Axioma del supremo (mínima cota superior)

supremo e infimo de un intervalo, cálculo y demostración

Axioma del supremo o axioma de la mínima cota superior

Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en \mathbb{R}.

Como se mencionó en el post anterior, una cota con esa característica se le llama supremo del conjunto A y se denota por \textrm{sup}(A)


Ejemplo. Demostrar que sí A = \left\langle {- \infty ,3} \right\rangle entonces \textrm{sup}(A)=3

Solución. Esto puede probarse mediante reducción al absurdo.

Supóngase que 3 no es la menor cota superior de A, entonces se puede asegurar que existe una cota superior k de A tal que k < 3 y puesto que

    \[k < \frac{{k + 3}}{2} < 3\]

tómese: r = \frac{{k + 3}}{2} (punto medio), entonces:

(1)   \begin{equation*}k < r < 3   \end{equation*}

de donde r \in A = \left\langle { - \infty ,3} \right\rangle , pero siendo k una cota superior de A debería tenerse r < k,  lo cual contradice a la desigualdad (1).

La suposición es absurda por lo tanto \textrm{sup}(A)=3.


Explicación de la expresión mencionada en (1).

Si se preguntan ¿de donde salió la desigualdad k < \frac{{k + 3}}{2} < 3? basta con ‘desmenusarlo’ del siguiente modo:

    \[\begin{array}{c}k < \frac{{k + 3}}{2} < 3\\2k < k + 3 < 6\\2k - k < 3\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,k < 6 - 3\\\,\,\,\,k < 3\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,k < 3\end{array}\]

Con esta observación es fácil llegar a (1) yendo de atrás hacia adelante.

De forma análoga (similar o parecida) puede definirse el ínfimo de un conjunto de números reales no vacío y enunciarse su consecuente axioma del ínfimo. Se podrá ver en el siguiente post.


Ejemplo 2

Si A \ne \emptyset ,B \ne \emptyset, son conjuntos acotados superiormente tales que A \subset B , probar que

    \[\textrm{sup}(A) \leq \textrm{sup}(B).\]

Demostración
Sea k_A=\sup(A) y k_B=\sup(B) los supremos de los conjuntos A y B respectivamente, entonces debe probarse la desigualdad siguiente:

(2)   \begin{equation*}k_A\leq k_B\end{equation*}


Además, para todo elemento x en el conjunto A, y por ser k_A la menor cota superior de A se tiene:

    \[x\leq k_A\quad \wedge \quad x\in B\]


note que escribí x\in B pues A\subset B, esto último nos conduce a decir que

(3)   \begin{equation*}x\leq k_B \end{equation*}


pues k_B=\sup(B), pero siendo además x un elemento de A, la desigualdad (3) indica que k_B es cota superior de A.
Ahora, si k_B es cota superior de A  y k_A es la menor de todas las cotas superiores de A entonces se concluye:

    \[k_A\leq k_B\]


con lo que se probó la desigualdad (2).
l.q.q.d.

Ejemplo 3

Hallar el supremo de

    \[\left\{\frac {1+6\,n}{3\,n+4}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\]

Solución

Dividiendo algebraicamente

    \[\begin{array}{*{20}{r|l}} \dropsign{-} {\mathbf{6n + 1}}&{\mathbf{3n + 4}}\\\cline{2-2} &\\[-9pt] { 6n + 8}&2\\\cline{1-1} &\\[-9pt] {-7}&{} \end{array}\]

entonces

    \[\frac {1+6n}{3n+4}=2+\frac{-7}{3n+4}\]

si tabulamos el termino \frac{-7}{3n+4}

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & \cdots & \infty \\ \hline \frac{-7}{3n+4} \phantom{\displaystyle\frac{1}{2}} & \frac{-7}{7} & \frac{-7}{10} & \frac{-7}{13} & \cdots & 0 \\ \hline \end{array}\]

Es decir que, para n=1\;\rightarrow\;\frac{-7}{3n+4}=-1.

Y conforme n crece uniformemente hasta que n sea suficientemente grande vemos que \frac{-7}{3n+4} está muy próximo a cero

    \[\textrm{Si }n\approx\infty \;\rightarrow\; \frac{-7}{3n+4}\approx 0\]

Como -1<0, entonces para el supremo debe reemplazarse \frac{-7}{3n+4} por 0, para que la suma sea la mayor posible

    \begin{eqnarray*}\sup\left(\left\{ \frac {1+6n}{3n+4}\right\} \right) &=& \sup\left(\left\{ 2+\frac{-7}{3n+4} \right\} \right) \\&=& 2+ \sup\left(\left\{ \frac{-7}{3n+4} \right\} \right)\\&=& 2+0 \\&=& 2\end{eqnarray*}

Por tanto:

    \[\boxed{\sup\left(\left\{ \frac {1+6n}{3n+4}\right\} \right) =2}\]


En el artículo ¿Cuál es el supremo o el ínfimo de un intervalo abierto? recomiendo ver el siguiente vídeo explicativo de demostración y calculo de supremo e ínfimo de intervalos.


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About the Author: Salomón CB

Soy matemático con amplia experiencia. He creado este sitio para profundizar e ilustrar temas de interés matemático, de los que se aprenden durante los primeros semestres en la universidad. Dando importancia tanto a los problemas abstractos (simbólicos) como a los que tengan aplicaciones prácticas (realidad). Sea Ud. bienvenido y siéntase libre de participar con sus comentarios o sugerencias.
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