Máximo Entero (parte 3) – Ejercicios resueltos

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Antes de ir a los ejercicios, se enunciarán y demostrarán los últimos cuatro teoremas

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Teorema 13 (Conservación de la relación $\leq$ entre números reales)
Visto como función el máximo entero es creciente, es decir, deja invariante la relación de orden, $\leq$
$$\begin{equation}
\forall \; x,y \in\mathbb{R},\quad \textrm{si } \,x\leq y\quad\Rightarrow\quad[\![x]\!]\leq[\![y]\!] \end{equation}$$
Demostración
$$\begin{array}{ccl}
\textrm{(1)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\
\textrm{(2)} & x\leq y & \small{\textrm{.. hipótesis}} \\
\textrm{(3)} & [\![x]\!]\leq y & \small{\textrm{.. transitiva en (1) y (2)}} \\
\textrm{(4)} & [\![y]\!]\leq y < [\![y]\!]+1 & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\
\textrm{(5)} & [\![x]\!] < [\![y]\!]+1. & \small{\textrm{.. transitiva en (3) y (4)}} \\ \textrm{(6)} & \textrm{Si }[\![x]\!] > [\![y]\!] & \small{\textrm{.. redución al absurdo}} \\
\textrm{(7)} & [\![x]\!]\leq x & \small{\textrm{.. teorema [3]}} \\
\textrm{(8)} & [\![y]\!] < x & \small{\textrm{.. transitiva (6) y (7)}} \\
\textrm{(9)} & y < x & \small{\textrm{.. teorema [7]}} \\
\textrm{(10)} & \therefore\;[\![x]\!]\leq[\![y]\!] & \small{\textrm{.. (6) es falsa}}
\end{array}$$
$\qquad$ Q.E.D.

Nota: El teorema [3] y [7] está en Mayor Entero (parte1)

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Teorema 14

$$\begin{equation}
\textrm{Si }\;n=x-[\![x]\!] \quad\Rightarrow\quad 0\leq n <1
\end{equation}$$
Demostración
Queda como ejercicio!

$\qquad$ Q.E.D.

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Teorema 15

$\textrm{Siendo }\;x,y\in\mathbb{R},\,m\in\mathbb{Z}\;\textrm{números tales que }\;x=y+m;$
$$\textrm{si }\, 0\leq y <1\,,\quad\Rightarrow\quad [\![x]\!]=m$$
Demostración
Se propone como ejercicio!

$\qquad$ Q.E.D.

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Teorema 16

$\textrm{Si }\,\;x\in\mathbb{R},\;m\in\mathbb{Z^+},\; \textrm{ entonces se cumple}$
$$\Bigg[\kern-0.39em\Bigg[{\frac{[\![x]\!]}{m}}\Bigg]\kern-0.39em\Bigg]=\bigg[\kern-0.36em\bigg[{\frac{x}{m}}\Bigg]\kern-0.36em\Bigg]$$

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Ejercicios Resueltos

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Ejercicio 1.  Hallar el valor de $\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right].$

Resolución
$$\begin{array}{ccl}
\textrm{(1)} & 4 < 6 < 9 & \small{\textrm{.. relación de orden en $\mathbb{Z}$}} \\
\textrm{(2)} & 2 < \sqrt{6} < 3 & \small{\textrm{.. extrayendo raíz cuadrada}} \\
\textrm{(3)} & 3 < \sqrt{6}+1 < 4 & \small{\textrm{.. sumando 1 a cada miembro}} \\
\textrm{(4)} & \frac{1}{4} < \frac{1}{\sqrt{6}+1} < \frac{1}{3} & \small{\textrm{.. invirtiendo cada miembro}} \\
\textrm{(5)} & \frac{3}{4} < \frac{3}{\sqrt{6}+1} < \frac{3}{3} & \small{\textrm{.. multiplicando por 3}} \\
\textrm{(6)} & \small{0.75}\displaystyle < \frac{3}{\sqrt{6}+1} < 1 & \small{\textrm{.. equivalencia en decimales}} \\
\textrm{(7)} & 0\leq\frac{3}{\sqrt{6}+1} < 1 & \small{\textrm{.. acotando entre enteros más próximos}} \\
\textrm{(8)} & \therefore\;\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right]=0 & \small{\textrm{.. por teorema [4]}}
\end{array}$$
$\quad$ Rpta: $\;\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3}{\sqrt{6}+1}}\right]\kern-0.33em\right]=0$
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Nota: El teorema [4] está en Mayor Entero (parte1)
teorema n° 4 del máximo entero

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Ejercicio 2.  Hallar el valor de $\left[\kern-0.33em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.33em\right].$

Resolución
$$\begin{array}{ccl}
\textrm{(1)} & \frac{3-2\pi}{\pi+1}=-2+\frac{5}{\pi+1}
& \small{\textrm{.. efectuando la división}} \\
\textrm{(2)} & \left[\kern-0.30em\left[{-2+\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]
=-2+\left[\kern-0.29em\left[{\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.29em\kern-0.006em\right]
& \small{\textrm{.. teorema [9]}} \\
\textrm{(3)} & 3 < \pi < 4 & \small{\textrm{.. acotando $\pi$}} \\
\textrm{(4)} & 4 < \pi+1 < 5 & \small{\textrm{.. restando 1 a cada miembro}}\\
\textrm{(5)} & \frac{1}{5} < \frac{1}{\pi+1} < \frac{1}{4}
& \small{\textrm{.. invirtiendo cada miembro}} \\
\textrm{(6)} & \frac{5}{5} < \frac{5}{\pi+1} < \frac{5}{4}
& \small{\textrm{.. multiplicando por 5}} \\
\textrm{(7)} & 1 < \frac{5}{\pi+1} < \scriptstyle{1.25}
&\small{\textrm{.. equivalencia en decimales}} \\
\textrm{(8)} & 1\leq\frac{5}{\pi+1}<\scriptstyle{1.25}<2
&\small{\textrm{.. sustituyendo “$<$” por “$\leq$” $\;\,$..[*]}} \\
\textrm{(9)} & \left[\kern-0.29em\left[{\frac{5}{\pi-1}}\right]\kern-0.29em\kern-0.006em\right]=1
&\small{\textrm{.. teorema [4]}} \\
\textrm{(10)} & \left[\kern-0.30em\left[{-2+\frac{5}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]
=-2+1 & \small{\textrm{.. reemplazando (6) en (2)}} \\
\textrm{(11)} & \therefore\;
\left[\kern-0.30em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]=-1
& \small{\textrm{.. reemplazando (1) en (7)}}
\end{array}$$
[*] La premisa (7) conlleva a (8), pues en leyes de inferencia: $p$ implica $p\vee q$ (ley aditiva). Entonces se sigue que $1<a$ implica $1\leq a$ para cualquier número $a$.

$\quad$ Rpta: $\left[\kern-0.30em\left[{\frac{3-2\pi}{\pi+1}}\right]\kern-0.30em\kern-0.006em\right]=-1$

Nota: El teorema [9] está en Máximo Entero (parte 2)

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El resto de ejercicios continúan en el siguiente post.

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