
Ya se ha visto en el anterior post, que el supremo o el ínfimo de intervalos acotados pueden localizarse fácilmente en los extremos de los mismos, pero si se pide demostrar ahí si hay que hacer un análisis significativo (una vez más se usará la técnica del absurdo), esto se verá paso a paso en el siguiente:
Ejercicio Explicativo
Hallar el supremo y el ínfimo si existe del conjunto De hallarse tales números, demuéstrelo
Solución
Si se tiene
luego
El siguiente video (parte 1) explica este primer paso en el desarrollo del ejercicio.
1. Demostrando que
a1) Para toda en
,
, es decir,
es una cota inferior de
b1) Si se supone que el número real es una cota inferior de
entonces para
y
solo hay dos posibilidades: la primera que
y la segunda
Si se prueba que la primera posibilidad es absurda, solo queda la segunda como única opción, y ésta es la última condición b) para demostrar que
En efecto, si se supone que entonces siempre es posible encontrar otro número
tal que
(fórmula del punto medio), con
y como
, implica que
así se tiene
si nos fijamos, esto último es una negación de
Así y por ende cualquier cota inferior
debe ser menor o igual que
, o sea
Así queda probado que
El siguiente video (parte 2) explica este paso de la demostración del ejercicio.
2. Demostrando que
a2) Para toda en
,
, es decir,
es una cota superior de
b2) Si se supone que el número es una cota superior de
entonces para
y
solo hay dos posibilidades: la primera que
y la segunda
Si se prueba que la primera es absurda, solo queda la segunda como única opción, y así se habrá completado la demostración que es decir
es la menor de las cotas superiores de
.
En efecto, si se supone que entonces siempre es posible encontrar un número
en medio de ambos, o sea
, con
además como
, indicaría que
es decir que ahora se tiene
si nos fijamos, esto último es una negación de
Así y por ende cualquier cota superior
de
debe ser mayor o igual que
, o sea
Así queda probado que
El siguiente video (parte final) explica este paso de la demostración del ejercicio.
Observaciones
[*1] Para llegar a deducir que se ha usado el método de puntos críticos para inecuaciones polinómicas, en los temas de matemática básica.
[*2] Se afirmó que , porque en primer lugar
es una cota inferior de
entonces
se tiene
, y en segundo lugar al ser
, se tiene
o sea
. Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que
.
[*3] Similar que en [*2] se afirmó que: , porque en primer lugar
es una cota superior de
entonces
se tiene
, y en segundo lugar al ser
, se tiene
o sea
. Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que
.
Creo que resultará de utilidad también adjuntar el archivo PDF que se usó como pizarra para los vídeos explicativos
Y por sea caso la versión de impresión con fondo blanco
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Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
Profe muchas gracias por el esfuerzo que pone en sus videos, ayuda a todos los chicos que estamos estudiando esta materia, esperaría que usted siga subiendo más videos.
Gracias Andrés, Efectivamente, este sitio tiene esa meta, explicar y profundizar en este tipo de temas. Pronto vendrán más vídeos explicativos, tenlo por seguro. Un cordial saludo 👍🏻✨