Cotas inferiores e ínfimo de un conjunto en R

cotas inferiores, cotas superiores, axioma del supremo, intervalos en R

Definición 1 [cota inferior]

Llamaremos cota inferior de un conjunto A \subset \mathbb{R} a todo número k\in\mathbb{R} tal que k\leq x, \forall\, x\in A. O sea, cualquier número que sea menor o igual que los elementos de A se llama cota inferior de A. Cuando A tiene alguna cota inferior, se dice que el conjunto A es acotado
inferiormente.


Ejemplo 1

Sea A =[-2,7\rangle y la cota inferior k=-2.

El intervalo [-2,7\rangle y sus cotas inferiores.

Se observa que cualquiera de los números reales menores que -2 e incluso el -2 es cota
inferior de A.

De todas estas cotas inferiores de A el número -2 es la mayor.


¿No hay algún “Axioma del Ínfimo”?

Hasta donde se sabe, no hay algún texto que haga referencia a un axioma de ínfimo, solo axioma de supremo. Sin embargo su enunciado sería similar. Diría que todo conjunto de \mathbb{R} acotado inferiormente posee ínfimo. En un texto lo encontré con la siguiente definición.


Definición 2 [Ínfimo de un conjunto]

A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto A \subset \mathbb{R} y acotado inferiormente, se le llama ínfimo de A o máxima cota  inferior de A y se denota por \inf(A).


Observación

  1. El ínfimo de A es también una cota inferior de A.
  2. La mayor cota inferior k=\inf(A)=\textrm{infimo de } A esta caracterizada por la condición:
    k = \inf(A) \leftrightarrow \forall \, x \in A y para toda cota inferior r de A se tiene r< k < x .
  3. El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado.

Ejemplo 2

El conjunto A =[-2,7\rangle esta acotado superiormente por 8 e inferiormente por —3,
además la mayor cota inferior es -2 y la menor cota superior es 7
por lo tanto: \sup(A) = 7 y el \inf(A) = -2
en donde \sup(A) \notin A\,,\; \inf(A) \in A.

Ejemplo 3

Si A\neq \emptyset\;\, \textrm{y}\; B\neq \emptyset son dos conjuntos acotados inferiormente tales que A \subset B probar que

    \[\inf(B) \leq \inf(A)\]

Solución

Sea k_A=\inf(A) y k_B=\inf(B) los ínfimos de los conjuntos A y B respectivamente, entonces debe probarse la desigualdad siguiente:

(1)   \begin{equation*}k_B\leq k_A\end{equation*}


Sea x un elemento de A  [ x\in A ],
Por ser k_A el ínfimo de A

    \[k_A\leq x\]

por estar A incluido en B

    \[x\in B\]

Como k_B=\inf(B) y x\in B

(2)   \begin{equation*}k_B\leq x\end{equation*}

pero la desigualdad (2) también indica que k_B es una cota inferior de A, y ya que k_A es la máxima  cota inferior de A [ pues k_A=\inf(A) ] se concluye:

    \[k_B\leq k_A\]


con lo que se probó la desigualdad (1).
l.q.q.d.

 
Cuando en un conjunto A se tiene que \sup(A)\in A entonces el  \sup(A) también se le llama el máximo de A y se denota por \max(A).
Y si el \inf(A) \in A entonces al ínfimo de A también se le llama el mínimo de A y se denota por \min(A).

Definición 3

Un conjunto A se dice que es acotado, si es a la vez acotado inferiormente y superiormente.

Ejemplos

  1. El conjunto A = \langle1,7\rangle \cup [30,50] es acotado y \sup(A) = 50, \inf(A) = 1.
  2. El conjunto A = \langle-\infty,-5] \cup \langle 1,+\infty\rangle no es acotado inferiormente ni superiormente.

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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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