Ec. de la Onda – Ejerc 06

Al resolver la ecuación de la onda a^2 u_{xx} = u_{tt}, con sus condiciones iniciales (2) y de frontera (3), No siempre su solución es una serie, como la fórmula (4). Al parecer esto es posible cuando f(x) o g(x) es un múltiplo de \text{sen}(x).

Por eso, continuando la serie de ejercicios sobre La Ecuación de la Onda, veremos lo que pasa cuando otra de las funciones, específicamente f(x), de las condiciones (3), es un múltiplo escalar de la función \text{sen}(x) en el intervalo \left\langle {0,1} \right\rangle. Esto generará una expresión de la forma

    \[\int\limits_0^1 {{\text{sen}}(3\pi x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {n\pi x} \right) \cdot \text{d}x\]

y claro, similarmente al ejercicio anterior habrá que usar la fórmula de transformación de producto a suma. Observemos:

Ejercicio 06

Resolver la ecuación:

(1)   \begin{equation*} \begin{array}{c}  \boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}},\\ 0 < x < 1 , \quad t > 0 \end{array}\end{equation*}

sujeta a:

(2)   \begin{equation*}  \left\{   \begin{array}{rl} u(0,t) = & \hspace{-0.4cm} 0\\  u(1,t) = & \hspace{-0.4cm} 0  \end{array}\right.  ;\quad t > 0  \end{equation*}

y tal que

(3)   \begin{equation*} \begin{array}{c} \left\{\begin{array}{rl}   u(x,0)   =& \hspace{-0.3cm} 0.01\,{\text{sen}}(3\pi x) \\   u_t(x,0) =& \hspace{-0.3cm} 0 \end{array}\right. ; \\ 0 < x < 1 \end{array} \end{equation*}

Resolución

Por dato se observa que f(x)=0.01\,{\text{sen}}(3\pi x)\; y \;g(x)=0, y la constante L=1. Ahora sabemos por lo visto en La Ecuación de la Onda que la solución de este problema está dado por:

(4)   \begin{equation*}  \color{red}{\boxed{\color{teal}{ \begin{array}{rl}  u(x,t) = & \hspace{-0.5cm}\sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right. \\            & \hspace{-0.2cm}\;\;\, + \left.{\color{red}{B_n}}\,{\text{sen}}\left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{\displaystyle n\pi}{L} x \right) \end{array}}}}  \end{equation*}

en esta ecuación, para todo entero positivo n, los coeficientes A_n y los B_n se hallan de la forma siguiente:

(5)   \begin{equation*}  \boxed{ A_n = \frac{2}{\color{ao}{L}}\int\limits_0^{\color{ao}{L}} {\color{red}{f(x)}} \cdot \text{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{\color{ao}{L}}x} \right) \cdot \text{d}x }  \end{equation*}

    \begin{align*}     A_n&= \frac{2}{{\color{ao}{1}}} \int\limits_0^{{\color{ao}{1}}}  {\color{red}{\text{0.01 sen}(3\pi x)}} \cdot \, \text{sen}\left(\frac{n\pi}{\color{ao}{1}}x\right) \cdot \text{d}x \\ &= 0.02{\color{blue}{\int\limits_0^1  \text{sen}(3\pi x) \cdot \text{sen}(n\pi x) \cdot \text{d}x}} \end{align*}

Para la integral en azul, usar la fórmula de trasformación de producto a suma, de la trigonometría básica.

    \begin{align*} A_n &= { \color{red}{\cancel{\color{black}{0.02}}} }\int\limits_0^1 {\left[ \frac{\cos (3\pi x \, - n\pi x)\, - \cos (3\pi x + n\pi x)}{ \color{red}{\cancel{\color{black}{2}}} }\right]\!{\text{d}}x} \\ & = 0.01\int\limits_0^1 {\left[ {\cos ((3 \, - n)\pi x) \, - \cos ((3 + n)\pi x)} \right] \cdot {\text{d}}x}\\ &= 0.01\left. {\left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, - n)\pi x]}}{\color{red}{(3 \, - n)}\pi} \, - \frac{{{\text{sen}}[(3 + n)\pi x]}}{(3 + n)\pi}} \right)} \right|_0^1 \\ &= 0.01 \left[ \left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, - n)\pi ]}}{(3\, - n)\pi } \, - \frac{{{\text{sen}}[(3 + n)\pi ]}}{(3 + n)\pi }} \right)\right.\\ &\quad - \left. \left( {\frac{{{\text{sen}}[(3 \, - n) \cdot 0]}}{(3 \, - n)\pi} \, - \frac{{{\text{sen}}[(3 + n) \cdot 0]}}{(3 + n)\pi}} \right)\right]\\ &=0.01\left[ \left( {\frac{0}{(3 \, - n)\pi} \, - \frac{0}{(3 + n)\pi}} \right)\right. \\ & \qquad\qquad\left. \, - \left( {\frac{0}{(3 \, - n)\pi} \, - \frac{0}{(3 + n)\pi}} \right) \right]\\ &=0.01\,\left[(0\, - 0) \, - (0\, - 0 )\right] \end{align*}

    \[{ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{A_n =0\,,\;\forall\, n \neq 3}}} }.\]

Se ha puesto n \neq 3, para no anular el denominador de \frac{\text{sen}[(3 - n)\pi x]}{(3 - n)\pi} en el tercer renglón del párrafo de arriba (en rojo). Así se puede afirmar A_n=0 \,,\;\forall n \neq 3.

Pero, para n=\color{red}{3}, debe sustituirse directamente en la fórmula (5) de A_n, (una integral no muy difícil)

    \begin{align*}   A_n &= \frac{2}{1}\int\limits_0^1 {\color{blue}{f(x)}} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi x}}{1}} \right) \cdot \text{d}x \\ A_{\color{red}{3}} &= 2\int\limits_0^1 {\color{blue}{0.01\,\text{sen}(3\pi x)}} \cdot \text{sen}({\color{red}{3}}\pi x) \cdot \text{d}x \\ A_{\color{red}{3}} &= 0.02\int\limits_0^1 \text{sen}^2(3\pi x) \cdot \text{d}x  \\   &= 0.01\int\limits_0^1 {\left( {1 - \cos 6\pi x} \right) \cdot {\text{d}}x} = 0.01\left[{x\, - \frac{{{\text{sen}}6\pi x}}{{6\pi }}} \right]_0^1\\  &=0.01\left[ {\left( {1 - \frac{{{\text{sen}}\left( {6\pi  \cdot 1} \right)}}{{6\pi }}} \right) - \left( {0\, - \frac{{{\text{sen}}\left( {6\pi  \cdot 0} \right)}}{{6\pi }}} \right)} \right]  \end{align*}

    \[{ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{A_3=0.01}}} }\]

es decir, los A_n son todos iguales a cero, excepto A_3 el cual es 0.01

Los B_n se calculan con la fórmula:

(6)   \begin{equation*} \boxed{B_n = \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{g(x)}}\!\cdot\!{\text{sen}} \left( \frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x} \end{equation*}

    \begin{align*} B_n&= \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{0}} \cdot \text{sen}\left( \frac{n\,\pi}{L}x \right)}\text{d}x \\    &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{\int\limits_0^L {0 \cdot \text{d}x}}}\\    &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{0 \cdot (L\, - 0)}} \end{align*}

    \[{ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{B_n = 0}}} }\]

Ahora podemos usar la fórmula (4) para hallar finalmente la solución de este problema de valor de frontera (ecuación de la onda)

    \begin{align*}    u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty  \left[{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)\right.  \\    &\qquad \quad \left. + {\color{orange}{B_n}}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty  \left[ {A_n \cdot \cos(n\pi a\,t) + {\color{orange}{0}}\cdot\text{sen}(n\pi a\,t)} \right]\text{sen}(n\pi\,x) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {{A_n}\,{\text{cos}}\left( {n\,\pi a\,t} \right)} \right]{\text{sen}}\left( {n\pi x} \right)}  \\     &= A_{\color{blue}{1}}\,\text{sen}({\color{blue}{1}}\pi a\,t) \text{sen}({\color{blue}{1}}x) + A_{\color{blue}{2}}\,\text{sen}({\color{blue}{2}}\pi a\,t) \text{sen}({\color{blue}{2}}x) \\ &\quad +  {\color{red}{A_3}}\,{\text{sen}}\left( {{\color{blue}{3}}\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {\color{blue}{3}}x \right) +  \cdots \\ &= {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{0}} + {\color{red}{0.01}}{\text{sen}}\left( {3\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right) + {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{0}} +  \cdots  \end{align*}

para lo digitado en azul, recordar que se dedujo que: A_{\color{blue}{1}}=A_ {\color{blue}{2}} =A_ {\color{blue}{4}} =\cdots= {\boldsymbol{0}},\, y para lo digitado en rojo, que: \color{red}{A_3=0.01}. Así encontramos que la solución a este problema de valor en la frontera es:

    \[{ \color{violet}{\boxed{\color{teal}{u(x,t) = 0.01{\text{sen}}\left( {3\,\pi a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right)}}} },\]

    \[0 < x < 1,\qquad t > 0.\]

⇧ Respuesta ⇧

Tal como dijimos en un principio, la solución no siempre es una serie, como la formula (4), compárese con la solución del ejercicio 5. Es una función de clase \text{C}^2 en \mathbb{R}^2, será interesante comparar sus gráficas, pero dejaré ese tema para una próxima temporada. 😉

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 07


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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