Graficando la derivada a partir de otro gráfico

En el último grupo de ejercicios que me encargaron resolver, encuentro frecuente un tipo particular de ejercicio. Uno en donde piden, a partir del gráfico de una función real y=f(x), el gráfico de su correspondiente función derivada. Para esto es necesario tener claro el concepto de pendiente positiva y pendiente negativa y su relación con el crecimiento y decrecimiento de una función derivable.

Problema 1
La siguiente fi gura muestra la gráfi ca de la función f
graficar la derivada a partir del gráfico de f
Esbozar la gráfica de f'

Solución

graficando la derivada desde el gráfico de una función

Explicación:

Lo analizamos por intervalos, del plano xy superior al plano xy  inferior.
    1. En el intervalo [ a, x_1 \rangle  la función  y=f(x)  es creciente y lineal. Entonces,  en el plano xy inferior, la gráfica de su derivada debe ser positiva (arriba del eje x) y constante, es decir horizontal (pues la derivada de una función lineal es siempre una constante)
    2. En el intervalo \langle x_1, x_2 ]  la función  y=f(x)  es decreciente. Entonces,  en el plano xy inferior, la gráfica de su derivada debe ser negativa (abajo del eje x) y cortar al eje  en x = x_2, pues en ese punto se alcanza un mínimo local para  f , recordemos que la derivada es cero en los extremos locales (o relativos).
    3. En el intervalo [ x_2, x_3 ] la función f  es creciente, entonces la gráfica de su derivada debe estar encima del eje x. Notar que desde x=x_1 hasta x=x_3 el gráfico de la derivada es de trazo continuo debido a que el gráfico de f en ese intervalo es el de una curva suave, por tanto su derivada es continua en cada punto del intervalo \langle x_1 , x_3 ]
    4. En las esquinas del gráfico de cualquier función la derivada no existe. Por esta razón en x=x_1 el gráfico de f'  en dicho punto lo marcamos como un pequeño círculo blanco (o sin pintar).

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