Máximo Entero (parte 4) – Ejercicios Resueltos

Ahora continuamos con lo expuesto en el post anterior.
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Excise 1. Si $x\in[-1,1],\;$ hallar el valor de $E=\left[\kern-0.29em\left[{\frac{|x|-2}{3-x}}\right]\kern-0.29em\kern-0.006em\right].$

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En ambos casos:

1. De (1) a (3) se reemplazó el valor absoluto de “$x$” (Recuerde que $|x|$ es igual a “$-x$” cuando “$x<0$”, e igual a “$x$” en caso contrario: “$x\geq0$”) y se dividió algebraicamente la fracción resultante.
2. De (4) a (10) se acotó el cociente obtenido entre corchetes en (3) entre los enteros más cercanos, partiendo de su correspondiente intervalo (caso).
3. De (10) a (11) se usó el teorema [4]. Luego como en ambos caso se obtiene lo mismo, el resultado es $-1$ para todo $x$ en el intervalo $[-1,1]$

Un buen ejercicio puede ser encontrar una forma más corta de resolverlo. ¿Quién se anima a hacerlo?, tómenlo como un reto.


Excise 2. Determinar por extensión el conjunto $$A=\{\left[\kern-0.15em\left[{3x-1}\right]\kern-0.15em\kern-0.006em\right]\;:\;x\in\left[0,1\right]\}$$

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En (7), para $n=-1,0,1$ solo se cubrió el intervalo $[0,1\rangle$, por lo que falta $x=1$,
es decir: $x\in\{1\}$ cuando $n=2$.

Otra manera de verlo es:

Si $n=2$,$\;$ entonces $x\in\left[1,\frac{4}{3}\right\rangle\cap[0,1]=\{1\}\;\rightarrow\;x\in\{1\}$


Excise 3. Resolver la ecuación: $$\left[\kern-0.30em\left[{\frac{{\left| {x – 2} \right| + 3}}{2}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]=4$$

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intervalo solucion de ejercicio resuelto con maximo entero, inecuaciones con mayor entero

Figura: conjunto solución de la inecuación con máximo entero

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Excise 4. Resolver la ecuación: $$[\![4x]\!] = 3x + 3$$

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Excise 5. Resolver la inecuación: $\mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} \geq 1$
Solución

\begin{align*} \tag{1} \mev{x-\frac{2}{x}}{0.26} & \geq 1 \end{align*} entonces, por el teorema [6] (de la parte 2) se tiene \begin{align*} \tag{2} x-\frac{2}{x} &\geq 1 \end{align*} restando “1” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo \begin{align*} \tag{3} \frac{ x^2-x-2}{x}& \geq 0 \end{align*} factorizando el numerador \begin{align*} \tag{4} \frac{(x-2)(x+1)}{x}& \geq 0 \end{align*} por el método de puntos críticos se sigue $$ \therefore\;\, x\in \left[-1, 0\right\rangle \cup \left[ {2,+\infty} \right\rangle $$

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{\Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle{-1, 0}\rangle \cup [{2,+\infty}\rangle\phantom{a} }\qdr$
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Excise 6. Resolver la inecuación: $\mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} \leq 2.$
Solución

\begin{align*} \tag{1} \mev{\frac{3+x}{4-x}}{0.26} &\leq 2\end{align*} entonces, por el teorema [8] (de la parte 2) se tiene \begin{align*}\tag{2} \frac{3+x}{4-x} &< 2+1\end{align*}
restando “3” a cada miembro y efectuando el lado izquierdo de (2) \begin{align*}\tag{3} \frac{4x-9}{x-4} &
> 0\end{align*} igualando a cero cada término
\begin{align*}\tag{4} 4x-9=0 \qquad,\qquad &x-4=0\\ \rightarrow\quad\qquad x=\frac{9}{4} \qquad,\qquad &x=4\end{align*}
por el método de puntos críticos (figura 2) se sigue
$$\therefore\;\, x\in \left\langle {-\infty, \frac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle$$

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\left\langle {-\infty, \tfrac{9}{4}} \right\rangle\cup \left\langle {4,+\infty} \right\rangle \phantom{a} }\qdr$
inecuaciones con maximo entero conjunto solución

Figura 2: Conjunto solución para $\frac{4x-9}{x-4} > 0$

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