Aplicaciones del Máximo Entero en la vida real

Esta vez vamos a mostrar cómo la función de máximo entero puede usarse para modelar o describir un problema que suele presentarse en la vida cotidiana.

Ya se ha expuesto anteriormente que

$$ [\![x]\!] = n\quad \leftrightarrow \quad n \leq  x < n + 1, \quad n\in\mathbb{Z} $$ Usaremos esto para resolver el problema.


Problema 1

Suponga que $C(x)$ es el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso $x$. La regla que en 2007 aplicaba el U.S. Postal Service es la siguiente:

El costo es de 39 centavos de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva o fracción de ella, hasta 13 onzas. 

Encuentre una regla de correspondencia o función matemática que describa la variación de costo con respecto al peso de dicha carta.


Solución

Esta tarifa produce la siguiente tabla de valores de $C(x).$

$$\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{\text{Peso}}({\text{onzas}}) \\
\boldsymbol{x} \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\text{Costo}}({\text{US} \$}) \\
\boldsymbol{C(x)}\, \\
\end{gathered} \\ \hline
{0 < x \leq 1}&{0.39} \\
{1 < x \leq 2}&{0.63} \\
{2 < x \leq 3}&{0.87} \\
{3 < x \leq 4}&{1.11} \\
\begin{gathered}
4 < x \leq 5 \\
\vdots \\
12 < x \leq 13 \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
1.35 \\
\vdots \\
3.27 \\
\end{gathered}
\end{array}$$
Una función definida por una tabla de valores es llamada función tabular.
.
La regla de correspondencia de esta función de costo $C(x)$ en función del peso $x$ está determinada por la función seccionada: $$C(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0.39}& , &{{\text{si}}} & {0 < x \leq 1} \\
{0.63}& , &{{\text{si}}} & {1 < x \leq 2} \\
{0.87}& , &{{\text{si}}} &{2 < x \leq 3} \\
{1.11}& , &{{\text{si}}} &{3 < x \leq 4} \\
\vdots &{}&{}& \vdots \\
{3.27}&,&{{\text{si}}}&{12 < x \leq 13}
\end{array}} \right.$$

Si observamos su gráfica

Gráfica. Una aplicación del máximo entero a problemas de la vida real
Es una función tipo escalón, pues ‘salta’ de un valor al siguiente.
Podemos ver que es muy similar al gráfico de la función mayor entero, excepto que son números decimales y no enteros. Pero si a cada uno lo multiplicamos por 100, vemos que: $39, 63, 87, 111, \ldots$ se forma una progresión aritmética de razón 24 (aumenta de 24 en 24). Entonces al calcular su regla de formación se tendrá: $$ a_n=24n+15\;,\;n\in\mathbb{Z^+} $$ en efecto, vemos que:
$$\begin{array}{rcl}
a_1 = 24(1)+15=39\;, & \small{\textrm{cuando}} & 0 < x \leq 1 \\
a_2 = 24(2)+15=63\;, & \small{\textrm{cuando}} & 1 < x \leq 2 \\
\end{array}$$
$$\begin{array}{*{20}{c}}
\boldsymbol{n}&&\boldsymbol{100C=a_n}&&\boldsymbol{x} \\ \hline
1&&{39}&&{0 < x \leq 1} \\
2&&{63}&&{1 < x \leq 2} \\
3&&{87}&&{2 < x \leq 3} \\
\vdots && \vdots && \vdots
\end{array}$$
Si observamos la primera y tercera columna
$$\begin{array}{*{20}{c}}
\boldsymbol{n}&&\boldsymbol{x} \\ \hline
1&&{0 < x \leq 1} \\
2&&{1 < x \leq 2} \\
3&&{2 < x \leq 3} \\
\vdots && \vdots
\end{array}$$
esta tabla puede escribirse así:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
\boldsymbol{n}&{}&\boldsymbol{x} \\ \hline
{-(-1)}&,&{-1 \leq -x < 0} \\
{-(-2)}&,&{-2 \leq -x <-1} \\
{-(-3)}&,&{-3 \leq -x <-2} \\
\vdots &{}& \vdots \\
{-[\kern-0.15em[-x]\kern-0.15em]} & , & {[\kern-0.15em[-x]\kern-0.15em]\leq-x < [\kern-0.15em[-x]\kern-0.15em]+1} \\ \hline
\end{array}$$

así encontramos que $n$ depende de $x$ mediante la relación: $ n =-[\kern-0.15em[- x]\kern-0.15em] $ , y además se tiene:

$$\begin{array}{rr@{}c@{}l}
& 100\cdot C(x) &=& a_n\\
\rightarrow & C(x) &=& \frac{{{a_n}}}{{100}} \\
\rightarrow & C(x) &=& \frac{{24n + 15}}{{100}}
\end{array}$$
Si reemplazamos $n$,
$$C(x) = \frac{{24\left( {- [\kern-0.15em[ -x ]\kern-0.15em] } \right) + 15}}{{100}}$$
la función que modela el costo $\boldsymbol{C}$ del envío de cartas de peso $\boldsymbol{x}$ viene dada por:
$$C(x) = \frac{{15-24 [\kern-0.15em[- x ]\kern-0.15em] }}{{100}}$$ cuyo dominio para este problema es
$$x \in \left( {0,13} \right].$$
$\textbf{Rpta: }\quad\boxed{
\Rule{0px}{1em}{0.4em}\phantom{a}
\begin{gather*}
C(x) = \frac{{15-24 [\kern-0.15em[- x ]\kern-0.15em] }}{{100}} \\[0.3cm] \forall\; x \in \left\langle {0,13} \right].
\end{gather*}
\phantom{a} }\qdr$

Podemos graficarla con el software Maple con la instrucción:

> C := ( 15 – 24*floor(-x) )*(1/100):
> plot(C, x = 0 .. 13, color = blue, discont = true);

 

un problema de aplicación del maximo entero a la vida real
La orden floor(x) le permite a Maple
calcular el máximo entero de $x.$

Problema 2

El costo de una llamada telefónica de larga distancia diurna, de Toronto (Canadá) a Mumbai (India), es de 69 centavos por el primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional (o parte de un minuto).

a) Trace la gráfica del costo $C$ (en dólares) de la llamada telefónica como función del tiempo $t$ (en minutos).

b) Encuentre una regla de correspondencia para dicha función $C$ en términos del máximo entero.

Solución

Queda como ejercicio!

[collapse]

Bibliografía

1. Stewart, James. 2008. Calculus Early Trascendentals. 6th ed. Belmont, CA. USA : Thomson Learning Inc, 2008. pág. 18 de 1336 pp. ISBN 0-495-01166-5.

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