Máximo Entero (parte 5) – Ejercicios Resueltos

Antes de resolver algunos ejercicios de inecuaciones con máximo entero en este post, revisaremos un teorema que es algo frecuente en inecuaciones con números reales.

Theorem 1. Para todo $a\in\R$ y para todo $b>0$ se tiene: \begin{equation*}\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a}a^2 < b\quad\Leftrightarrow\quad -\sqrt{b} < a <\sqrt{b} \phantom{a} }\end{equation*}

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A continuación los ejercicios.

Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.

Excise 1. $$\mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}\,}{0.28}^2 < 4$$
Solución

\begin{align*} \tag{1} \mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}^2& <4 \end{align*} entonces, por el teorema [1] se tiene \begin{align*} \tag{2} -2<\mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}&<2 \end{align*} Como: $0\leq\sqrt{a},\;\,\forall\,a\in\mathbb{R^{+}_0},\,\;\;\rightarrow\,\;\;0\leq\mew{\sqrt{a\vphantom{x^a_{a}}}\,}{0.25}$, entonces \begin{align*} \tag{3} 0\leq\mev{\sqrt{4+3x-x^2\vphantom{A_{A_x}}}}{0.30}&<2 \end{align*} entonces, por los teoremas [6] y [7] de la parte 2 se tiene \begin{align*} \tag{4} 0\leq \sqrt{4+3x-x^2}&<2 \end{align*} elevando al cuadrado a los tres los miembros \begin{align*} \tag{5} 0\leq 4+3x-x^2 & < 4 \end{align*} resolviendo ambas desigualdades \begin{align*} \tag{6} 4+3x-x^2 \geq 0 \quad&\wedge\quad\quad4+3x-x^2<4\\ \tag{7} (x-4)(x+1) \geq 0 \quad&\wedge\quad\qquad\,\, x(x-3)<4\\ \tag{8} x\in[-1,4]\;\quad\quad&\wedge\quad x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle 3,+\infty\rangle. \end{align*} Los intervalos de (8) se grafican para hallar el conjunto solución (C.S.)

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=[-1,0\rangle\cup\langle3,4] \phantom{a} }\qdr$
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Excise 2. $$\mev{x}{0.15}^4-8\mev{x}{0.15}^2+7\geq 0$$
Solución

Sea $\;m=\mev{x}{0.15},\quad m \in \Z\;$ entonces la inecuación es
\begin{align*}
\tag{1} &\qquad\qquad m^4-8m^2+7\geq 0
\end{align*} factorizando se tiene
\begin{align*}
\tag{2} &\quad(m+1)(m-1)(m+\sqrt{7})(m-\sqrt{7})\geq0.
\end{align*} por el método de los puntos críticos
\begin{align*}
\tag{3} &\;\;m=-1, \quad m=1, \quad m=-\sqrt{7}, \quad m=\sqrt{7}
\end{align*} de la figura de abajo se sigue
\begin{align*}
\tag{4} &\quad m\in\left\langle-\infty,-\sqrt{7}\right]\cup[-1,1]\;\cup\left[\sqrt{7},+\infty\right\rangle\\
\end{align*}

esto genera 3 casos:

1. Cuando $m\in\langle -\infty,\sqrt{7}]\;\Rightarrow\; m\leq-\sqrt{7}\thickapprox -2.6\;$ y $\,m\in\Z$, entonces
\begin{align*}
\tag{5} \mev{x}{0.15}&=m\leq-3\;\rightarrow\;\mev{x}{0.15}\leq -3\\
\tag{6} &\;\leftrightarrow\; x < -3+1\quad\rightarrow\quad x < -2 \\
\tag{7} &\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;\langle-\infty,-2\rangle.}
\end{align*} en (5) se escribió $\mev{x}{0.15}\leq-3$ porque $-3$ es el entero más cercano que sea menor que $-\sqrt{7}.$
.
2. Cuando $m\in[-1,1]\;\Rightarrow\; -1\leq m\leq 1\;$ y $\;m=\mev{x}{0.15}$, entonces
\begin{align*}
\tag{8} &-1\leq\mev{x}{0.15}\leq1\quad\leftrightarrow\quad -1\leq x < \;1+1\\
\tag{9}\rightarrow\;&-1 < x < 2\;\rightarrow\quad\boxed{x\in\;[-1,2\rangle}
\end{align*} 3. Cuando $m\in[\sqrt{7},+\infty\rangle,\;\Rightarrow\; m\geq\sqrt{7}\thickapprox 2.6\;$ y $\,m\in\Z\;$, entonces
\begin{align*}
\tag{10} \mev{x}{0.15}&=m\geq3\;\rightarrow\;\mev{x}{0.15}\geq3\\
\tag{11}&\;\leftrightarrow\; x\geq3\;\rightarrow\;\boxed{x\in\;[3,+\infty\rangle}
\end{align*} reuniendo los intervalos (7), (9) y (11)
\begin{align*}
&\quad x\in\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\;\cup\,[3,+\infty \rangle.
\end{align*}
En los pasos (6), (8) y (11) se aplicaron respectivamente los teoremas [6], [7]$\,$ y $\,$[8] de la parte 2.

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{CS}=\langle-\infty,-2\rangle\cup[-1,2\rangle\cup[3,+\infty \rangle \phantom{a} }\qdr$

gráfica de los posibles valores del entero $m$

Figura: Posibles valores de $\phantom{a}m\phantom{a}$ cuando $\phantom{a}m^4-8m^2+7 \geq 0$, $\phantom{a}$ y $\phantom{a}$ $m\in\Z$

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Excise 3. $$\mev{ \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }{0.32} < -\frac{13}{5}$$
Solución

Como $-\frac{13}{5}=-2.6$, entonces la desigualdad puede escribirse así
\begin{align*}
\tag{1} &\mev{ \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }{0.32} < -2.6
\end{align*}
y como $-2.6 < -2$, entonces por transitividad se tendrá
\begin{align*}
\tag{2} &\mev{ \dfrac{|x-1|-1}{3-x} }{0.32} < -2
\end{align*}
aplicando el teorema [7] de la parte 2 se eliminan los delimitadores
\begin{align*}
\tag{3} & \dfrac{|x-1|-1}{3-x} < -2 \end{align*} multiplicando ambos lados por $(-1)$ \begin{align*} \tag{4} \frac{|x-1|-1}{x-3} & > 2\\
\tag{5} \frac{|x-1|-1}{x-3} -2 & > 0\\
\tag{6} \frac{|x-1|-1-2(x-3)}{x-3} & > 0\\
\tag{7} \frac{|x-1|-2x+5}{x-3} & > 0
\end{align*} ahora solo queda hacer $|x-1|=0\;\Rightarrow\; x=1$, y de este punto crítico se originan dos casos.
.
1. Cuando $x < 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=-x+1,$ entonces \begin{align*} \tag{a1} \frac{-x+1-2x+5}{x-3} & > 0\\
\tag{a2} \frac{-3x+6}{x-3} & > 0\\
\tag{a3} \frac{3x-6}{x-3} & < 0\\
\tag{a4} \frac{x-2}{x-3} & < 0\\
\tag{a5} x\in \langle 2,3 \rangle &
\end{align*}
pero eso último debe intersectarse con $x < 1$, así se tiene que la primera solución parcial es $S_1=\emptyset.$ Ahora veamos el siguiente caso.
.
2. Cuando $x \leq 1, \; \Rightarrow \;|x-1|=x-1,$ entonces
\begin{align*}
\tag{b1} \frac{x-1-2x+5}{x-3} & > 0\\
\tag{b2} \frac{-x+4}{x-3} & > 0\\
\tag{b3} \frac{x-4}{x-3} & < 0\\ \tag{b4} x\in \langle 3,4 \rangle &\\ \end{align*} pero eso último debe intersectarse con $x \geq 1$, así se tiene que la segunda solución parcial es $S_2=\langle 3,4 \rangle$. Finalmente la solución total es
$$C.S.=S_1\cup S_2=\emptyset \cup \langle 3,4 \rangle=\langle 3,4 \rangle$$

$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{ \Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a} \textrm{C.S.}=\langle 3,4 \rangle \phantom{a} }\qdr$
[collapse]

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