La sustitución trigonométrica e integral por partes

A continuación un ejercicio que hace revisar el método de integración por partes combinado con el de sustitución trigonométrica. Es uno de los que te obliga a calcular, en cierto momento, la integral de la ‘secante al cubo’ \color{blue}{\textrm{sec}^3(\theta)}. Cuando no nos permiten usar formularios de integrales indefinidas (con excepción de las fórmulas más elementales) entonces habrá un largo camino para desarrollar dichas integrales.

En varias ocaciones me ha tocado resolver este tipo de ejercicios pero pasados unos meses, algunos de los pasos claves del proceso, se me escapa de la memoria. Entonces no veo mejor forma que registrar dichos detalles de ese proceso en este post. Además encontré una manera de evitar el cálculo de \color{blue}{\int\textrm{sec}^3(\theta)\,\textrm{d}\theta}, entonces estaremos viendo un calculo optimizado para la siguiente integral. Enhorabuena.

Olvidé mendionar que la final del post he adjuntado un vídeo con la explicación de este ejercicio.

Ejercicio 1
Calcular la siguiente integral \int \sqrt{x^2-9}\cdot\textrm{d}x

Solución

metodo de integración por partes y sustitución trigonométrica
El ejercicio fue cuidadosamente resuelto, y la respuesta fue comprobada con software Maple.
Respuesta
\int \sqrt{x^2-9}\cdot\textrm{d}x = \frac{x}{2}\sqrt {{x}^{2}-9}-\frac{9}{2}\ln\left|\frac{\sqrt {{x}^{2}-9}+x}{3} \right| + C

Afortunadamente me di un tiempo para hacer un vídeo explicativo de este ejercicio, véanlo me quedó muy bueno

Cualquier duda comenten.

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