Ya se ha visto en el anterior post, que el supremo o el ínfimo de intervalos acotados pueden localizarse fácilmente en los extremos de los mismos, pero si se pide demostrar ahí si hay que hacer un análisis significativo (una vez más se usará la técnica del absurdo), esto se verá paso a paso en el siguiente:
Ejercicio Explicativo
Hallar el supremo y el ínfimo si existe del conjunto 
De hallarse tales números, demuéstrelo
![\[A=\{x \in \mathbb{R} \;\,|\,\; x^2-4x-12<0\}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab4c4829724bdd80dc901c6c3460c34b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Solución
Si 
se tiene
![\[\begin{array}{rc@{\;}c@{\,}l}& x^2-4x-12 &<& 0 \\\rightarrow & (x-6)(x+2) &<& 0 \\\rightarrow & x\in\langle-2,6\rangle & & ..\textrm{[*1]} \\\textrm{entonces} & A=\langle-2,6\rangle & &\end{array}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd9cb49b4229a70da051479e45150af9_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
luego
![\[\inf(A)=-2\quad,\quad\sup(A)=6\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de67410486155eee3c45ebf9429905a2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
El siguiente video (parte 1) explica este primer paso en el desarrollo del ejercicio.
1. Demostrando que 
a1) Para toda 
en 
, 
, es decir, 
es una cota inferior de
b1) Si se supone que el número real 
es una cota inferior de 
entonces para y solo hay dos posibilidades: la primera que 
y la segunda 
Si se prueba que la primera posibilidad es absurda, solo queda la segunda como única opción, y ésta es la última condición b) para demostrar que 
En efecto, si se supone que entonces siempre es posible encontrar otro número 
tal que 
(fórmula del punto medio), con 
y como 
![\textrm{ ..[*2]}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56d4919eee6b054694d145e2ce8ba2ce_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
, implica que 
así se tiene
![\[\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\; s<r\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2ccae32e73210eeb8fa3ce918666f06_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
si nos fijamos, esto último es una negación de 
Así 
y por ende cualquier cota inferior debe ser menor o igual que , o sea
![\[\textrm{para toda cota inferior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;r\leq-2\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe89aed666511804ee2b7c14b1116bcd_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Así queda probado que
El siguiente video (parte 2) explica este paso de la demostración del ejercicio.
2. Demostrando que 
a2) Para toda en 
, 
, es decir, 
es una cota superior de
b2) Si se supone que el número es una cota superior de entonces para y solo hay dos posibilidades: la primera que y la segunda 
Si se prueba que la primera es absurda, solo queda la segunda como única opción, y así se habrá completado la demostración que 
es decir es la menor de las cotas superiores de .
En efecto, si se supone que entonces siempre es posible encontrar un número en medio de ambos, o sea 
, con 
además como ![\textrm{ ..[*3]}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1681cb6858d3bb86c8e032139f3b4389_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
, indicaría que 
es decir que ahora se tiene
![\[\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\;r<s\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff8c1114423ae4472106aead6e12fa1_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
si nos fijamos, esto último es una negación de 
Así 
y por ende cualquier cota superior de debe ser mayor o igual que , o sea
![\[\textrm{para toda cota superior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;6\leq r\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d82ef18502db7f4a688e0965c689cf89_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Así queda probado que
Así queda probado que
El siguiente video (parte final) explica este paso de la demostración del ejercicio.
Observaciones
[*1] Para llegar a deducir que se ha usado el método de puntos críticos para inecuaciones polinómicas, en los temas de matemática básica.
[*2] Se afirmó que , porque en primer lugar es una cota inferior de entonces 
se tiene 
, y en segundo lugar al ser , se tiene 
o sea . Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que .
[*3] Similar que en [*2] se afirmó que: , porque en primer lugar es una cota superior de entonces se tiene 
, y en segundo lugar al ser , se tiene o sea . Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que .
Creo que resultará de utilidad también adjuntar el archivo PDF que se usó como pizarra para los vídeos explicativos
Y por sea caso la versión de impresión con fondo blanco
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Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
Profe muchas gracias por el esfuerzo que pone en sus videos, ayuda a todos los chicos que estamos estudiando esta materia, esperaría que usted siga subiendo más videos.
Gracias Andrés, Efectivamente, este sitio tiene esa meta, explicar y profundizar en este tipo de temas. Pronto vendrán más vídeos explicativos, tenlo por seguro. Un cordial saludo 👍🏻✨