Conjuntos acotados, cota superior y supremo

Definición 01 [cota superior]

Se llama cota superior de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ a todo número $k\in\mathbb{R}$ tal que $x \leq k\;,\;\; \forall\, x\in A$, es decir, cualquier número que sea mayor o igual que los elementos de $A$ se llama “cota superior de $A$”. Cuando $A$ tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto $A$ es acotado superiormente.


Ejemplo

Sea $A = \left\langle { – \infty ,3} \right\rangle $  y la cota superior $k=5$

Las cotas de $A$ aquí son todos los números $x\geq 3$

Se observa que los números mayores que 3 incluyendo al mismo 3 es una cota superior del conjunto $A$.


De todas estas cotas superiores de $A$, él número 3 es la menor. Esto nos lleva a  siguiente definición.

Definición 02 [supremo]

A la menor de las cotas superiores de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ y acotado superiormente, se le llama supremo de $A$ o mínima cota superior de $A$ y se denota por $\textrm{sup}(A)$.


Observación

1) El supremo de $A$ es también una cota superior de $A$.
2) La menor cota superior $k$ = Supremo de $A$ = $\textrm{sup}(A)$ está caracterizada por las condiciones siguientes que equivalen a la definición 02.

$k = \textrm{Sup}(A)\; \Leftrightarrow \;\forall\,x \in A$ y para toda cota superior $r$ de $A$, se tiene: $x \leq k \leq r$

3) El supremo de un conjunto $A$, si existe, no es necesariamente un elemento de $A$, como en el caso de $A = \left\langle {- \infty ,3} \right\rangle$ cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto $A$.


La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el siguiente axioma.

Comentarios

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.

ACEPTAR
Aviso de cookies