Ec. de la Onda – Ejerc 05

Esto es una serie de ejercicios sobre La Ecuación de la Onda. Ahora veremos qué pasa cuando una de las funciones que aparece en las condiciones de iniciales, es decir para $t=0$ [ver ecuaciones (3) más abajo], es una función trigonométrica en $\left\langle {0,\pi } \right\rangle $. Esto generará una integral de la forma $$\int\limits_0^\pi {{\text{sen}}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {nx} \right) \cdot {\text{d}}x$$ pero nada que no se pueda resolver usando la transformación de producto a suma. Veamos:

Ejercicio 05

Resolver la ecuación $$\begin{align*} &{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}},\\ \text{con }&0 < x < \pi , \quad t > 0 \end{align*}\tag{1}$$ sujeta a: $$\left\{\begin{align*} u(0,t) &= 0\\ u(\pi ,t) &= 0 \end{align*}\right. ;\quad t > 0 \tag{2}$$ y tal que $$\left\{\begin{aligned} &u(x,0) =0 ,\\ & {u_t}(x,0) = \text{sen}(x) \end{aligned}\right. \,;\; 0 < x < \pi\tag{3}$$

Resolución

Por dato se observa que $f(x)=0$ y $g(x)=\text{sen}(x)$, y la constante $L=\pi.$ Ahora sabemos por lo expuesto en La Ecuación de la Onda que la solución está determinada por

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[ {A_n}\cos \left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right) \right. \\ &\qquad\, + \left.{B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{n\pi a}{L}t} \right) \right] \text{sen} \left( \frac{n\pi}{L} x \right)\tag{4} \end{align*}

en esta ecuación (4), para toda $n\in \mathbb{Z^+}$, los coeficientes $A_n$ y los $B_n$ se calculan de la siguiente forma:

\begin{align*} A_n &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {0 \cdot {\text{d}}x} = \frac{2}{L}0 \cdot (L – 0) \\ A_n & = 0. \end{align*}

y en cuanto a $B_n$

\begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \cdot {\text{d}}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {{\text{sen}}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{\pi }x} \right) \cdot {\text{d}}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\text{sen}(x) \cdot \,} {\text{sen}}\left( {nx} \right) \cdot \text{d}x \end{align*}

Acá es donde usamos la fórmula de trasformación de suma a producto para esta última integral \begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\left[ {\frac{{\cos (x – nx) – \cos (x + nx)}}{2}} \right] \cdot {\text{d}}x\,} \\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {\left[ {\cos ((1 – n)x) – \cos ((1 + n)x)} \right] \cdot {\text{d}}x\,} \\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\left. {\left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n)x)}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n)x)}}{{1 + n}}} \right)} \right|_0^\pi \\ &= \frac{1}{{n\pi a}} \left[ \left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n)\pi )}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n)\pi )}}{{1 + n}}} \right)\right.\\ &\quad – \left. \left( {\frac{{{\text{sen}}((1 – n) \cdot 0)}}{{1 – n}} – \frac{{{\text{sen}}((1 + n) \cdot 0)}}{{1 + n}}} \right)\right]\\ &=\frac{1}{{n\pi a}}\left[ {\left( {\frac{0}{{1 – n}} – \frac{0}{{1 + n}}} \right) – \left( {\frac{0}{{1 – n}} – \frac{0}{{1 + n}}} \right)} \right]\\ {B_n} &=0\,,\;\forall n \neq 1. \end{align*}

Note que en el último renglón aparece $n \neq 1$, esto es para no anular el denominador de ${\frac{{{\text{sen}}((1 – n)x)}}{{1 – n}}}$ en el tercer renglón del párrafo de arriba. Así se puede afirmar $B_n=0
\,,\;\forall n \neq 1.$

Para $n=1$ debemos sustituir directamente en la fórmula inicial para $B_n,$ una integral fácil

\begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{n\pi a}\int\limits_0^\pi g(x) \cdot \text{sen}\left( {nx} \right) \cdot \text{d}x \\ &= \frac{2}{1\pi a}\int\limits_0^\pi {\text{sen}}(x) \cdot \text{sen}\left( {1x} \right) \cdot \text{d}x \\ {B_1} &= \frac{2}{{\pi a}}\int\limits_0^\pi {\text{sen}}^2(x) \cdot \text{d}x \\ &= \frac{2}{{\pi a}} \cdot \frac{\pi }{2} \\ {B_1} &= \frac{1}{a}. \end{align*}

Ahora podemos usar la fórmula (4) para hallar finalmente la solución de este problema de valor de frontera (ecuación de la onda)

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty \left[{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)\right. \\ &\qquad \quad \left. + {B_n}\,\text{sen}\left(\frac{n\pi a}{L}t \right) \right] \text{sen}\left(\frac{n \pi}{L}x \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {0 \cdot \cos \left( {n\,a\,t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {n\,a\,t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {nx} \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{B_n}\,{\text{sen}}\left( {n\,a\,t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {nx} \right)} \\ &= {B_1}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {1x} \right) + {B_2}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {2x} \right) \\ &\quad + {B_3}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {3x} \right) + {B_4}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( {4x} \right) \ldots \\ &= \frac{1}{a}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( x \right) + 0 + 0 + 0 + \ldots \end{align*}

los últimos renglones se deben a que $B_2=B_3=B_4=\ldots=0$ y que $B_1=\frac{1}{a}.$ Entonces la solución es:

$$\boxed{u(x,t) = \frac{1}{a}\,{\text{sen}}\left( {a\,t} \right){\text{sen}}\left( x \right)},$$ $$0 < x < \pi,\qquad t > 0.$$

⇧ Respuesta ⇧

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 06

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

Agregue un comentario

Su dirección de correo no se hará público. Los campos requeridos están marcados *

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.

ACEPTAR
Aviso de cookies