Hoy veremos lo que pasa cuando, en las condiciones iniciales, se nos da una función seccionada, como la digitada con rojo en (3), para La Ecuación de la Onda, en dos tramos. No hay mucho que analizar a grandes rasgos, pero sí mucho que dominar integración por partes, ya que encontremos algo como esto:
![\[\int\limits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{2hx}}{L} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-062ffe2eff92ea918df275b531db19a8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Así que observemos el:
Ejercicio 07
(1) ![\[\begin{array}{c} \boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}},\\ 0 < x < L , \quad t > 0 \end{array}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd8c2e2d78971b6171c1c20b47e6659a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
(2) ![\[\left\{ \begin{array}{l} u(0,t) = 0\\ u(L,t) = 0 \end{array}\right. ;\quad t > 0 \]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ff23059e9d03756a7f63b87bd521e064_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
(3) ![\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rl} u(x,0) =& \hspace{-0.3cm} {\color{red}{\left\{\begin{array}{ccl} \frac{2hx}{L} & , & {\color{black}{0}} < x < \frac{L}{2} \\[0.03cm] 2h\left( {1 - \frac{x}{L}} \right) & , & \frac{L}{2} < x < {\color{black}{L}} \\ \end{array}\right.}} \\[0.1cm] u_t(x,0) =& \hspace{-0.2cm} 0 \quad ,\quad 0 < x < L \end{array}\right. \end{equation*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec90f1577c9eaaf0520e71abbb5d1ed0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Resolución
Identificando a las funciones de las condiciones iniciales
![\begin{align*} f(x)&={\left\{\begin{array}{ccl} \frac{2hx}{L} & , & 0 < x < \frac{L}{2} \\[0.1cm] 2h\left(1 - \frac{x}{L}\right) & , & \frac{L}{2} < x < L. \end{array}\right.},\\ g(x)&=0. \end{align*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32c26b948901559d16193cc1147b1333_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
(4) ![\begin{equation*} \color{red}{\boxed{\color{teal}{ \begin{array}{rl} u(x,t) = & \hspace{-0.5cm}\sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right. \\ & \hspace{-0.2cm}\;\;\, + \left.{\color{red}{B_n}}\,{\text{sen}}\left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{\displaystyle n\pi}{L} x \right) \end{array}}}} \end{equation*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7142fb4c4528d4fe86800352592f0a4d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
en donde los coeficientes 
y los 
se calculan usando los valores de 
y 
en las ecuaciones (5) y (6)
(5) 
Debido a que la función 
es seccionada en 2 intervalos, se generan las integrales 
e 
las cuales deben calcularse por separado y con el método de integración por partes (aquí he resumido el proceso):
![\begin{align*} {\color{red}{I_1}} = & \frac{2}{L}\mathop \int \limits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{2hx}}{L} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x \\ = &{\textstyle \frac{2}{ \color{red}{\bcancel{\color{black}{L}}} } \cdot \frac{h \cdot { \color{red}{\bcancel{\color{black}{L}}} } }{{n^2}{\pi ^2}} \left[{2\;{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} - {n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]}\\[0.3cm] = & {\textstyle\frac{{2h}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {2\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) - n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]} \end{align*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e78f8da9551e05861205d9d12bddb9bf_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{align*} \color{blue}{I_2} &= \frac{2}{L}\int \limits_{\frac{L}{2}}^L 2h\left( {1 - \frac{x}{L}} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)\text{d}x \\ &= {\textstyle \frac{2}{{ \color{blue}{\bcancel{\color{black}{L}}} }} \cdot \frac{{h{ \color{blue}{\bcancel{\color{black}{L}}} }}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[n{\pi}\cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) + 2\text{sen}\left({\frac{n\pi}{2}} \right)\right.} \\[0.3cm] &\qquad\qquad\quad{\textstyle \left. - 2\text{sen}\left( {n\pi } \right)\right]} \\[0.3cm] &= {\textstyle \frac{{2h}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]} \end{align*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9ec15e7149bb1ff6aa1324495c153ad_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
reeempplazando en 
![\begin{align*} A_n & = {\color{red}{I_1}} + {\color{blue}{I_2}} \\[0.3cm] & = {\textstyle \frac{2h}{n^2 \pi^2} \left[ 2\,\text{sen}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) - n\pi\cos \left({\frac{{n\pi }}{2}}\right)\right.}\\[0.3cm] & \qquad\quad {\textstyle \left. + n\pi\cos\left( \frac{n\pi}{2} \right) + 2\text{sen}\left( {\frac{n\pi}{2}} \right) \right]} \\[0.3cm] & = {\textstyle \frac{2h}{n^2 \pi^2} \cdot 4\,\text{sen}\left(\frac{n\pi}{2}\right)} \end{align*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfde2f52d825b9b86b219c69be63437b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
se tiene entonces:
![\[{ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{A_n=\frac{8h}{n^2\pi ^2} \cdot \text{sen}\left(\frac{n\pi}{2}\right)}}} }\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-710f4704984a134562f36a2260afd8c2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y para los 
, como en el ejercicio anterior, se tiene:
(6) 
![\[{ \color{orange}{\boxed{\color{teal}{B_n = 0}}} }\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de7f4135185a7db54fb3c560438364e7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ahora podemos usar la fórmula (4) para encontrar la solución de este problema de valor de frontera:
![\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad \left. + {\color{teal}{B_n}}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{\textstyle\color{red}{\frac{8h}{n^2\pi^2}\cdot\text{sen}\left( {\frac{n\pi}{2}} \right)}}\cos \left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad + \left.{ \color{blue}{\cancel{\color{black}{\color{teal}{0}\cdot\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L} t \right)}}} } \right]\text{sen}\left(\frac{n\pi}{L} x \right) \end{align*}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9ec73d53027b819fa443b052e347619_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Claramente se ve que anula uno de los términos de la serie, entonces la solución para este problema de valor de frontera es:
![\[{ \color{red}{\boxed{\color{teal}{\textstyle u(x,t) = \sum\limits_{n =1}^\infty \left[ {\color{brown}{\frac{8h}{n^2\pi^2} \cdot \text{sen} \left( {\frac{n\pi}{2}} \right)}} \cdot \cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}\,t} \right) \right]{\scriptstyle\text{sen}\left( \frac{n\pi}{L}x \right)}}}} },\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bedc701320aada43b78d764d32d5242_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[0 < x < \pi,\qquad t > 0.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d28d3eaaa65760ba4944dc59842a234_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
⇧ Respuesta ⇧
Esta vez resultó una serie, como en la mayoría de las veces, y como es de esperarse de una fórmula como la (4).
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Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
