Axioma del supremo (mínima cota superior)

Axioma del supremo o axioma de la mínima cota superior

Todo conjunto A de números reales, no vacío y acotado superiormente, tiene una menor cota superior en $\mathbb{R}$.

Como se mencionó en el post anterior, una cota con esa característica se le llama supremo del conjunto A y se denota por $\textrm{sup}(A)$


Ejemplo. Demostrar que sí $A = \left\langle {- \infty ,3} \right\rangle$ entonces $\textrm{sup}(A)=3$

Solución. Esto puede probarse mediante reducción al absurdo.

Supóngase que 3 no es la menor cota superior de $A$, entonces se puede asegurar que existe una cota superior $k$ de $A$ tal que $k < 3$ y puesto que

$$k < \frac{{k + 3}}{2} < 3 \;\,\textrm{tómese}\;\, r = \frac{{k + 3}}{2} \Rightarrow k < r < 3  \tag{1}  $$

de donde $r \in A = \left\langle { – \infty ,3} \right\rangle $ , pero siendo $k$ una cota superior de $A$ debería tenerse $r < k$,  lo cual estaría contradiciendo a (1).

La suposición es absurda por lo tanto $\textrm{sup}(A)=3$.


Explicación de la expresión mencionada en (1).

Si se preguntan ¿de donde salió la desigualdad $k < \frac{{k + 3}}{2} < 3$? basta con ‘desmenusarlo’ del siguiente modo:

$$\begin{array}{c}
k < \frac{{k + 3}}{2} < 3\\
2k < k + 3 < 6\\
2k – k < 3\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,k < 6 – 3\\
\,\,\,\,k < 3\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,k < 3
\end{array}$$

Con esta observación es fácil llegar a (1) yendo de atrás hacia adelante.

 

De forma análoga (similar o parecida) puede definirse el ínfimo de un conjunto de números reales no vacío y enunciarse su consecuente axioma del ínfimo. Se podrá ver en el siguiente post.


Ejemplo 2

Si $A \ne \emptyset ,B \ne \emptyset$, son conjuntos acotados superiormente tales que $A \subset B$ , probar que $$\textrm{sup}(A) \leq \textrm{sup}(A).$$

Demostración
Sea $k_A=\sup(A)$ y $k_B=\sup(B)$ los supremos de los conjuntos $A$ y $B$ respectivamente, entonces debe probarse la desigualdad siguiente:
\begin{equation}
k_A\leq k_B\tag{2}
\end{equation}
Además, para todo elemento $x$ en el conjunto $A$, y por ser $k_A$ la menor cota superior de $A$ se tiene:
$$x\leq k_A\quad \wedge \quad x\in B$$
note que escribí $x\in B$ pues $A\subset B$, esto último nos conduce a decir que
\begin{equation}
x\leq k_B \tag{3}
\end{equation}
pues $k_B=\sup(B)$, pero siendo además $x$ un elemento de $A$, la desigualdad (3) indica que $k_B$ es cota superior de $A.$
Ahora, si $k_B$ es cota superior de $A$  y $k_A$ es la menor de todas las cotas superiores de $A$ entonces se concluye:
$$k_A\leq k_B$$
con lo que se probó la desigualdad (2).
l.q.q.d.

Ejemplo 3

Hallar el supremo de $$\left\{\frac {1+6\,n}{3\,n+4}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$$

Solución

Dividiendo algebraicamente
$$\begin{array}{*{20}{r|l}}
{\mathbf{6n + 1}}&{\mathbf{3n + 4}}\\[-9pt] & ——— \\
{ – 6n – 8}&2\\
{ – 7}&{}
\end{array}$$
entonces $$\frac {1+6n}{3n+4}=2+\frac{-7}{3n+4}$$
si tabulamos el termino $\frac{-7}{3n+4}$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
n & 1 & 2 & 3 & \cdots & \infty \\\hline
\frac{-7}{3n+4} \phantom{\displaystyle\frac{1}{2}} & \frac{-7}{7} & \frac{-7}{10} & \frac{-7}{13} & \cdots & 0 \\\hline
\end{array}$$
es decir que, para $n=1\;\rightarrow\;\frac{-7}{3n+4}=-1$ y conforme $n$ crece uniformemente hasta que $n$ sea suficientemente grande, $\frac{-7}{3n+4}$ está muy próximo a  cero
$$\textrm{Si }n\approx\infty \;\rightarrow\; \frac{-7}{3n+4}\approx 0$$
Como $-1<0$, entonces para el supremo debe reemplazarse $\frac{-7}{3n+4}$ por $0$, para que la suma sea la mayor posible
\begin{eqnarray}
\sup\left(\left\{ \frac {1+6n}{3n+4}\right\} \right) &=& \sup\left(\left\{ 2+\frac{-7}{3n+4} \right\} \right) \\
&=& 2+ \sup\left(\left\{ \frac{-7}{3n+4} \right\} \right)\\
&=& 2+0 \\
&=& 2
\end{eqnarray}
Por tanto:
$$\boxed{\sup\left(\left\{ \frac {1+6n}{3n+4}\right\} \right) =2}$$


En el artículo ¿Cuál es el supremo o el ínfimo de un intervalo abierto? recomiendo ver el siguiente vídeo explicativo de demostración y calculo de supremo e ínfimo de intervalos.

 


 

 

 

 

 

supremo e infimo de un intervalo, cálculo y demostración

Pre-visualización de vídeo explicativo de sup e inf

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