¿Cuál es el supremo o el ínfimo de un intervalo abierto?

Miniatura - Supremo e Ínfimo de un intervalo - demostraciones

Ya se ha visto en el anterior post, que el supremo o el ínfimo de intervalos acotados pueden localizarse fácilmente en los extremos de los mismos, pero si se pide demostrar ahí si hay que hacer un análisis significativo (una vez más se usará la técnica del absurdo), esto se verá paso a paso en el siguiente:

Ejercicio Explicativo

Hallar el supremo y el ínfimo si existe del conjunto A. De hallarse tales números, demuéstrelo

    \[A=\{x \in \mathbb{R} \;\,|\,\; x^2-4x-12<0\}\]

Solución

Si x\in A se tiene

    \[\begin{array}{rc@{\;}c@{\,}l}& x^2-4x-12 &<& 0 \\\rightarrow & (x-6)(x+2) &<& 0 \\\rightarrow & x\in\langle-2,6\rangle &  & ..\textrm{[*1]} \\\textrm{entonces} & A=\langle-2,6\rangle & &\end{array}\]


luego

    \[\inf(A)=-2\quad,\quad\sup(A)=6\]


El siguiente video (parte 1) explica este primer paso en el desarrollo del ejercicio.

video axioma del supremo en un intervalo, demostracion analitica - parte 1 de 3

1. Demostrando que \inf(A)=-2

a1) Para toda x en A, -2<x, es decir, -2 es una cota inferior de A
b1) Si se supone que el número real r es una cota inferior de A, entonces para r y -2 solo hay dos posibilidades: la primera que -2<r y la segunda r\leq -2.
Si se prueba que la primera posibilidad es absurda, solo queda la segunda como única opción, y ésta es la última condición b) para demostrar que \inf(A)=-2.

En efecto, si se supone que -2<r entonces siempre es posible encontrar otro número s tal que s=\frac{-2+r}{2} (fórmula del punto medio), con -2<s<r y como r<6 \textrm{ ..[*2]}, implica que s\in A, así se tiene

    \[\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\; s<r\]

si nos fijamos, esto último es una negación de r\leq x\,,\;\forall x\in A

Así -2\nless r y por ende cualquier cota inferior r debe ser menor o igual que -2, o sea

    \[\textrm{para toda cota inferior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;r\leq-2\]


Así queda probado que \inf(A)=-2.

El siguiente video (parte 2) explica este paso de la demostración del ejercicio.

video axioma del supremo en un intervalo, demostracion analitica - parte 2 de 3

2. Demostrando que \sup(A)=6

a2) Para toda x en A=\langle-2,6\rangle, x<6, es decir, 6 es una cota superior de A
b2) Si se supone que el número r es una cota superior de A, entonces para r y 6 solo hay dos posibilidades: la primera que r<6 y la segunda 6\leq r.

Si se prueba que la primera es absurda, solo queda la segunda como única opción, y así se habrá completado la demostración que \sup(A)=6, es decir 6 es la menor de las cotas superiores de A.

En efecto, si se supone que r<6 entonces siempre es posible encontrar un número s en medio de ambos, o sea s=\frac{r+6}{2}, con r<s<6, además como -2<r \textrm{ ..[*3]}, indicaría que s\in A es decir que ahora se tiene

    \[\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\;r<s\]

si nos fijamos, esto último es una negación de x\leq r\,,\;\forall x\in A

Así r\nless 6 y por ende cualquier cota superior r de A debe ser mayor o igual que 6, o sea

    \[\textrm{para toda cota superior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;6\leq r\]


Así queda probado que \sup(A)=6.Así queda probado que \sup(A)=6.

El siguiente video (parte final) explica este paso de la demostración del ejercicio.

video axioma del supremo en un intervalo, demostracion analitica - parte 3 de 3

Observaciones

[*1] Para llegar a deducir que A=\langle-2,6\rangle se ha usado el método de puntos críticos para inecuaciones polinómicas, en los temas de matemática básica.

[*2] Se afirmó que r<6,  porque en primer lugar r es una cota inferior de A=\langle-2,6\rangle entonces \forall\, x \in A se tiene r<x, y en segundo lugar al ser x\in A, se tiene -2<x<6 o sea x<6Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que r<6. 

[*3] Similar que en [*2] se afirmó que: -2<r,  porque en primer lugar r es una cota superior de A=\langle-2,6\rangle entonces \forall\, x \in A se tiene x<r, y en segundo lugar al ser x\in A, se tiene -2<x<6 o sea -2<x. Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que -2<r.


 Creo que resultará de utilidad también adjuntar el archivo PDF que se usó como pizarra para los vídeos explicativos

Y por sea caso la versión de impresión con fondo blanco


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.

2 Comments

  1. Profe muchas gracias por el esfuerzo que pone en sus videos, ayuda a todos los chicos que estamos estudiando esta materia, esperaría que usted siga subiendo más videos.

    1. Gracias Andrés, Efectivamente, este sitio tiene esa meta, explicar y profundizar en este tipo de temas. Pronto vendrán más vídeos explicativos, tenlo por seguro. Un cordial saludo 👍🏻✨

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