Ec. de la Onda – Ejerc 04

Continuando con la serie de ejercicios de La Ecuación de la Onda. En éste veremos como $f(x)$ aparece como una función polinómica de tercer grado en el intervalo de $0$ a $\pi$ [ver ecuación (3) más abajo]. Esto generará una integral laboriosa de calcular, debido a que utiliza el método de integración por partes usando tabla. Veamos como se desarrolló.

Ejercicio 04

Resolver la ecuación $$\begin{align*} &{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}},\\ \text{con }&0 < x < \pi , \quad t > 0 \end{align*}\tag{1}$$ sujeta a: $$\left\{\begin{align*} u(0,t) &= 0\\ u(\pi ,t) &= 0 \end{align*}\right. ;\quad t > 0
\tag{2}$$ y tal que
$$\left\{\begin{aligned}
&u(x,0) =\frac{x}{6}({\pi ^2} – {x^2}) ,\\
& {u_t}(x,0) = 0
\end{aligned}\right. \,;\; 0 < x < \pi\tag{3}$$

Resolución

Identificando las funciones $f$ y $g$, y la constante $L$ :

$f(x) = \frac{x}{6}({\pi ^2} – {x^2})$, $g(x) = 0$ y $L=\pi$ sabemos por lo expuesto en La Ecuación de la Onda que la solución está determinada por

$$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)$$

en donde debe calcularse los coeficientes $A_n$ y los $B_n$ para cada $n\in \mathbb{Z^+}$ usando las fórmulas integrales siguientes:

Empezando por $B_n$

\begin{align*} {B_n} &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {0 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{\pi }x} \right)dx \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^\pi {0 \cdot dx} = \frac{2}{{n\pi a}}0 \cdot \left( {\pi – 0} \right) \\ &= 0. \end{align*}

Y ahora $A_n$

\begin{align*} A_n &= \frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx \\ &= \frac{{2}}{\pi }\int\limits_0^\pi {\frac{x}{6}({\pi ^2} – {x^2}) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi}}{\pi}x} \right)dx \\ &= \frac{1}{{3\pi }}\underbrace {\int\limits_0^\pi {({\pi ^2}x – {x^3}) \cdot {\text{sen}}} \left( {n\,x} \right)dx}_{\displaystyle I} \end{align*}

Se ha marcado por $I$ a lo que tenemos que integrar por partes (un tediososo trabajo). $$I = \int\limits_0^\pi {\underbrace {({\pi ^2}x – {x^3})}_{\displaystyle u} \cdot \underbrace {{\text{sen(}}n\,x{\text{)d}}x}_{\displaystyle dv}} $$

$u$ y sus
derivadas
$dv$ y sus
antiderivadas
Productos parciales
$+$ ${\pi ^2}x – {x^3}$${\text{sen(}}n\,x{\text{)}}$
$-$ ${\pi ^2} – 3{x^2}$$ – \frac{1}{n}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$ $ – \frac{1}{n}\left( {{\pi ^2}x – {x^3}} \right){\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$
$+$ $-6x$ $ – \frac{1}{{{n^2}}}{\text{sen(}}n\,x{\text{)}}$$ + \frac{1}{{{n^2}}}\left( {{\pi ^2} – 3{x^2}} \right){\text{sen}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$
$-$ $-6$$\frac{1}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$ $ – \frac{{6x}}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$
$0$$\frac{1}{{{n^4}}}{\text{sen(}}n\,x{\text{)}}$ $ + \frac{6}{{{n^4}}}{\text{sen}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}}$
metodo con tabla para integrar por aprtes
Figura [1]: Multiplicar elementos diagonales

Bueno, quienes ya conocen el método para esta integración por partes ya saben que solo se trata de multiplicar (con sus respectivos signos) las diagonales indicadas por las flechas que muestra la figura [1], entonces se tendrá:

\begin{align*} I &= \int\limits_0^\pi {({\pi ^2}x – {x^3}) \cdot \,} {\text{sen(}}n\,x{\text{)d}}x \cr &= \left[ – \frac{1}{n}\left( {{\pi ^2}x – {x^3}} \right){\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}} + \frac{1}{{{n^2}}}\left( {{\pi ^2} – 3{x^2}} \right){\text{sen}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}} \right.\\ &\qquad \left. -\frac{{6x}}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\,x{\text{)}} + \frac{6}{{{n^4}}}{\text{sen}}\,{\text{(}}n\,x) \right]_0^\pi \\ &= \left( -\frac{1}{n}\left( {{\pi ^3} – {\pi ^3}} \right){\text{cos}}\,{\text{(}}n\pi {\text{)}} + \frac{1}{{{n^2}}}\left( {{\pi ^2} – 3{\pi ^2}} \right){\text{sen}}\,{\text{(}}n\,\pi {\text{)}} \right. \\ & \qquad \left. -\frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\pi {\text{)}} + \frac{6}{{{n^4}}}{\text{sen}}\,{\text{(}}n\,\pi ) \right) \\ & \quad – \left( – \frac{1}{n}\left( {0 – 0} \right){\text{cos}}\,{\text{(}}0{\text{)}} + \frac{1}{{{n^2}}}\left( {{\pi ^2} – 0} \right){\text{sen}}\,{\text{(}}0{\text{)}} \right.\\ & \qquad\left. – \frac{{6(0)}}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}0{\text{)}} + \frac{6}{{{n^4}}}{\text{sen}}\,{\text{(}}0) \right)\\ &= \left[ {0 + \frac{1}{{{n^2}}}\left( { – 2{\pi ^2}} \right).0 – \frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\pi {\text{)}} + \frac{6}{{{n^4}}} \cdot 0} \right] \\ &- \left[ {0 + 0 – 0 + 0} \right] \\ &= – \frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\text{cos}}\,{\text{(}}n\pi {\text{)}} \\ &= – \frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\left( { – 1} \right)^n} \end{align*}

Así encontramos que:
$$I = \frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\left( { – 1} \right)^{n + 1}}$$
por lo que, reemplazando $I$ en $A_n$:
$${A_n} = \frac{1}{{3\pi }} \cdot \frac{{6\pi }}{{{n^3}}}{\left( { – 1} \right)^{n + 1}}\,$$
ya tenemos a $A_n$ y a $B_n$
$$\Rightarrow \boxed{{A_n} = \frac{2}{{{n^3}}}{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}}$$
con $\boxed{B_n=0}$ para toda $n=1,2,3,\ldots$ (como se vió reglones arriba).

Así, reemplazando ambos coeficientes, la solución al problema 4 es:

\begin{align*} u(x,t) &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}{\text{sen}}\left( {\frac{{n\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right) \\ &= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( \frac{2}{{{n^3}}}{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \cos \left( {\frac{{n\pi a}}{\pi }t} \right) + 0 \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\pi }}{\pi }x} \right) \end{align*}

Es decir que la función:
$$\boxed{u(x,t) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \left( {\frac{2}{{{n^3}}}{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}} \cdot \cos \left( {n\,a\,t} \right)} \right){\text{sen}}\left( {nx} \right)}$$
para toda $x,$ $t$ con $0 < x < \pi ,\,\,\,\,\,t > 0$ es la solución pedida.

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