Ecuación de Onda – Ejercicio 03

Como ya se vino diciendo, esto es la tercera parte de lo publicado en La Ecuación de la Onda. Y esta vez veremos condiciones en la frontera determinadas por el gráfico de una función conocida.

Ejercicio 03

Hallar la solución de la siguiente ecuación:
${a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \; 0 < x < L, \; t > 0$ sujeta a las condiciones:

$$u(0,t) = 0,\; u(1,t) = 0,\; t > 0$$

$$\left\{\begin{aligned}
&u(x,0) = f(x), \textrm{ siendo $f(x)$ como en la figura $[1]$}\\
& {u_t}(x,0) = 0 \\
\end{aligned}\right.$$

para toda $x$ en el intervalo $0 < x < L.$

ejercicio resuelto, funcion f(x)
Figura [1]. La gráfica de la función $f(x)$

Resolución:

En los tramos coloreados, puede calcularse la ecuación de la recta correspondiente usando los puntos coordenados (ver figura [2]), entonces:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{{3x}}{L} & , & 0 < x < \frac{L}{3} \\ 1 & , & \frac{L}{3} < x < \frac{2L}{3} \\ -\frac{{3x}}{L} + 3 & , & \frac{2L}{3} < x < L \end{array} \right.$$

gráfica de f(x) para el valor de frontera de una edp
Figura [2]: Coordenadas en las esquinas de $f$

Por dato, se observa además que $g(x)=0$ .
Y, de acuerdo con la fórmula (0.4), la solución es:
$$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)$$
donde debe calcularse los $A_n$ y los $B_n$ para todo $n = 1,\,\,2,\,\,3, \ldots $ $$\begin{align*} A_n &=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\ &=\frac{2}{L} \left(\underbrace{\int\limits_0^{L/3} {\frac{{3x}}{L} \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_1} \right.\\ &\qquad\quad +\underbrace {\int\limits_{L/3}^{2L/3} {1 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_2} \\ &\qquad\quad +\left.\underbrace {\int\limits_{2L/3}^L {\left( {\frac{{ – 3x}}{L} + 3} \right) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_3} \right) \end{align*}$$

donde los sumandos $I_1,$ $I_2,$ $I_3$; se han marcado así para calcularlos por separado: \begin{align*} I_1&=\int\limits_0^{L/3} {\frac{{3x}}{L} \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\ &= \frac{1}{n^2 \pi ^2}\left[{3\sin \left( {\frac{{n\,\pi \,}}{L}x} \right)L – 3x\,n\,\pi \cos \left( {\frac{{n\,\pi \,}}{L}x} \right)} \right]_0^{\frac{L}{3}}\\ &=\frac{L}{n^2 \pi ^2}\left( {3\sin \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) – n\pi \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)} \right) \end{align*}

\begin{align*} I_2&=\int\limits_{L/3}^{2L/3} {1 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\ &= \left. { – \frac{{L\cos \left( {\frac{{n{\pi }x}}{L}} \right)}}{{n{\pi }}}} \right]_{\frac{L}{3}}^{\frac{{2L}}{3}} \\ &= \frac{{L\left( { – 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n{\pi }}}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n{\pi}}}{3}} \right) + 1} \right)}}{{n{\pi }}} \end{align*}

\begin{align*} I_3&=\int\limits_{2L/3}^L {\left( {\frac{{ – 3x}}{L} + 3} \right) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x\\ &= \left. {\frac{{ – 3n\pi \left( { – x + L} \right)\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right) – 3\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right]_{\frac{{2L}}{3}}^L \\ &= \frac{2L}{n^2\pi^2} \left[ n\pi \left( {{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right) – \frac{1}{2}} \right) + \left( – 6{{\cos }^2}\left( \frac{n\pi}{3} \right) \right. \right.\\ &\qquad \qquad \left.\left. + 3\cos \left( \frac{n\pi}{3} \right) + \frac{3}{2} \right)\sin \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)\right] \end{align*}

Entonces reemplazando y simplificando estos resultados en $A_n=\frac{2}{L}\left( I_1 + I_2 + I_3 \right)$ se obtendrá:

$$\boxed{ A_n = \frac{{6L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\text{sen}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)\left( { – 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + 1} \right)}$$ para toda $n$ en los enteros.

Y con respecto a $B_n$ vemos que:

\begin{align*} B_n &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \text{d}x\\ &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {0 \cdot \,} \text{d}x \\ &= \frac{2}{{n\pi a}}0 \cdot \left( {L – 0} \right) \end{align*}

es decir que $\boxed{B_n=0}$ es nula para toda $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$

Finalmente, reemplazando en la solución – fórmula (0.4) del post Ecuación de la Onda – $$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {A_n\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + 0} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)$$ se ontendrá:
\begin{align*}
&=\sum\limits_{n = 1}^\infty\left\{ \left[ {\frac{{6L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\sin \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)\left( { – 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + 1} \right)\cdot} \right. \right.\\
& \qquad\qquad \left. \cdot \cos \left( \frac{n\,\pi a}{L} t \right) \right] \cdot \left. {{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)} \right\}
\end{align*}

Observación

Los cálculos de las integrales $I_1, \,I_2, \, I_3$ y todas las simplificaciones han sido hechas en su mayoría con el software Maple, que es una herramienta que la he usado por años, así que no hay lugar al error. Aun así ya saben que cualquier comentario al respecto es bien venido.

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 04

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático puro. He creado este sitio para analizar temas de interés matemático en el instituto o la universidad, sobre todo aquellos temas que puedan comprobarse con herramientas de software y así contrastar resultados. De momento ese es objetivo. Mas adelante veré si se hacen adecuados foros de debate. Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

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