Ec. de la Onda – Ejerc 05

Esto es una serie de ejercicios sobre La Ecuación de la Onda. Ahora veremos qué pasa cuando una de las funciones que aparece en las condiciones de iniciales, es decir para $t=0$ [ver ecuaciones (3) más abajo], es una función trigonométrica en $\left\langle {0,\pi } \right\rangle $. Esto generará una integral de la forma $$\int\limits_0^\pi {{\text{sen}}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {nx} \right) \cdot {\text{d}}x$$ pero nada que no se pueda resolver usando la transformación de producto a suma. Veamos:

Ejercicio 05

Resolver la ecuación $$\begin{align*} &{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}},\\ \text{con }&0 < x < \pi , \quad t > 0 \end{align*}\tag{1}$$ sujeta a: $$\left\{\begin{align*} u(0,t) &= 0\\ u(\pi ,t) &= 0 \end{align*}\right. ;\quad t > 0 \tag{2}$$ y tal que $$\left\{\begin{aligned} &u(x,0) =0 ,\\ & {u_t}(x,0) = \text{sen}(x) \end{aligned}\right. \,;\; 0 < x < \pi\tag{3}$$

Resolución

Por dato se observa que $f(x)=0$ y $g(x)=\text{sen}(x)$, y la constante $L=\pi.$ Ahora sabemos por lo expuesto en La Ecuación de la Onda que la solución está determinada por

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {A_n}\cos \left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right) \right. \\ &\qquad\, + \left.{B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{n\pi}{L} x \right)\tag{4} \end{align*}

en esta ecuación (4), para toda $n\in \mathbb{Z^+}$, los coeficientes $A_n$ y los $B_n$ se calculan de la siguiente forma:

\begin{align*} A_n &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{L}0 \cdot (L – 0) \\ A_n & = 0. \end{align*}

y en cuanto a $B_n$

\begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {{\text{sen}}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{\pi }x} \right) \cdot {\text{d}}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\text{sen}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {nx} \right) \cdot \text{d}x \end{align*}

Acá es donde usamos la fórmula de trasformación de suma a producto para esta última integral \begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\left[ {\frac{{\cos (x – nx) – \cos (x + nx)}}{2}} \right] \cdot {\text{d}}x\,} \\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\left[ {\cos ((1 – n)x) – \cos ((1 + n)x)} \right] \cdot {\text{d}}x\,} \\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\left. {\left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n)x)}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n)x)}}{{1 + n}}} \right)} \right|_0^\pi \\ &= \frac{1}{{n\pi a}} \left[ \left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n)\pi )}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n)\pi )}}{{1 + n}}} \right)\right.\\ &\quad – \left. \left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n) \cdot 0)}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n) \cdot 0)}}{{1 + n}}} \right)\right]\\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\left[ {\left( {\frac{0}{{1 – n}} – \frac{0}{{1 + n}}} \right) – \left( {\frac{0}{{1 – n}} – \frac{0}{{1 + n}}} \right)} \right]\\ {B_n} &=0\,,\;\forall n \neq 1. \end{align*}

Note que en el último renglón aparece $n \neq 1$, esto es para no anular el denominador de ${\frac{{{\text{sen}}((1 – n)x)}}{{1 – n}}}$ en el tercer renglón del párrafo de arriba. Así se puede afirmar $B_n=0
\,,\;\forall n \neq 1.$

Para $n=1$ debemos sustituir directamente en la fórmula inicial para $B_n,$ una integral fácil

\begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^\pi g(x) \cdot \text{sen}\left( {nx} \right) \cdot \text{d}x \\ &= \frac{2}{1\pi a}\int\limits_0^\pi {\text{sen}}(x) \cdot \text{sen}\left( {1x} \right) \cdot \text{d}x \\ {B_1} &= \frac{2}{{\pi a}}\int\limits_0^\pi {\text{sen}}^2(x) \cdot \text{d}x \\ &= \frac{2}{{\pi a}} \cdot \frac{\pi }{2} \\ {B_1} &= \frac{1}{a}. \end{align*}

Ahora podemos usar la fórmula (4) para hallar finalmente la solución de este problema de valor de frontera (ecuación de la onda)

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad \left. + {B_n}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {0 \cdot \cos \left( {n\,a\,t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {n\,a\,t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {nx} \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{B_n}\,{\text{sen}}\left( {n\,a\,t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {nx} \right)} \\ &= {B_1}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {1x} \right) + {B_2}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {2x} \right) \\ &\quad + {B_3}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right) + {B_4}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {4x} \right) \ldots \\ &= \frac{1}{a}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( x \right) + 0 + 0 + 0 + \ldots \end{align*}

los últimos renglones se deben a que $B_2=B_3=B_4=\ldots=0$ y que $B_1=\frac{1}{a}.$ Entonces la solución es:

$$\boxed{u(x,t) = \frac{1}{a}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( x \right)},$$ $$0 < x < \pi,\qquad t > 0.$$

⇧ Respuesta ⇧

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