Ya se ha visto en los anteriores post, que el supremo o el ínfimo de intervalos acotados pueden localizarse fácilmente en los extremos de los mismos, pero si se pide demostrar ahí si hay que hacer un análisis significativo (una vez más se usará la técnica del absurdo), esto se verá paso a paso en el siguiente:
Ejercicio Explicativo
Hallar el supremo y el ínfimo si existe del conjunto $A.$ De hallarse tales números, demuéstrelo $$A=\{x \in \mathbb{R} \;\,|\,\; x^2-4x-12<0\}$$
Solución
Si $x\in A$ se tiene
$$\begin{array}{rc@{\;}c@{\,}l}
& x^2-4x-12 &<& 0 \\
\rightarrow & (x-6)(x+2) &<& 0 \\
\rightarrow & x\in\langle-2,6\rangle & & ..\textrm{[*1]} \\
\textrm{entonces} & A=\langle-2,6\rangle & &
\end{array}$$
luego
$$\inf(A)=-2\quad,\quad\sup(A)=6$$
El siguiente video (parte 1) explica este primer paso en el desarrollo del ejercicio.
1. Demostrando que $\inf(A)=-2$
a1) Para toda $x$ en $A$, $-2<x$, es decir, $-2$ es una cota inferior de $A$
b1) Si se supone que el número real $r$ es una cota inferior de $A,$ entonces para $r$ y $-2$ solo hay dos posibilidades: la primera que $-2<r$ y la segunda $r\leq -2.$
Si se prueba que la primera posibilidad es absurda, solo queda la segunda como única opción, y ésta es la última condición b) para demostrar que $\inf(A)=-2.$
En efecto, si se supone que $-2<r$ entonces siempre es posible encontrar otro número $s$ tal que $s=\frac{-2+r}{2}$ (fórmula del punto medio), con $-2<s<r$ y como $r<6$ $\textrm{ ..[*2]}$, implica que $s\in A,$ así se tiene
$$\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\; s<r$$
si nos fijamos, esto último es una negación de $r\leq x\,,\;\forall x\in A$
Así $-2\nless r$ y por ende cualquier cota inferior $r$ debe ser menor o igual que $-2$, o sea
$$\textrm{para toda cota inferior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;r\leq-2$$
Así queda probado que $\inf(A)=-2.$
El siguiente video (parte 2) explica este paso de la demostración del ejercicio.
2. Demostrando que $\sup(A)=6$
a2) Para toda $x$ en $A=\langle-2,6\rangle$, $x<6$, es decir, $6$ es una cota superior de $A$
b2) Si se supone que el número $r$ es una cota superior de $A,$ entonces para $r$ y $6$ solo hay dos posibilidades: la primera que $r<6$ y la segunda $6\leq r.$
Si se prueba que la primera es absurda, solo queda la segunda como única opción, y así se habrá completado la demostración que $\sup(A)=6,$ es decir $6$ es la menor de las cotas superiores de $A$.
En efecto, si se supone que $r<6$ entonces siempre es posible encontrar un número $s$ en medio de ambos, o sea $s=\frac{r+6}{2}$, con $r<s<6,$ además como $-2<r$ $\textrm{ ..[*3]}$, indicaría que $s\in A$ es decir que ahora se tiene
$$\textrm{Existe un } s\in A\;\textrm{tal que}\;r<s$$
si nos fijamos, esto último es una negación de $x\leq r\,,\;\forall x\in A$
Así $r\nless 6$ y por ende cualquier cota superior $r$ de $A$ debe ser mayor o igual que $6$, o sea
$$\textrm{para toda cota superior } r \textrm{ de A}\;\Rightarrow\;6\leq r$$
Así queda probado que $\sup(A)=6.$Así queda probado que $\sup(A)=6.$
El siguiente video (parte final) explica este paso de la demostración del ejercicio.
Observaciones
[*1] Para llegar a deducir que $A=\langle-2,6\rangle $ se ha usado el método de puntos críticos para inecuaciones polinómicas, en los temas de matemática básica.
[*2] Se afirmó que $r<6$, porque en primer lugar $r$ es una cota inferior de $A=\langle-2,6\rangle$ entonces $\forall\, x \in A$ se tiene $r<x$, y en segundo lugar al ser $x\in A$, se tiene $-2<x<6$ o sea $x<6$. Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que $r<6$.
[*3] Similar que en [*2] se afirmó que: $-2<r$, porque en primer lugar $r$ es una cota superior de $A=\langle-2,6\rangle$ entonces $\forall\, x \in A$ se tiene $x<r$, y en segundo lugar al ser $x\in A$, se tiene $-2<x<6$ o sea $-2<x$. Entonces por transitividad (texto en azul) se sigue que $-2<r$.
Creo que resultará de utilidad también adjuntar el archivo PDF que se usó como pizarra para los vídeos explicativos
axioma-del-supremo-ejercicio-resuelto-calculo-y-demostracion-de-sup-e-inf-de-un-intervaloCalculo y demostración de Sup e Inf de un intervalo
Y por sea caso la versión de impresión con fondo blanco:
axioma-del-supremo-ejercicio-resuelto-version-de-impresionVersión de Impresión – Calculo de Sup e Inf
El ínfimo o el supremo de un intervalo puede hallarse en sus extremos, siempre que estos no sean el mas o el menos infinito.
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