Máximo Entero o Mayor Entero (definición y propiedades)

Un tema que he notado frecuente en cursos como matemática básica, precálculo, o análisis matemático, es el que involucra a un operador que transforma números reales en números enteros de forma redondeada por defecto. Por ejemplo el número real $2.4$ queda redondeado a $2$, o también, el $-6$ es el máximo entero de $-5.6$, y así por el estilo.
Dicho operador es conocido con nombres como mayor entero, parte entera piso (floor function), o Máximo Entero que es como se llamará en este sitio. En las próximas publicaciones se presentarán definiciones, teoremas (fórmulas principales) con sus respectivas demostraciones, ejercicios de precálculo y ejercicios que involucran problemas de la vida cotidiana (aplicaciones del máximo entero en la vida real).


Definición 1 (El conjunto $M_x$)
Dado $x\in \mathbb{R}$ entonces el conjunto $M_x$ es el conjunto de todos los números enteros menores o iguales que $x$.
$$M_x=\{n \in \mathbb{Z}\;|\; n\leq x \}$$
Observación.
Para cada $x\in \mathbb{R}$ se cumple
  1. $x$ es cota superior de $M_x.$
  2. $M_x$ tiene supremo en $\mathbb{R}$, siempre que $M_x \neq \phi.$

Teorema 1
Para cada $x\in \mathbb{R}$, el conjunto $M_x$ es siempre no vacío.
$$M_x \neq \phi$$

Demostración
$$\begin{array}{lll}
&\textrm{PASOS}&\small{\textrm{RAZONES}} \\
(1)& M_x=\phi & \small{\textsf{reducción al absurdo}} \\
(2)& \sim\left[\exists\, n\in M_x\right] & \small{\textsf{definición de c. vacío}} \\
(3)& \sim\left[\exists\, n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\right] & \small{\textsf{definición de $M_x$}} \\
(4)& \forall\, n\in\mathbb{Z}\;|\;x<n & \small{\textsf{negación de $\exists$ y $\leq$ }} \\
(5)& \textrm{$x$ es cota inferior de $\mathbb{Z}\neq\phi$} & \small{\textsf{definición de cota en $\mathbb{R}$}}  \\
(6)& \exists\, v\in \mathbb{R}\;|\;v=\inf(\mathbb{Z}) &  \small{\textsf{propiedad del supremo}}\\
(7)& \forall\, \epsilon>0\;,\;\exists\, m_\epsilon\in\mathbb{Z}\;|\;m_\epsilon<v+\epsilon & \small{\textsf{propiedad del supremo}}\\
(8)& 1>0\;\rightarrow\;\exists\,m_1\in\mathbb{Z}\;|\;m_1<v+1& \small{\textrm{en particular $\epsilon=1$}} \\
(9)& \exists\,(m_1-1)\in\mathbb{Z}\;|\;m_1-1<v& \small{\textsf{$\rightarrow$ $v$ no es cota inferior}}\\
(10) & \therefore\;M_x\neq\phi & \small{\textsf{9) contradice a 5)}}\\
\end{array}$$
Q.E.D.

Esta demostración es muy interesante, ya que puede verse la utilidad del axioma del supremo en $\mathbb{R}$


Habiéndose demostrado que $M_x=\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\leq x\}$ es no vacío y acotado superiormente, se sigue por la propiedad del supremo en $\mathbb{R}$ que existe el supremo de $M_x$ y se denota por $\left[\kern-0.17em\left[{x}\right]\kern-0.17em\right]$, esto es: $$\textrm{Para todo}\; x\in\mathbb{R}\;\;\textrm{existe}\;\;\sup(M_x)=[\kern-0.17em[ x]\kern-0.17em]$$


Teorema 2 (Propiedad Fundamental del M.E.)
Si $x\in \mathbb{R}$ $\scriptstyle\wedge$ $M_x=\{n\in\mathbb{Z}\;|\;x\leq n\}$, entonces $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=\sup(M_x)$ es el máximo valor de $M_x$. Es decir $$[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=\max{(M_x)}$$
Debido a que su demostración es complicada de escribirla aquí, la incrustaré en el siguiente PDF.
Demostración


Definición 2  El Máximo Entero (M.E.)
El supremo de un conjunto es llamado máximo valor cuando pertenece a dicho conjunto. Así $[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]$ es el máximo valor entero de $M_x$.
En adelante se le llamará Máximo Entero de $x\in\mathbb{R},$ así se tiene la siguiente:


Definición 3.
Para cada número real $x$, su máximo entero está determinado por
$$\begin{eqnarray*}
[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=&\max\{n\in\mathbb{Z}\;|\;x\leq n\}\\
[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]&=&\max(M_x)\\
\end{eqnarray*}$$


Teorema 3 (Teorema principal del M.E., primera versión)
Para todo $x\in \mathbb{R}$ se cumple: $\quad[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]\leq x<[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]+1.$


Al teorema 3 lo he llamado teorema principal del máximo entero, debido a la gran frecuencia con que suele utilizarse en la resolución de diversos problemas de números reales, en matemática básica o análisis matemático.
Una versión práctica, y equivalente, de dicho teorema es el siguiente.


Teorema 4 (Segunda versión del Teorema 3)
Para todo $x\in \mathbb{R}$, la ecuación ‘$[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n$’ es equivalente a escribir ‘$x\in[n,n+1\rangle$’ es decir:
$$\forall \,x\in\mathbb{R}\;,\quad[\kern-0.17em[x]\kern-0.17em]=n\quad \Leftrightarrow \quad n \leq x < n+1.$$

La demostración es, obviamente, casi igual que el de la primera versión. Y viene a ser la imagen de portada que elegí para este post.


La teoría complementaria y los ejercicios explicativos de M.E. continúan en el siguiente post.

 

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One Response

  1. Salomon CB abril 22, 2017

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