El juego de Ann y Bob

El siguiente ejercicio fue planteado en la prueba 1 de matemáticas nivel medio (SL) en el programa de bachillerato internacional (Math IB SL Nov 2013).

Ejercicio #10

Ann y Bob juegan un juego en el que cada uno tiene un dado de ocho caras. El dado de Ann tiene tres caras verdes y cinco caras rojas. El dado de Bob tiene cuatro caras verdes y cuatro caras rojas. Se turnan para lanzar su propio dado y notan qué color se enfrenta. El primer jugador en obtener verde gana. Ann lanza primero. Parte de un diagrama de árbol para este juego se muestra a continuación.

  1. Encuentre la probabilidad de que Ann gane en su primer lanzamiento.
    1. La probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es \frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times p \times q \times \frac{3}{8}. Escriba el valor de p y de q.
    2. La probabilidad de que Ann gane en su décimo lanzamiento es \frac{3}{8}{r^k} donde r \in \mathbb{Q}, k \in \mathbb{Z}. Encuentre el valor de r de k
  2. Encuentre la probabilidad de que Ann gane el juego.

.

Solución

  1. El dado de Ann tiene 8 caras, de las cuales 3 de ellas son verdes, entonces la probabilidad de que Ann gane por obtener cara verde en su primer lanzamiento es:\boxed{P(A_g) = \frac{3}{8}}
    1. Completando el diagrama de árbol a partir de los datos, la probabilidad de que Ann gane en su tercer lanzamiento es \frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{8}.

      diagramade arbol, solucion

      de aquí se deduce que \boxed{p=\frac{5}{8}} y \boxed{q=\frac{4}{8}} es una solución. Pero como p \times q = q \times p entonces \boxed{p=\frac{4}{8}} y \boxed{q=\frac{5}{8}} es una segunda solución.

    2. Para que Ann gane en el décimo lanzamiento tiene que ocurrir 9 jugadas fallidas, 9 de Ann y 9 de Bob,
      \underbrace{\widehat{{A_p}\,{B_p}},{{\widehat{{A_p}\,B}}_p},\widehat{{A_p}\,{B_p}}, \ldots ,\widehat{{A_p}\,{B_p}}}_{9{\text{ veces}}},{A_g} donde A_p = Ana pierde (evento), A_g = Ana gana, y B_p = Bob pierde. Entonces observando las ramas inferiores del diagrama de árbol anterior, encontramos que dicha probabilidad es
      \begin{aligned} P(A_g) & = \underbrace {\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdot \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right) \cdots \left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)}_{9{\text{ veces}}} \cdot \frac{3}{8}\\ & ={\left( {\frac{5}{8} \times \frac{4}{8}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{8}{r^k}\quad\textrm{..(por dato)}\end{aligned} entonces
      \begin{aligned} {\left( {\frac{5}{{2 \cdot 8}}} \right)^9} \cdot \frac{3}{8} &= {r^k}\cdot \frac{3}{8}\\ \rightarrow \quad {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^9} &= {r^k}\end{aligned} indentificando que \boxed{r=\frac{5}{16}}, y \boxed{k=9}
  2. Del inciso (b) parte (ii) vimos que la probabilidad de que Ann gane en la 10 jugada es \frac{3}{8}{r^k} = \frac{3}{8} \cdot {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^9}, entonces la probabilidad que Ann gane a la n-ésima jugada es {u_n} = \frac{3}{8} \cdot {\left( {\frac{5}{{16}}} \right)^{n - 1}},\quad n \geqslant 1,\quad n \in {\Bbb Z}. que viene a ser una progresión geométrica (P.G.) con {u_1} = \frac{3}{8},\quad r = \frac{5}{{16}}.
    Ahora, existen infinitas formas de que Anne gane: En la primera jugada u_1, o en la segunda u_2, o en la tercera u_3, …, u_{\infty}. Todos estos casos son eventos mútuamente excluyentes (la ocurrencia de uno implica lo no ocurrencia de los demás), y por propiedad la probabilidad de que Ann gane en cualesquiera de estos casos es {u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots \infty = S_{\infty} como r < 1 , entonces de la propiedad de las P.G. se sigue \begin{aligned}S_\infty &= \frac{u_1}{1 - r} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{1 - \frac{5}{16}} \\ \rightarrow \;\; S_\infty &= \frac{\frac{3}{8}}{\frac{11}{16}} = \frac{6}{11} \end{aligned} Rpta: La probabilidad de que Ann gane el juego es \boxed{\frac{6}{11}}

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