Gráfica de funciones mediante criterio de asíntotas (parte2)

Continuando con la solución del ejercicio explicativo: graficar la función f(x)=3-2\,x-{\frac {{x}^{2}}{\sqrt {{x}^{2}-x-2}}} mediante asíntotas. Ahora sigue calcular las asíntotas horizontales y las asíntotas oblicuas.

3°) Asíntotas horizontales (A.H.)
No tiene ninguna complicación, mientras sepamos calcular límites al infinito, podremos verificar que:

\lim_{x\rightarrow -\infty} f \left( x \right) =+\infty
compruébenlo en este spoiler (click en el signo +).
Cálculo paso a paso de la ecuación de la A.H. por la izquierda

\begin{align*}
\mathop{\lim }\limits_{x \to\, -\infty}&\left[{\,f(x)\,}\right]\\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to\, -\infty } \left( {3 – 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)\end{align*} sustituyendo $(-\infty)$ por $(+\infty)$ y la variable $x$ por $(-x)$, se tiene
\begin{align*}
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)
\end{align*} efectuando la resta con m.c.m.
\begin{align*}
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {3 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)
\end{align*} dividiendo por $x^2$
\begin{align*}
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{\left( {3 + 2x} \right)\sqrt {{x^2} + x – 2} – {x^2}}}{x^2}}}{{\displaystyle\frac{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}{x^2}}}} \right)\\
\end{align*} homogenizando y agrupando convenientemente
\begin{align*}
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)\sqrt {\frac{{x^2} + x – 2}{x^2}} – \frac{x^2}{x^2}}}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{{x^4}}}} }}} \right)\\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} + 2} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{x^2}} – 1}}{{\sqrt {\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} – \frac{2}{{{x^4}}}} }}} \right)\\
&=\displaystyle\frac{{2 \cdot \sqrt 1 – 1}}{{\sqrt 0^{+} }}=\displaystyle\frac{1}{0^{+}}\\[0.4cm]
&\quad\therefore\quad\boxed{\mathop{\lim}\limits_{x\to\,-\infty}
\left[{\,f(x)\,}\right]=+\infty}
\end{align*}

[collapse]

es decir no existe asíntota horizontal por la izquierda para la función $f$.

Similarmente se puede comprobar que
\lim_{x\rightarrow +\infty} f \left( x \right) =-\infty

compruébenlo en el siguiente spoiler (click en el signo +).
Cálculo paso a paso de la ecuación de la A.H. derecha

$$\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left[ {\,f(x)\,} \right] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \!\infty } \left( {3 – 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)\\[0.1cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {3 – 2x} \right)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{\left( {3 – 2x} \right)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{3 – 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{{x^2}}}} – \frac{{{x^2}}}{x}}}{{\sqrt {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{{x^4}}}} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\!\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} – 2} \right)\sqrt {1 – \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} – 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\[0.4cm] &=& \displaystyle\frac{{( – 2) \cdot \sqrt 1 – 1}}{{\sqrt 0 }} = \displaystyle\frac{{ – 3}}{{{0^ + }}}\\[0.4cm] &=& -\,\infty
\end{array}$$

[collapse]

es decir la función f no tiene asíntota horizontal por la derecha.

Por lo tanto, f(x) no tiene asíntotas horizontales. A parte de decirnos este cálculo que f no tiene A.H. puede parecer un calculo muy largo o de poca utilidad, pero el signo de \infty nos dice además que f puede seguir un camino próximo al de unas asíntotas oblicuas, uno por el segundo cuadrante (-\infty,+\!\infty) y otra por el cuarto cuadrante (+\!\infty,-\infty), entonces ayudará a comprobar el gráfico al final.

4°) Asíntotas Oblicuas (A.O.)
4.1. Asíntota Oblicua por la izquierda.

De acuerdo con lo leído en la entrada anterior (item C1 y C2)

m =\lim_{x \to -\infty }\left[\textstyle{\frac{f(x)}{x}}\right] \quad,\quad b =\lim_{x \to -\infty}[f(x) - mx]
entonces reemplazando f(x) y calculando esos límites al infinito (dominando muy bien ese tema), se obtiene:
m =- 1\qquad\textrm{ y }\qquad b = \frac{7}{2}
[Click en el signo (+) del spoiler para ver el paso a paso]
Cálculo paso a paso del coeficiente $m$ cuando $x$ →(-∞)

$$\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} m &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, -\infty } \left( {\,\displaystyle\frac{{f(x)}}{x}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, – \infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {3 – 2x – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)} \right]\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{{ – x}}\left( {3 + 2x – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)} \right]\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{( – 3 – 2x)\sqrt {{x^2} + x – 2} + {x^2}}}{{x\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{( – 3 – 2x)\sqrt {{x^2} + x – 2} + {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x\sqrt {{x^2} + x – 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{ – 3 – 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{{x^2}}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{x}{x}\sqrt {\frac{{{x^2} + x – 2}}{{{x^2}}}} }}} \right)\\ &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( { – \frac{3}{x} – 2} \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} + 1}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\ &=& \displaystyle\frac{{\left( { – 2} \right)\sqrt {1 + 0 – 0} + 1}}{{\sqrt {1 + 0 – 0} }}\\ &=& \displaystyle\frac{{ – 2(1) + 1}}{1}\\
\therefore\quad m &=& -1 \end{array}$$

[collapse]

Cálculo paso a paso del término $b$ cuando $x$ →(-∞)

\begin{align*}
b &= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, – \infty } \left( {\,f(x) – mx} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, – \infty } \left[ {\left( {3 – 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right) – ( – 1)x} \right]\\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, – \infty } \left( {3 – 2x – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }} + x} \right)\\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, – \infty } \left( {3 – x – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)
\end{align*} ahora se sustituye $(-\infty)$ por $(+\infty)$ y la variable $x$ por $(-x)$
\begin{align*}
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 + x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)
\end{align*}

dividir ambos términos por $x$ ó $x^2$ no va a funcionar se obtendría la formas indeterminadas $\left(\frac{0}{0}\right)$ ó $(\infty-\infty)$. La solución es multiplicar y dividir por la conjugada del numerador

\begin{align*}
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} }} \cdot \frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x – 2} + {x^2}}}{{(3 + x)\sqrt {{x^2} + x – 2} + {x^2}}}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {\left( {3 + \;x} \right)\sqrt {{x^2} + x – 2} } \right)}^2} – {{\left( {\;{x^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x – 2} \left( {(3 + x)\sqrt {{x^2} + x – 2} + {x^2}} \right)}}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {3 + \;x} \right)}^2}\left( {{x^2} + x – 2} \right) – {x^4}}}{{(3 + x)({x^2} + x – 2) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{ \bcancel{x^4} + 7{x^3} + 13{x^2} – 3\;x – 18 – \bcancel{x^4}}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)\\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{7{x^3} + 13{x^2} – 3\;x – 18}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)
\end{align*}ahora, ambos términos tienen el mismo grado 3 entonces pueden dividirse por $x^3$
\begin{align*}
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{7{x^3} + 13{x^2} – 3\;x – 18}}{{{x^3}}}}}{{\displaystyle\frac{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}{{{x^3}}}}}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{7 + \frac{{13}}{x} – \frac{{3\;}}{{{x^2}}} – \frac{{18}}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{6}{{{x^3}}}} \right) + \left( 1 \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\
&= \displaystyle\frac{{7 + 0}}{{1 + 1}}
\end{align*}
y finalmente:
\begin{align*}
&\boxed{b= \displaystyle{\frac{7}{2}}}
\end{align*}

[collapse]
entonces, la asíntota oblicua de f(x) por la izquierda  es: $$\boxed{y =  – x + \frac{7}{2}}.$$
4.2. Asíntota Oblicua por la derecha.
De acuerdo con lo leído en la entrada anterior (item C1 y C2)
m =\lim_{x \to +\infty }\left[\textstyle{\frac{f(x)}{x}}\right] \quad,\quad b =\lim_{x \to +\infty}[f(x) - mx]
reemplazando f(x) y calculando esos límites al infinito, se obtiene:
m =- 3\qquad\textrm{ y }\qquad b = \frac{5}{2}
[Click en el signo (+) del spoiler para ver el paso a paso]
Cálculo paso a paso del coeficiente $m$ cuando $x$ →(+∞)

$$\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
m &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\,\displaystyle\frac{{f(x)}}{x}} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {3 – 2x – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)} \right]\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left[ {\displaystyle\frac{1}{x}\left( {\frac{{(3 – 2x)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)} \right]\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 – 2x)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{x\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\frac{{(3 – 2x)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{{x\sqrt {{x^2} – x – 2} }}{{{x^2}}}}}} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{{3 – 2x}}{x}} \right)\sqrt {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{{x^2}}}} – \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}}}}{{\frac{x}{x}\sqrt {\frac{{{x^2} – x – 2}}{{{x^2}}}} }}} \right)\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left( {\displaystyle\frac{{\left( {\frac{3}{x} – 2} \right)\sqrt {1 – \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} – 1}}{{\sqrt {1 – \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right)\\
&=& \displaystyle\frac{{\left( { – 2} \right)\sqrt {1 – 0} – 1}}{{\sqrt {1 – 0 – 0} }}\\
&=& \displaystyle\frac{{ – 2(1) – 1}}{1}\\
\therefore\quad m &=& – 3
\end{array}$$

[collapse]

Cálculo paso a paso del término $b$ cuando $x$ →(+∞)

\begin{align*}
b&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\,f(x) – mx} \right] \\ &=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left[ {\left( {3 – 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right) – ( – 3)x} \right] \\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 – 2x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }} + 3x} \right) \\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {3 + x – \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right) \\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right) \\
\end{align*} Dividir ambos términos por $x$ ó $x^2$ no va a funcionar, se obtendría la formas indeterminadas $\left(\frac{0}{0}\right)$ ó $(\infty-\infty),$ la solución es multiplicar y dividir por la conjugada del numerador
\begin{align*}
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} – x – 2} – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }} \cdot \displaystyle\frac{{(3 + x)\sqrt {{x^2} – x – 2} + {x^2}}}{{(3 + x)\sqrt {{x^2} – x – 2} + {x^2}}}} \right) \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {\left( {3 + \;x} \right)\sqrt {{x^2} – x – 2} } \right)}^2} – {{\left( {\;{x^2}} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} \left( {(3 + x)\sqrt {{x^2} – x – 2} + {x^2}} \right)}}} \right) \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{{\left( {3 + \;x} \right)}^2}\left( {{x^2} – x – 2} \right) – {x^4}}}{{(3 + x)({x^2} – x – 2) + {x^2}\sqrt {{x^2} – x – 2} }}} \right) \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\bcancel{x^4} + 5{x^3} + {x^2} – 21x – 18 – \bcancel{x^4}}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{5{x^3} + {x^2} – 21x – 18}}{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}} \right)
\end{align*} ahora, ambos términos tienen el mismo grado 3, entonces los dividimos por $x^3$
\begin{align*}
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{5{x^3} + {x^2} – 21x – 18}}{{{x^3}}}}}{{\displaystyle\frac{{\left( {{x^3} + 4{x^2} + x – 6} \right) + {x^2}\sqrt {{x^2} + x – 2} }}{{{x^3}}}}}} \right) \\
&=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{5 + \frac{{13}}{x} – \frac{{3\;}}{{{x^2}}} – \frac{{18}}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} – \frac{6}{{{x^3}}}} \right) + \left( 1 \right)\sqrt {1 + \frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} }}} \right) \\
&=\displaystyle\frac{{5 + 0}}{{1 + 1}}
\end{align*}
y finalmente:
\begin{align*}
&\boxed{b={\displaystyle\frac{5}{2}}}
\end{align*}

[collapse]

entonces, la asíntota oblicua de f(x) por la derecha  es: $$\boxed{y =-3x + \frac{5}{2}}.$$
Estas dos asíntotas resultan ser dos rectas inclinadas a la izquierda por arriba (por su pendiente negativa) y cortando al eje y en \frac{5}{2}=2.5 y \frac{7}{2}=3.5, entonces el gráfico hasta ahora va así
aíntotas oblícuas de f, gráfica de asíntotas, líneas rectas, límites al infinito, gráfico de funciones reales

Figura 03: Las A.O. están inclinadas a la izquierda por arriba por ser de pendiente negativa

De forma similar a la figura anterior, le pusimos flechas rojas para indicar hacia donde es el comportamiento del gráfico de f.
  • La recta - x + \frac{7}{5} tiene punta de flecha a la izquierda porque se obtuvo de un límite al -\infty
  • La recta - 3x + \frac{5}{5} tiene punta de flecha a la derecha porque se obtuvo de un límite al +\infty.
Recordemos el concepto de asíntota, es aquella línea recta generada por función con la propiedad de aproximarse progresivamente (tanto como se quiera) sin que lleguen ambas a intersectarse, por más extensas que se tracen en su respectivo gráfico del plano $xy$.
.
Ahora ya está todo listo, de a cuerdo a las flechas rojas, la gráfica de $f$ debe extenderse en 2 tramos de curva, la primera en la región $\left\langle {-\!\infty,-1} \right\rangle\times\mathbb{R}$, limitada por la A.O. $y = – x + \frac{7}{2}$ y la A.V. $x=-1$,
.
y la segunda en la región $\left\langle {2,+\!\infty}\right\rangle\times\mathbb{R}$, limitada por la A.O. $y = – 3x + \frac{5}{2}$ y la A.V. $x=2.$
.
solo queda eliminar las puntas de flecha que sirvieron de guía de trazado. Y así el gráfico final es
graficando funciones irracionales con asíntotas y límites al infinito

Figura 04: Gráfico de la función $f\left( x \right) = 3 \,- 2x\, – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 2} }}$ con sus asíntotas y sus respectivas ecuaciones.

.
Este gráfico puede comprobarse escribiendo en el mismo buscador de google el siguiente código:
y=3-2x-(x^2)/(x^2-x-2)^(1/2), y=-3x+5/2, y=-x+7/2
Notar que eso es la ecuación de f(x) y sus A.O. separadas por comas.
.

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