Aplicaciones de la función exponencial en la realidad

Es sabido que las sustancias radioactivas pierden peso (masa) con el paso de los años, las pruebas experimentales permiten interpolar o extrapolar sus valores (masa) conforme avanza el tiempo, y así hacer predicciones y pronósticos, dichas interpolaciones se realizan con las curvas de ajuste, una de las más usadas es la función exponencial. La función exponencial es la que frecuente se usa para modelar estos fenómenos. Así por ejemplo tenemos el siguiente

Problema 1
Una sustancia radioactiva se desintegra obedeciendo una función exponencial. Inicialmente tenía una masa de 50 gramos, pero después de 200 años es de 20 gramos.
a) Hallar la constante de desintegración de la sustancia.
b) Determine la cantidad que había después de 30 años.

Solución

La función exponencial está dada por f(t)=A\textrm{e}^{kt}
Inicialmente tenía una masa de 50 gramos
\begin{aligned}f(0)&=50 &\\[0.5em] A\cdot\textrm{e}^{k\cdot 0}&=50 &\\[0.1em] A\cdot\textrm{e}^{0}&=50 &\\[0.1em] A\cdot 1&=50 &\\[0.1em] A&=50 & [1]\\[0.1em]\end{aligned}
Así, reemplazando [1] en la exponencial se tiene f(t)=50\,\textrm{e}^{kt}

pero después de 200 años es de 20 gr \begin{aligned} f(200) = & \,20 & \\[0.3em] 50\,\textrm{e}^{k\cdot 200}= & \,20 \\[0.4em] \textrm{e}^{200k}= & \frac{20}{50} \\[0.7em] \ln\left(\textrm{e}^{200k}\right)= & \ln\!\left(\frac{2}{5}\right) & [2] \\[0.9em] 200k\cdot\ln(\textrm{e})= & \ln\!\left(\frac{2}{5}\right) & [3] \\[0.9em] 200k\cdot 1= & \ln\!\left(\frac{2}{5}\right) & [4]\\[0.7em] k = & \frac{1}{200}\!\cdot\!{\ln\!\left(\frac{2}{5}\right)} & [5] \end{aligned}

  • En [2] se aplicó logaritmo natural en ambos lados de la igualdad.
  • En el lado izquierdo de [3] se aplicó la ley del sombrero del logaritmo.
  • En el lado izquierdo de [4] el logaritmo natural \ln(\textbf{e})=1.
  • En [5] se multiplicó a ambos lados por \frac{1}{200} (o el 200 pasó a dividir)
Respuesta a)
La constante de desintegración es \color{blue}{k=\frac{1}{200}\!\cdot\!{\ln\!\left(\frac{2}{5}\right)}}
Ahora solo queda hallar la masa después de 30 años \begin{aligned} \textrm{Si}\qquad f(t) = & \,50\,\textrm{e}^{k\cdot t} \\ \\ \Rightarrow \quad f(30) = & \,50\,\textbf{e}^{k\cdot 30} & [6]\\[0.4em] = & \,50\,\textrm{\Large{e}}^{\frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{200}\cdot30} & [7]\\[0.4em] = & \,50\,\textrm{\Large{e}}^{\frac{3}{20}\ln\left(\frac{2}{5}\right)}\\ = & \,50\,{\textrm{\Large{e}}}^{{\ln}\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{20}}} & [8]\\ = & \,50\!\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{20}} & [9]\end{aligned}
  • En ambos lados de la igualdad [6] se reemplazó t=30.
  • En [7] se reemplazó el valor de k obtenido en [5].
  • En [8] se aplicó la ley del sombrero de los logaritmos.
  • En [9] se usó: \,\textbf{e}^{\ln\,x}=x,\;\,\forall x\in \mathbb{R}; es decir, el logaritmo se cancela con la exponencial por tener ambas la misma base \; \textrm{e}.
entonces: f(30) = 50\!\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{20}} y si usamos la calculadora científica vemos que:
Respuesta b)
La masa de la sustancia luego de 30 años había sido de \color{blue}{ f(30) \approx 43.5792\,\textrm{ gr} }
nótese que es un valor entre 50 gr y 20 gr, que son la masa inicial y final en el intervalo de 0 a 200 años.

Este post continua en Aplicación de la exponencial en la medicina

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