Ecuación de Onda – Ejercicio 03

Como ya se vino diciendo, esto es la tercera parte de lo publicado en La Ecuación de la Onda. Y esta vez veremos condiciones en la frontera determinadas por el gráfico de una función conocida.

Ejercicio 03

Hallar la solución de la siguiente ecuación:
{a^2}{u_{xx}} = {u_{tt}}, \; 0 < x < L, \; t > 0 sujeta a las condiciones:

    \[u(0,t) = 0,\; u(1,t) = 0,\; t > 0\]

    \[\left\{\begin{array}{l}u(x,0) = f(x), \textrm{ siendo $f(x)$ como en la figura $[1]$}\\{u_t}(x,0) = 0 \\\end{array}\right.\]

para toda x en el intervalo 0 < x < L.

ejercicio resuelto, funcion f(x)
Figura [1]. La gráfica de la función f(x)

Resolución:

En los tramos coloreados, puede calcularse la ecuación de la recta correspondiente usando los puntos coordenados (ver figura [2]), entonces:

    \[f(x)=\left\{  \begin{array}{ccc}  \frac{{3x}}{L}     & , & 0 < x < \frac{L}{3}  \\                   1 & , & \frac{L}{3} < x < \frac{2L}{3}  \\ -\frac{{3x}}{L} + 3 & , & \frac{2L}{3} < x < L \end{array} \right.\]

gráfica de f(x) para el valor de frontera de una edp
Figura [2]: Coordenadas en las esquinas de f

Por dato, se observa además que g(x)=0 .
Y, de acuerdo con la fórmula (0.4), la solución es:

    \[u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + {B_n}\,{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right)} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)\]


donde debe calcularse los A_n y los B_n para todo n = 1,\,\,2,\,\,3, \ldots

    \begin{align*} A_n &=\frac{2}{L}\int\limits_0^L {f(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\     &=\frac{2}{L} \left(\underbrace{\int\limits_0^{L/3} {\frac{{3x}}{L} \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_1} \right.\\   &\qquad\quad +\underbrace {\int\limits_{L/3}^{2L/3} {1 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_2} \\  &\qquad\quad +\left.\underbrace {\int\limits_{2L/3}^L {\left( {\frac{{ - 3x}}{L} + 3} \right) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx}_{\displaystyle I_3} \right) \end{align*}

donde los sumandos I_1, I_2, I_3; se han marcado así para calcularlos por separado:

    \begin{align*}  I_1&=\int\limits_0^{L/3} {\frac{{3x}}{L} \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\    &= \frac{1}{n^2 \pi ^2}\left[{3\sin \left( {\frac{{n\,\pi \,}}{L}x} \right)L - 3x\,n\,\pi \cos \left( {\frac{{n\,\pi \,}}{L}x} \right)} \right]_0^{\frac{L}{3}}\\ &=\frac{L}{n^2 \pi ^2}\left( {3\sin \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) - n\pi \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)} \right) \end{align*}

    \begin{align*} I_2&=\int\limits_{L/3}^{2L/3} {1 \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)dx\\    &= \left. { - \frac{{L\cos \left( {\frac{{n{\pi }x}}{L}} \right)}}{{n{\pi }}}} \right]_{\frac{L}{3}}^{\frac{{2L}}{3}} \\    &= \frac{{L\left( { - 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n{\pi }}}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n{\pi}}}{3}} \right) + 1} \right)}}{{n{\pi }}}  \end{align*}

    \begin{align*} I_3&=\int\limits_{2L/3}^L {\left( {\frac{{ - 3x}}{L} + 3} \right) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right){\text{d}}x\\    &= \left. {\frac{{ - 3n\pi \left( { - x + L} \right)\cos \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right) - 3\sin \left( {\frac{{n\pi x}}{L}} \right)L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right]_{\frac{{2L}}{3}}^L \\ &= \frac{2L}{n^2\pi^2} \left[ n\pi \left( {{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)        - \frac{1}{2}} \right) + \left( - 6{{\cos }^2}\left( \frac{n\pi}{3} \right) \right. \right.\\ &\qquad \qquad \left.\left. + 3\cos \left( \frac{n\pi}{3} \right)        + \frac{3}{2} \right)\sin \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)\right] \end{align*}

Entonces reemplazando y simplificando estos resultados en A_n=\frac{2}{L}\left( I_1 + I_2 + I_3 \right) se obtendrá:

    \[\boxed{ A_n = \frac{{6L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\text{sen}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)\left( { - 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + 1} \right)}\]

para toda n en los enteros.

Y con respecto a B_n vemos que:

    \begin{align*} B_n &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {g(x) \cdot {\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right) \text{d}x\\        &= \frac{2}{{n\pi a}}\int\limits_0^L {0 \cdot \,} \text{d}x \\         &= \frac{2}{{n\pi a}}0 \cdot \left( {L - 0} \right) \end{align*}

es decir que \boxed{B_n=0} es nula para toda n=1,\,2,\,3,\,\ldots

Finalmente, reemplazando en la solución – fórmula (0.4) del post Ecuación de la Onda

    \[u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {A_n\cos \left( {\frac{{n\,\pi a}}{L}t} \right) + 0} \right){\text{sen}}} \left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)\]

se ontendrá:

    \begin{align*} &=\sum\limits_{n = 1}^\infty\left\{ \left[   {\frac{{6L}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\sin \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right)\left( { - 2{{\cos }^2}\left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {\frac{{n\,\pi }}{3}} \right) + 1} \right)\cdot}   \right. \right.\\ & \qquad\qquad \left. \cdot \cos \left( \frac{n\,\pi a}{L} t \right) \right] \cdot \left.  {{\text{sen}}\left( {\frac{{n\,\pi }}{L}x} \right)}  \right\} \end{align*}

Observación

Los cálculos de las integrales I_1, \,I_2, \, I_3 y todas las simplificaciones han sido hechas en su mayoría con el software Maple, que es una herramienta que la he usado por años, así que no hay lugar al error. Aun así ya saben que cualquier comentario al respecto es bien venido.

Siguiente publicación: Ecuación de Onda – Ejerc 04


⬇ Deja me gusta y comparte ⬇

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

Agregue un comentario

Su dirección de correo no se hará público. Los campos requeridos están marcados *

Abrir chat
1
Hola 👋🏻
¿Necesitas ayuda en tus exámenes?
Consulta aquí.