Cotas inferiores e ínfimo de un conjunto en R

Definición 1 [cota inferior]

Llamaremos cota inferior de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ a todo número $k\in\mathbb{R}$ tal que $k\leq x$, $\forall\, x\in A$. O sea, cualquier número que sea menor o igual que los elementos de $A$ se llama cota inferior de $A$.
Cuando $A$ tiene alguna cota inferior, se dice que el conjunto $A$ es acotado
inferiormente.


Ejemplo 1

Sea $A =[-2,7\rangle$ y la cota inferior $k=-2$.

El intervalo $[-2,7\rangle$ y sus cotas inferiores.

Se observa que cualquiera de los números reales menores que $-2$ e incluso el $-2$ es cota
inferior de $A$.
De todas estas cotas inferiores de A el número $-2$ es la mayor.

¿No hay algún “Axioma del Ínfimo”?

Hasta donde yo sé, no he encontrado algún texto que haga referencia a un axioma de infimo, solo axioma de supremo. Sin embargo su enunciado diría que todo conjunto de $\mathbb{R}$ acotado inferiormente posee ínfimo. En un texto lo encontré con la siguiente definición.


Definición 2 [Ínfimo de un conjunto]

A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ y acotado inferiormente, se le llama ínfimo de $A$ o máxima cota  inferior de A y se denota por $\inf(A)$.

Observación

  1. El ínfimo de $A$ es también una cota inferior de $A$.
  2. La mayor cota inferior $k=\inf(A)=\textrm{infimo de } A$ esta caracterizada por la condición:
    $k = \inf(A) \leftrightarrow \forall \, x \in A$ y para toda cota inferior $r$ de $A$ se tiene $r< k < x$ .
  3. El ínfimo de un conjunto puede no ser elemento del conjunto dado.

Ejemplo 2

El conjunto $A =[-2,7\rangle$ esta acotado superiormente por $8$ e inferiormente por $—3$,
además la mayor cota inferior es $-2$ y la menor cota superior es $7$
por lo tanto: $\sup(A) = 7$ y el $\inf(A) = -2$
en donde $\sup(A) \notin A\,,\; \inf(A) \in A.$

Ejemplo 3

Si $A\neq \emptyset\;\, \textrm{y}\; B\neq \emptyset$ son dos conjuntos acotados inferiormente tales que $A \subset B$ probar que
$$\inf(B) \leq \inf(A)$$

Solución

Sea $k_A=\inf(A)$ y $k_B=\inf(B)$ los ínfimos de los conjuntos $A$ y $B$ respectivamente, entonces debe probarse la desigualdad siguiente:
\begin{equation}
k_B\leq k_A\tag{1}
\end{equation}
Sea $x$ un elemento de $A$  [ $x\in A$ ],
Por ser $k_A$ el ínfimo de $A$
$$k_A\leq x$$
por estar $A$ incluido en $B$
$$x\in B$$
Como $k_B=\inf(B)$ y $x\in B$
\begin{equation}
k_B\leq x\tag{2}
\end{equation}
pero la desigualdad (2) también indica que $k_B$ es una cota inferior de $A$, y ya que $k_A$ es la máxima  cota inferior de $A$ [ pues $k_A=\inf(A)$ ] se concluye:
$$k_B\leq k_A$$
con lo que se probó la desigualdad (1).
l.q.q.d.

Cuando en un conjunto $A$ se tiene que $\sup(A)\in A$ entonces el $\sup(A)$ también se le llama el máximo de $A$ y se denota por $\max(A)$.
Y si el $\inf(A) \in A$ entonces al ínfimo de $A$ también se le llama el mínimo de $A$ y se denota por $\min(A)$.

Definición 3

Un conjunto $A$ se dice que es acotado, si es a la vez acotado inferiormente y superiormente.

Ejemplos

  1. El conjunto $A = \langle1,7\rangle \cup [30,50]$ es acotado y $\sup(A) = 50$, $\inf(A) = 1$.
  2. El conjunto $A = \langle-\infty,-5] \cup \langle 1,+\infty\rangle$ no es acotado inferiormente ni superiormente.

 

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