Ec. de la Onda – Ejerc 07

Hoy veremos lo que pasa cuando, en las condiciones iniciales, se nos da una función seccionada, como la digitada con rojo en (3), para La Ecuación de la Onda, en dos tramos. No hay mucho que analizar a grandes rasgos, pero sí mucho que dominar integración por partes, ya que encontremos algo como esto: $$\int\limits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{2hx}}{L} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x$$

Así que observemos el:

Ejercicio 07

$$ \begin{array}{c} \boldsymbol{a^2 u_{xx} = u_{tt}},\\ 0 < x < L , \quad t > 0 \end{array}\tag{1} $$ sujeta a: $$\label{02}\left\{ \begin{align*} u(0,t) & = 0\\ u(L,t) & = 0 \end{align*}\right. ;\quad t > 0 \tag{2}$$ y tal que \begin{equation}\label{03} \left\{\begin{array}{rl} u(x,0) =& \hspace{-0.3cm} {\color{red}{\left\{\begin{array}{ccl} \frac{2hx}{L} & , & {\color{black}{0}} < x < \frac{L}{2} \\[0.03cm] 2h\left( {1 – \frac{x}{L}} \right) & , & \frac{L}{2} < x < {\color{black}{L}} \\ \end{array}\right.}} \\[0.1cm] u_t(x,0) =& \hspace{-0.2cm} 0 \quad ,\quad 0 < x < L \end{array}\right. \tag{3} \end{equation}

Resolución

Identificando a las funciones de las condiciones iniciales \begin{align*} f(x)&={\left\{\begin{array}{ccl} \frac{2hx}{L} & , & 0 < x < \frac{L}{2} \\[0.1cm] 2h\left(1 – \frac{x}{L}\right) & , & \frac{L}{2} < x < L. \end{array}\right.},\\ g(x)&=0. \end{align*} Y por lo visto en el post de La Ecuación de la Onda sabemos que la solución viene dada por:

\begin{equation}\label{04} \Cbox{red}{\begin{array}{rl} u(x,t) = & \hspace{-0.5cm}\sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right. \\ & \hspace{-0.2cm}\;\;\, + \left.{\color{red}{B_n}}\,{\text{sen}}\left( {\frac{\displaystyle n\pi a}{L}\,t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{\displaystyle n\pi}{L} x \right) \end{array}} \tag{4} \end{equation}

en donde los coeficientes ${\color{red}{A_n}}$ y los ${\color{red}{B_n}} $ se calculan usando los valores de $f$ y $g$ en las ecuaciones (5) y (6)

\begin{equation}\label{05} \boxed{ A_n = \frac{2}{\color{green}{L}}\int\limits_0^{\color{green}{L}} {\color{red}{f(x)}} \cdot \text{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{\color{green}{L}}x} \right) \cdot \text{d}x } \tag{5} \end{equation}

\begin{align*} A_n &= {\Cbrace{magenta}{\frac{2}{L}\int\limits_0^{\frac{L}{2}} {\frac{{2hx}}{L} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)} \,{\text{d}}x}{\color{red}{\displaystyle I_1}}}\;+\\ &\phantom{=\;} + \Cbrace{teal}{\frac{2}{L}\int\limits_{\frac{L}{2}}^L {2h\left( {1 – \frac{x}{L}} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)} \,{\text{d}}x}{\color{blue}{\displaystyle I_2}}\end{align*}

Debido a que la función $f(x)$ es seccionada en 2 intervalos, se generan las integrales $\color{red}{I_1}\,$ e $\,\color{blue}{I_2}$ las cuales deben calcularse por separado y con el método de integración por partes (aquí he resumido el proceso): \begin{align*} {\color{red}{I_1}} = & \frac{2}{L}\mathop \int \limits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{2hx}}{L} \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x \\ = &{\textstyle \frac{2}{\Bcnl{red}{L}} \cdot \frac{h \cdot {\Bcnl{red}{L}} }{{n^2}{\pi ^2}} \left[{2\;{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} – {n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]}\\[0.3cm] = & {\textstyle\frac{{2h}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {2\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) – n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]} \end{align*} \begin{align*} \color{blue}{I_2} &= \frac{2}{L}\int \limits_{\frac{L}{2}}^L 2h\left( {1 – \frac{x}{L}} \right) \cdot {\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)\text{d}x \\ &= {\textstyle \frac{2}{\Bcnl{blue}{L}} \cdot \frac{{h\Bcnl{blue}{L}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[n{\pi}\cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) + 2\text{sen}\left({\frac{n\pi}{2}} \right)\right.} \\[0.3cm] &\qquad\qquad\quad{\textstyle \left. – 2\text{sen}\left( {n\pi } \right)\right]} \\[0.3cm] &= {\textstyle \frac{{2h}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left[ {n\pi \cos \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)} \right]} \end{align*}

reeempplazando en $A_n$ \begin{align*} A_n & = {\color{red}{I_1}} + {\color{blue}{I_2}} \\[0.3cm] & = {\textstyle \frac{2h}{n^2 \pi^2} \left[ 2\,\sen\left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right) – n\pi\cos \left({\frac{{n\pi }}{2}}\right)\right.}\\[0.3cm] & \qquad\quad {\textstyle \left. + n\pi\cos\left( \frac{n\pi}{2} \right) + 2\sen\left( {\frac{n\pi}{2}} \right) \right]} \\[0.3cm] & = {\textstyle \frac{2h}{n^2 \pi^2} \cdot 4\,\sen\left(\frac{n\pi}{2}\right)} \end{align*}

se tiene entonces: $$\Cbox{orange}{A_n=\frac{8h}{n^2\pi ^2} \cdot \sen\left(\frac{n\pi}{2}\right)}$$

Y para los $B_n$, como en el ejercicio anterior, se tiene:

\begin{equation}\label{06} \boxed{B_n = \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{g(x)}}\!\cdot\!{\text{sen}} \left( \frac{n\pi}{L}x \right)}\text{d}x} \tag{6}\end{equation} \begin{align*} B_n&= \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^L {{\color{red}{0}} \cdot \text{sen}\left( \frac{n\pi}{L}x \right)}\text{d}x \\ &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{\int\limits_0^L {0 \cdot \text{d}x}}}\\ &= \frac{2}{n\pi a}\;{\color{magenta}{0 \cdot (L\, – 0)}} \end{align*} $$\Cbox{orange}{B_n = 0}$$

Ahora podemos usar la fórmula (4) para encontrar la solución de este problema de valor de frontera:

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{\color{red}{A_n}}\cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad \left. + {\color{teal}{B_n}}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{\textstyle\color{red}{\frac{8h}{n^2\pi^2}\cdot\sen\left( {\frac{n\pi}{2}} \right)}}\cos \left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad + \left.{\Ccnl{blue}{\color{teal}{0}\cdot\sen\left(\frac{n\pi a}{L} t \right)}} \right]\sen\left(\frac{n\pi}{L} x \right) \\ \end{align*}

Claramente se ve que $B_n$ anula uno de los términos de la serie, entonces la solución para este problema de valor de frontera es:

$$\Cbox{red}{\textstyle u(x,t) = \sum\limits_{n =1}^\infty \left[ {\color{brown}{\frac{8h}{n^2\pi^2} \cdot \sen \left( {\frac{n\pi}{2}} \right)}} \cdot \cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}\,t} \right) \right]{\scriptstyle\sen\left( \frac{n\pi}{L}x \right)}},$$ $$0 < x < \pi,\qquad t > 0.$$

⇧ Respuesta ⇧

Esta vez resultó una serie, como en la mayoría de las veces, y como es de esperarse de una fórmula como la (4).

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