Usando el Teorema de L’Hospital

Aquí tenemos un ejemplo de aplicaciones de la derivada. El cálculo de un límite de la forma infinito sobre infinito.

En un límite, cuando al reemplazar directamente el valor al que tiende la variable x encontramos al final una expresión de la forma \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}, y si además hemos pasado por la revisión del capítulo de derivadas, entonces es muy útil usar el teorema de L’hospital.

Básicamente el teorema consiste en derivar ambos términos de la fracción que origina \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}. No confundir con la derivada del cociente, solo se deriva el numerador y el denominador por separado. Y luego se calcula el límite por sustitución directa. Si persiste la indeterminación con la misma forma, se vuelve a derivar arriba y abajo.

Lo ilustramos con el siguiente problema.

Problema 1
Dada la función f(x)=\frac{\ln|\textrm{sen}(2x)|}{\ln|\textrm{sen}(x)|}, hallar el siguiente límite \lim_{x\to 0}\left[f(x)\right].

Solución
Si reeemplazamos directamente vemos que:
\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\left[f(x)\right] &= \lim_{x\to 0}\left[ \frac{\ln|\textrm{sen}(2x)|}{\ln|\textrm{sen}(x)|} \right]\\[1.5em] &=\frac{\ln|\textrm{sen}(2\cdot 0)|}{\ln|\textrm{sen}(0)|}\\[1.5em] &=\frac{\ln|\textrm{sen}(0)|}{\ln|0|}\\[1.3em] &=\frac{\ln|0|}{\ln|0|}=\frac{-\infty}{-\infty}\\[1.1em] &=\frac{\infty}{\infty} \end{aligned} vemos que es un límite de la forma \frac{\infty}{\infty}, entonces resulta de mucha utilidad usar el teorema de L’Hospital. Entonces veamos el desarrollo en la siguiente imagen.

Ejercicio resuelto de limites con L'hospital, aplicaciones de la derivada

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