Conjuntos acotados, cota superior y supremo

Definición 01 [cota superior]

Se llama cota superior de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ a todo número $k\in\mathbb{R}$ tal que $x \leq k\;,\;\; \forall\, x\in A$, es decir, cualquier número que sea mayor o igual que los elementos de $A$ se llama “cota superior de $A$”. Cuando $A$ tiene alguna cota superior, diremos que el conjunto $A$ es acotado superiormente.


Ejemplo

Sea $A = \left\langle { – \infty ,3} \right\rangle $  y la cota superior $k=5$

Las cotas de $A$ aquí son todos los números $x\geq 3$

Se observa que los números mayores que 3 incluyendo al mismo 3 es una cota superior del conjunto $A$.


De todas estas cotas superiores de $A$, él número 3 es la menor. Esto nos lleva a  siguiente definición.

Definición 02 [supremo]

A la menor de las cotas superiores de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ y acotado superiormente, se le llama supremo de $A$ o mínima cota superior de $A$ y se denota por $\textrm{sup}(A)$.


Observación

1) El supremo de $A$ es también una cota superior de $A$.
2) La menor cota superior $k$ = Supremo de $A$ = $\textrm{sup}(A)$ está caracterizada por las condiciones siguientes que equivalen a la definición 02.

$k = \textrm{Sup}(A)\; \Leftrightarrow \;\forall\,x \in A$ y para toda cota superior $r$ de $A$, se tiene: $x \leq k \leq r$

3) El supremo de un conjunto $A$, si existe, no es necesariamente un elemento de $A$, como en el caso de $A = \left\langle {- \infty ,3} \right\rangle$ cuyo supremo es 3 no pertenece al conjunto $A$.


La existencia del supremo para conjuntos acotados superiormente esta dado por el siguiente axioma.

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