Conjuntos acotados, cota superior y supremo

numeros reales, cotas, supremo

Definición 01 [cota superior]

Se llama cota superior de un conjunto A \subset \mathbb{R} a todo número k\in\mathbb{R} tal que x \leq k\;,\;\; \forall\, x\in A, es decir, cualquier número que sea mayor o igual que los elementos de A se llama “cota superior de A”. Cuando A tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto A es acotado superiormente.


Ejemplo

Sea A = \left\langle { - \infty ,3} \right\rangle  y la cota superior k=5

Las cotas de A aquí son todos los números x\geq 3

Se observa que los números mayores que 3 incluyendo al mismo 3 es una cota superior del conjunto A.


De todas estas cotas superiores de A, él número 3 es la menor. Esto nos lleva a  siguiente definición.

Definición 02 [supremo]

A la menor de las cotas superiores de un conjunto A \subset \mathbb{R} y acotado superiormente, se le llama supremo de A o mínima cota superior de A y se denota por \textrm{sup}(A).


Observación

1) El supremo de A es también una cota superior de A.
2) La menor cota superior k = Supremo de A = \textrm{sup}(A) está caracterizada por las condiciones siguientes que equivalen a la definición 02.

k = \textrm{Sup}(A)\; \Leftrightarrow \;\forall\,x \in A y para toda cota superior r de A, se tiene: x \leq k \leq r

3) El supremo de un conjunto A, si existe, no es necesariamente un elemento de A, como en el caso de A = \left\langle {- \infty ,3} \right\rangle cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto A.


La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el siguiente axioma.


⬇ Deja me gusta y comparte ⬇

You May Also Like

About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
Abrir chat
1
Hola 👋🏻
¿Necesitas ayuda en tus exámenes online?
Consulta aquí.