Probabilidades 1 (IB SL Nov 2013)

El siguiente ejercicio fue planteado en la prueba 2 de matemáticas nivel medio (SL) en el programa de bachillerato internacional (Math IB).

Ejercicio #10

Samantha va al colegio cinco días por semana. Cuando llueve, la probabilidad de que Samantha vaya en autobús al colegio es igual a 0.5. Cuando no llueve, la probabilidad de que Samantha vaya en autobús al colegio es igual a 0.3. En un día cualquiera, la probabilidad de que llueva es igual a 0.2.

  1. Halle la probabilidad de que, en un día escolar elegido al azar, Samantha vaya al colegio en autobús.
  2. Sabiendo que el lunes Samantha fue al colegio en autobús, halle la probabilidad de que estuviera lloviendo.
  3. Halle la probabilidad de que, durante una semana escolar elegida al azar, Samantha vaya en autobús al colegio exactamente tres días.
  4. Tras n días de colegio, la probabilidad de que Samantha haya ido al colegio en autobús al menos un día es mayor que 0.95. Halle el menor valor de n.

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Solución

  1. Sean:
    • P(R) = La probabilidad que llueva (en cualq. día) = 0.2.
    • P(B) = La probabilidad que Samantha vaya en autobús (en cualq. día).
    • P(B \cap R) = La probabilidad que Samantha vaya en autobús BAJO lluvia.
    • P(B \cap R') = La probabilidad que Samantha vaya en autobús SIN lluvia.

    .
    PRIMER MÉTODO.
    Por dato: cuando llueve, la probabilidad de que Samantha vaya en autobús al colegio es igual a 0.5, entonces
    \begin{aligned}P(B | R)& = 0.5 \\ \rightarrow \;\; \frac{P(B\cap R)}{P(R)}&=0.5 \\ \rightarrow \;\;\frac{P(B\cap R)}{0.2}&=0.5 \\ \rightarrow \;\;P(B\cap R)&=(0.5)(0.2) \\ \rightarrow \;\;P(B\cap R)&=0.10 \end{aligned} Y cuando NO llueve la probabilidad de que Samantha vaya en autobús al colegio es igual a 0.3, entonces
    \begin{aligned}P(B | R')& = 0.3 \\ \rightarrow \;\; \frac{P(B\cap R')}{P(R')}&=0.3 \\ \rightarrow \;\;\frac{P(B\cap R')}{1-0.2}&=0.3 \\ \rightarrow \;\;P(B\cap R')&=(0.3)(0.8) \\ \rightarrow \;\;P(B\cap R')&=0.24 \end{aligned} Nos piden la probabilidad P(B), de que Sam vaya en bus ya sea que llueva o que no. Esto se divide en dos eventos: B \cap R y B \cap R' mutuamente excluyentes. Luego
    \begin{aligned} P(B) & = P(B \cap R) + P(B\cap R')\\ &= 0.10 + 0.24\\ &= \boxed{0.34} \end{aligned} SEGUNDO MÉTODO
    Esbozando diagrama de árbol

    se puede ver fácilmente que

    \begin{aligned} P(B) & = P(R\cap B) + P(R'\cap B)\\ & =(0.2)(0.5)+(1-0.2)(0.3)\\ & =(0.2)(0.5)+(0.8)(0.3)\\ &= 0.10 + 0.24\\ &= \boxed{0.34} \end{aligned}
  2. Hallando la probabilidad que llueva dado que Samantha vaya en autobús.
    \begin{aligned}P(R | B) &= \frac{P(R\cap B)}{P(B)} \\ \rightarrow \;\;P(R | B) &= \frac{(0.5)(0.2)}{0.34} \\ \rightarrow \;\;P(R | B) &=\boxed{0.294} \end{aligned}
  3. Se sabe que, en cualquier semana, Ann asiste al colegio durante 5 días, y se pide la probabilidad que, de esos 5 días, en tres de ellos vaya en autobús. Como solo hay dos posibilidades de acierto: que viaje en bus (p), o que NO viaje en bus (1-p), o sea una variable de distribución binomial
    \begin{aligned} X &\sim B(n,p)\\ P(X = r) &={\binom{n}{r}}{p^r}{(1 - p)^{n - r}}, \;\;r = 0,1,2, \ldots ,n \end{aligned} para este caso n=5 (número de intentos), r=3 (número de éxitos)
    \begin{align} P(X = 3) &= \binom{5}{3}{p^5}{(1 – p)^{5 – 3}}\\ &= \binom{5}{3}{(0.34)^5}{(1 – 0.34)^{5 – 3}}\\ &= \binom{5}{3}{(0.34)^5}{(0.66)^{2}}\end{align} entonces la probabilidad pedida es \boxed{P(X = 3) = 0.171}
  4. Se resuelve usando tablas de distribución binomial acumulada (o calculadora científica). [explicación: próximamente]

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