Máximo Entero (parte 2) – Teoremas

Nota: Esta publicación es la continuación del post anterior. Aquí hay varias referencias a él en cuanto a sus teoremas y definiciones, la numeración de los mismos continúa desde dicha página.


Teorema 4.
Para todo $x\in \mathbb{R}$ él máximo entero de $x$ es también un número entero.
$$\forall \,x\in\mathbb{R}\quad\Rightarrow\quad[\![x]\!]\,\in\mathbb{Z}.$$
La demostración es inmediata, en virtud al teorema (3) en el post anterior.

Teorema 5 (máximo entero de un número entero)

 El máximo entero de un número es igual a sí mismo si y solo si dicho número es un número entero.
\begin{equation}
[\![x]\!]=x\;\Longleftrightarrow \;x \in\mathbb{Z}
\end{equation}
Demostración
$$\begin{array}{rrcl}
\textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!]=x & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\
&\textrm{(2)} & [\![x]\!]=\max(M_x) & \small{\textrm{.. teorema 2}}\\
&\textrm{(3)} & [\![x]\!]\in M_x & \small{\textrm{.. def. de máximo de un conjunto}}\\
&\textrm{(4)} & [\![x]\!]\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. $M_x\subset\mathbb{Z}$}} \\
&\textrm{(5)} & \therefore\;x\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. sustituyendo (1) en (4)}} \\
\textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(6)} & x\in \mathbb{Z} & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\
&\textrm{(7)} & x\leq x & \small{\textrm{.. propiedad reflexiva de $\leq$}} \\
&\textrm{(8)} & x\in M_x & \small{\textrm{.. definición 1 en (6) y (7)}} \\
&\textrm{(9)} & x\leq \max(M_x) & \small{\textrm{.. def. de máximo de un conjunto}} \\
&\textrm{(10)} & x\leq [\![x]\!] & \small{\textrm{.. sustituyendo $\max(M_x)$ por $[\![x]\!]$}} \\
&\textrm{(11)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema 3}} \\
&\textrm{(12)} & \therefore\;[\![x]\!]= x & \small{\textrm{.. ley de tricotomía en (10) y (11)}}
\end{array}$$
Q.E.D.

Teorema 6 (Cuando el mayor entero es “$\,\geq$” que un entero)

Si $a\in\mathbb{Z},$ entonces la relación mayor o igual ($\geq$) es invariante, es decir
\begin{equation}
[\![x]\!]\geq a\qquad\Longleftrightarrow\qquad x\geq a
\end{equation}
Demostración
$$\begin{array}{rrcl}
\textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)}  & [\![x]\!]\geq a   & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\
&\textrm{(2)}  & [\![x]\!]\leq x<[\![x]\!]+1                   & \small{\textrm{.. teorema 3}}\\
&\textrm{(3)}  & [\![x]\!]\leq x                            & \small{\textrm{.. simplificación conjuntiva}} \\
&\textrm{(4)}  & a\leq x                                 & \small{\textrm{.. transitividad en (1) y (3)}} \\
&\textrm{(5)}  & \therefore\; x\geq a                    & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}} \\
\textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(6)}  & x\geq a                    & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\
&\textrm{(7)}  & a\in\mathbb{Z}\;\wedge\;a\leq x         & \small{\textrm{.. reescribiendo $\geq$}} \\
&\textrm{(8)}  & a\in\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\}=M_x  & \small{\textrm{.. definición de $M_x$}} \\
&\textrm{(9)}  & a\leq\max\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\} & \small{\textrm{.. definición de máximo}} \\
&\textrm{(10)} & a\leq[\![x]\!]                             & \small{\textrm{.. definición 3}} \\
&\textrm{(11)} & \therefore\;[\![x]\!]\geq a                 & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}}
\end{array}$$
$\qquad$ Q.E.D.
[collapse]

Observación.
Éste teorema se sigue verificando para una desigualdad estricta, es decir el lector podrá demostrar que se cumple
$$\boxed{\begin{equation}
[\![x]\!] > a\qquad\Longleftrightarrow\qquad x > a
\end{equation}}$$

anímese, demuéstrelo!
.

Teorema 7 (Cuando el mayor entero es  “$\, < $” que un entero)

Si $a\in\mathbb{Z},$ entonces la relación menor que ($ < $) es invariante, es decir
\begin{equation}
[\![x]\!] < a \quad\Longleftrightarrow\quad x < a
\end{equation}
Demostración

$$\begin{array}{rrcl}
\textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!] < a & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\
&\textrm{(2)} & [\![x]\!]=n & \small{\textrm{.. simbolizando}}\\
&\textrm{(3)} & n\leq x < n+1 & \small{\textrm{.. teorema 4 en (2)}} \\
&\textrm{(4)} & n < a & \small{\textrm{.. sustituyendo (2) en (1)}} \\
&\textrm{(5)} & n < a \quad\wedge\quad x<n+1 & \small{\textrm{.. ley conjuntiva (3) y (4)}}\\ &\textrm{(6)} & \textrm{si:}\quad n+1 > a & \small{\textrm{.. hipótesis auxiliar}} \\
&\textrm{(7)} & n+1 > a > n & \small{\textrm{.. transitividad (5) y (6)}} \\
&\textrm{(8)} & 1 > a-n > 0 & \small{\textrm{.. restando `$n$’ a cada miembro}} \\
&\textrm{(9)} & \small{\textrm{entonces:}} \quad \displaystyle{n+1 \leq a} & \small{\textrm{.. (8) y (9) se contradicen}} \\
&\textrm{(10)} & \therefore\; x < a & \small{\textrm{.. transitividad en (5) y (9)}} \\
\end{array}$$
$\quad$ [$\Leftarrow$] Cuando la hipótesis es $x < a$ entonces:
$$\begin{array}{rr@{\;\;}c@{\;\;}l}
\textrm{por teor. 4} & [\![x]\!] = n & \leftrightarrow & n\leq x < n+1 \\
\rightarrow& x < a & \wedge & n\leq x\\
\rightarrow& n\leq x & \wedge & x < a \\
\rightarrow& & n\leq x < a & \\
\rightarrow& \small{\textrm{por transitividad}} & n < a & \\
& \therefore & [\![x]\!] < a &
\end{array}$$

Q.E.D.
[collapse]
.

Teorema 8 (Cuando el máximo entero es “$\leq$” que un entero)
Si $a\in\mathbb{Z},$ entonces la relación menor o igual que ($\leq$) es invariante excepto por una unidad, es decir
\begin{equation}
[\![x]\!]\leq a\quad\Longleftrightarrow\quad x < a+1
\end{equation}
Demostración

$$\begin{array}{rrcl}
\textrm{[$\Rightarrow$]} &\textrm{(1)} & [\![x]\!]\leq a & \textrm{.. hipótesis}\\
&\textrm{(2)} & [\![x]\!] < a\;\,\vee\;\, [\![x]\!]=a & \small{\textrm{.. definición de “$\leq$”}}\\
&\textrm{(3)} & \textrm{si: }\,x < a & \small{\textrm{.. teorema 7 en (2) lado izq.}} \\
&\textrm{(4)} & a < a+1 & \small{\textrm{.. puesto que $0 < 1$}} \\
&\textrm{(5)} & \textrm{entonces: }\,x < a+1 & \small{\textrm{.. transitividad en (3) y (4)}} \\
&\textrm{(6)} & \textrm{si: } [\![x]\!]=a & \small{\textrm{.. lado derecho de (2)}} \\
&\textrm{(7)} & a\leq x < a+1 & \small{\textrm{.. teorema 4 en (6)}} \\
&\textrm{(8)} & \textrm{entonces: }\,x < a+1 & \small{\textrm{.. propiedad simplificativa en (7)}} \\
&\textrm{(9)} & \therefore\;x < a+1 & \small{\textrm{.. prop. conjuntiva en (5) y (8).}} \\
\textrm{[$\Leftarrow$]} &\textrm{(10)} &x < a+1 & \small{\textrm{.. hipótesis}}\\
&\textrm{(11)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\
& \textrm{(12)} & [\![x]\!] < a+1 & \small{\textrm{.. prop. transitiva en (10) y (11)}} \\ & \textrm{(13)} & \textrm{si: }[\![x]\!] > a\;\rightarrow\;a+1 > [\![x]\!] > a & \small{\textrm{.. transitiva en (12) y (13)}} \\
& \textrm{(14)} & \rightarrow\;a < [\![x]\!] < a+1 & \small{\textrm{.. reescribiendo “$ > $”}} \\
& \textrm{(15)} & \rightarrow\;0 < [\![x]\!] – a < 1 & \small{\textrm{.. restando “$a$”}} \\
& \textrm{(16)} & \textrm{entonces: (13) es falsa} & \small{\textrm{.. (13) genera la contradicción (15)}} \\
& \textrm{(17)} & \therefore \quad [\![x]\!]\leq a & \small{\textrm{.. la negación de (13) es verdadera.}}
\end{array}$$

$\quad $ Q.E.D.

Observación. En las líneas (13) a (16) se ha usado el método de reducción al absurdo, donde “$[\![x]\!]\leq a$” es verdadera porque su negación “$[\![x]\!] > a$” es falsa (conduce a una contradicción).
[collapse]
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Teorema 9 (Mayor entero de la suma con enteros)
\begin{equation}
\forall \; m\in\textrm{Z},\quad [\![x+m]\!]=[\![x]\!]+m
\end{equation}
Demostración

$$\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} & \textrm{Sea } [\![x]\!]=n & \small{\textrm{.. simbolizando}} \\ \textrm{(2)} & n\leq x < n+1 & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(3)} & n+m\leq x < n+1+m & \small{\textrm{.. sumando $m$}} \\ \textrm{(4)} & n+m\leq x < (n+m)+1 & \small{\textrm{.. asociativa}} \\ \textrm{(5)} & [\![x+m]\!]=n+m & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(6)} & \therefore\;[\![x+m]\!]=[\![x]\!]+m & \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (5).}} \end{array}$$ $\quad $ Q.E.D.

[collapse]
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Teorema 10 (Desigualdad triangular)

Tal vez hayan visto antes que en valor absoluto la desigualdad triangular está dada por $|x+y|\leq |x|+|y|.$ En Máximo Entero también se cumple pero al revés.
$$
\begin{equation}
\forall \; x,y \in\mathbb{R},\quad [\![x]\!]+[\![y]\!]\leq[\![x+y]\!] \end{equation}
$$
Demostración

$$\begin{array}{ccl} \textrm{(1)} &\textrm{Sean: }[\![x]\!]=n\;\wedge\;[\![x]\!]=m & \small{\textrm{.. simbolizando}} \\ \textrm{(2)} & n\leq x < n+1\;\wedge\;m\leq y<m+1 & \small{\textrm{.. teorema 4}} \\ \textrm{(3)} & n+m\leq x+y < n+m+2 & \small{\textrm{.. sumando ambas desig.}} \\ \textrm{(4)} & n+m\leq x+y & \small{\textrm{.. recortando el lado izq.}} \\ \textrm{(5)} & x+y\geq n+m & \small{\textrm{.. reescribiendo $\leq$}} \\ \textrm{(6)} & [\![{x+y}]\!] \geq n+m & \small{\textrm{.. teorema 6}} \\ \textrm{(7)} & n+m \leq [\![x+y]\!] & \small{\textrm{.. reescribiendo $\geq$}} \\ \textrm{(8)} & \therefore\;[\![x]\!]+[\![y]\!]\leq[\![x+y]\!] & \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (7).}} \end{array}$$ $\quad $ Q.E.D.

[collapse]
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Teorema 11.

$$\begin{equation}
\forall \; x\in\mathbb{R},\quad
[\![x]\!]+[\![x]\!]=\left\{\begin{array}{ll}
0 \,,&\textrm{si }\, x\in\mathbb{Z} \\
1 \,,&\textrm{si }\, x\in(\mathbb{R}-\mathbb{Z})
\end{array} \right.
\end{equation}$$
Demostración

Es un buen ejercicio que el lector demuestre este teorema. No es complicado.

Ánimo, demuéstrelo!
[collapse]
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Teorema 12.

$$\begin{equation}
\forall \; x\in\mathbb{R},\quad
x-1<[\![x]\!]\leq x
\end{equation}$$
Demostración

Se deja como ejercicio para el lector.

Inténtelo, demuéstrelo!
[collapse]
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