, – n)\pi x) \, – \cos ((3 + n)\pi x)} \right] \cdot {\text{d}}x}\\ &= 0.01\left. {\left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, – n)\pi x]}}{\color{red}{(3 \, – n)}\pi} \, – \frac{{{\text{sen}}[(3 + n)\pi x]}}{(3 + n)\pi}} \right)} \right|_0^1 \\ &= 0.01 \left[ \left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, – n)\pi ]}}{(3\, – n)\pi } \, – \frac{{{\text{sen}}[(3 + n)\pi ]}}{(3 + n)\pi }} \right)\right.\\ &\quad – \left. \left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, – n) \cdot 0]}}{(3 \, – n)\pi} \, – \frac{{{\text{sen}}[(3 + n) \cdot 0]}}{(3 + n)\pi}} \right)\right]\\ &=0.01\left[ \left( {\frac{0}{(3 \, – n)\pi} \, – \frac{0}{(3 + n)\pi}} \right)\right. \\ & \qquad\qquad\left. \, – \left( {\frac{0}{(3 \, – n)\pi} \, – \frac{0}{(3 + n)\pi}} \right) \right]\\ &=0.01\,\left[(0\, – 0) \, – (0\, – 0 )\right] \end{align*} $${ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{A_n =0\,,\;\forall\, n \neq 3}}} }.$$

Se ha puesto $n \neq 3$, para no anular el denominador de $\frac{\text{sen}[(3 – n)\pi x]}{(3 – n)\pi}$ en el tercer renglón del párrafo de arriba (en rojo). Así se puede afirmar $A_n=0
\,,\;\forall n \neq 3.$

Pero, para $n=\color{red}{3}$, debe sustituirse directamente en la fórmula (5) de $A_n,$ (una integral no muy difícil)

\begin{align*} A_n &= \frac{2}{1}\int\limits_0^1 {\color{blue}{f(x)}} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi x}}{1}} \right) \cdot \text{d}x \\ A_{\color{red}{3}} &= 2\int\limits_0^1 {\color{blue}{0.01\,\text{sen}(3\pi x)}} \cdot \text{sen}({\color{red}{3}}\pi x) \cdot \text{d}x \\ A_{\color{red}{3}} &= 0.02\int\limits_0^1 \text{sen}^2(3\pi x) \cdot \text{d}x \\ &= 0.01\int\limits_0^1 {\left( {1 – \cos 6\pi x} \right) \cdot {\text{d}}x} = 0.01\left[{x\, – \frac{{{\text{sen}}6\pi x}}{{6\pi }}} \right]_0^1\\ &=0.01\left[ {\left( {1 – \frac{{{\text{sen}}\left( {6\pi \cdot 1} \right)}}{{6\pi }}} \right) – \left( {0\, – \frac{{{\text{sen}}\left( {6\pi \cdot 0} \right)}}{{6\pi }}} \right)} \right] \end{align*} $${ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{A_3=0.01}}} }$$ es decir, los $A_n$ son todos iguales a cero, excepto $A_3$ el cual es $0.01$

Los $B_n$ se calculan con la fórmula:

\begin{equation}\label{06} \boxed{B_n = \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{g(x)}}\!\cdot\!{\text{sen}} \left( \frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x} \tag{6}\end{equation} \begin{align*} B_n&= \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{0}} \cdot \text{sen}\left( \frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x \\ &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{\int\limits_0^L {0 \cdot \text{d}x}}}\\ &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{0 \cdot (L\, – 0)}} \end{align*} $${ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{B_n = 0}}} }$$

Ahora podemos usar la fórmula (4) para hallar finalmente la solución de este problema de valor de frontera (ecuación de la onda)

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad \left. + {\color{orange}{B_n}}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {A_n \cdot \cos(n\pi a\,t) + {\color{orange}{0}}\cdot\text{sen}(n\pi a\,t)} \right]\text{sen}(n\pi\,x) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {{A_n}\,{\text{cos}}\left( {n\,\pi a\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {n\pi x} \right)} \\ &= A_{\color{blue}{1}}\,\text{sen}({\color{blue}{1}}\pi a\,t) \text{sen}({\color{blue}{1}}x) + A_{\color{blue}{2}}\,\text{sen}({\color{blue}{2}}\pi a\,t) \text{sen}({\color{blue}{2}}x) \\ &\quad + {\color{red}{A_3}}\,{\text{sen}}\left( {{\color{blue}{3}}\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {\color{blue}{3}}x \right) + \cdots \\ &= {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{0}} + {\color{red}{0.01}}{\text{sen}}\left( {3\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right) + {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{0}} + \cdots \end{align*}

para lo digitado en azul, recordar que se dedujo que: $A_{\color{blue}{1}}=A_
{\color{blue}{2}} =A_
{\color{blue}{4}} =\cdots=
{\boldsymbol{0}},\,$ y para lo digitado en rojo, que: $\color{red}{A_3=0.01}.$ Así encontramos que la solución a este problema de valor en la frontera es:

$${ \color{violet}{\boxed{\color{teal}{u(x,t) = 0.01{\text{sen}}\left( {3\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right)}}} },$$ $$0 < x < 1,\qquad t > 0.$$

⇧ Respuesta ⇧

Tal como dijimos en un principio, la solución no siempre es una serie, como la formula (4), compárese con la solución del ejercicio 5. Es una función de clase $\text{C}^2$ en $\mathbb{R}^2$, será interesante comparar sus gráficas, pero dejaré ese tema para una próxima temporada. 😉

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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