Aplicación de las ecuaciones lineales a la vida real

Problema 1

Un laboratorio produce 42 mil unidades de insulina. El laboratorio abastece a 3 ciudades que demandan toda la producción.

En cierta semana, la primera ciudad solicitó tantas unidades como la segunda y tercera juntas.

Mientras que la segunda pidió un 20% más que de la suma de la mitad de lo pedido por la primera más la tercera parte de lo pedido por la tercera.

¿Qué cantidad solicitó cada una? (Establezca un sistema de ecuaciones y resuelva mediante eliminación de Gauss-Jordan).

Solución

1°) La segunda ciudad pidió un 20% más, quiere decir:
100\% +20\% =120\%=1.20

2°) Si asumimos que, en todas las semanas, las ciudades siempre demandan las mismas cantidades: \color{blue}x, \color{blue}y, \color{blue}z (en miles), respectivamente, se tendrá la siguiente tabla

Ciudades Total
en miles
A B C
demanda 1
en una semana
x y z 42
demanda 2
en otra semana
1.2\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{z}{3}\right) y+z z 42
3°) Entonces establecemos las siguientes ecuaciones
\left\{\begin{aligned} x+y+z&=42 &\cdots[1]\\ x&=y+z&\cdots[2]\\ y&=1.2\left(\frac{x}{2}+\frac{z}{3}\right)&\cdots[3] \end{aligned}\right.
  • La ecuación [1] proviene del renglón de la demanda 1 en la tabla.
  • La ecuación [2] proviene de la columna de la ciudad A en la tabla.
  • La ecuación [3] proviene de la columna de la ciudad B en la tabla.

pues suponemos que las 3 ciudades demandan, cada semana, siempre lo mismo. El término 42 está en miles.

4°) Si convertimos 1.2 a fracción y simplificamos, el sistema de [1] , [2] y [3] tendrá la siguiente forma
\left\{ \begin{aligned} x+y+z & = 42 & \cdots[4]\\ x-y-z&=0 &\cdots[5] \\ 3x-5y+2z&=0 &\cdots[6] \end{aligned} \right.

5°) Ahora resolveremos este sistema conformado por [4] , [5] y [6] mediante eliminación Gauss-Jordan

Método de resolución mediante eliminación por Gauss-Jordan

Sean: A la matriz de coeficientes del sistema y b el vector de constantes (los de la derecha del signo=‘ ), entonces:

A = \left[ \begin{array}{crr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array} \right] \;\; b=\left[ \begin{array}{c} 42 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]

así, la matriz amentada del sistema es:

[A|b]=\left[ \begin{array}{crr|c} 1 & 1 & 1 & 42\\ 1&-1&-1&0\\ 3&-5&2&0 \end{array} \right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}
las F ‘s son hacer referencia a las filas (o renglones)

Iniciando los pasos de la eliminación por Gauss-Jordan.

1°) A cada elemento de la fila 1 ( F_1 ) lo multiplicamos por -1, y lo adicionamos sobre cada elemento de la fila 2 (F_2), es decir
[(-1)F_1+F_2]\rightarrow F_2
\left[\begin{array}{crr|r} 1&1&1&42\\ 0&-2&-2&-42\\ 3&-5&2&0 \end{array}\right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}

2°) A cada elemento de F_1 lo multiplicamos por -3, y lo adicionamos sobre cada elemento de F_3 es decir
(-3F_1+F_3)\rightarrow F_3
\left[ \begin{array}{crr|r} 1&1&1&42\\ 0&-2&-2&-42\\ 0&-8&-1&-126 \end{array} \right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}

3°) A cada elemento de F_2 lo multiplicamos por \frac{-1}{2} es decir
(-\frac{1}{2}F_2)\rightarrow F_2
\left[ \begin{array}{crr|c} 1&1&1&42\\ 0&1&1&21\\ 0&-8&-1&-126 \end{array} \right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}

4°) A cada elemento de F_2 lo multiplicamos por 8 y lo adicionamos sobre F_3 es decir
(8\,F_{2}+F_{3})\rightarrow F_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&42\\ 0&1&1&21\\ 0&0&7&42 \end{array}\right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}
Este proceso se detendrá cuando la matriz A (su equivalente) se haya convertido en matriz diagonal

5°) A la fila F_3 la multiplicamos por \frac{1}{7} es decir
(\frac{1}{7}F_3)\rightarrow F_3
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&42\\ 0&1&1&21\\ 0&0&1&6 \end{array}\right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}

6°) A la fila F_2 la multiplicamos por (-1) y la adicionamos sobre F_1 es decir
[(-1)F_{2}+F_{1}]\rightarrow F_1
\left[ \begin{array}{cccc} 1&0&0&21\\ 0&1&1&21\\ 0&0&1&6 \end{array}\right] \begin{array}{c} F_1\\ F_2\\ F_3 \end{array}

7°) A la fila F_3 la multiplicamos por (-1) y la adicionamos sobre F_2 es decir
[(-1)F_{3}+F_{2}]\rightarrow F_2
\left[ \begin{array}{crc|c} 1&0&0&21\\ 0&1&0&15\\ 0&0&1&6 \end {array}\right]
Vemos que la matriz A equivalente es una matriz diagonal, de hecho coincide con la matriz identidad. Y el vector cosntante b equivalente es..
A=\left[ \begin{array}{crr} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right] \;\; b=\left[ \begin{array}{c} 21\\ 15\\ 6 \end{array}\right]
en donde la solución está en los elementos el vector constante b es decir
\left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right] =\left [\begin{array}{c} 21\\ 15\\ 6 \end{array}\right] \;\;\Leftrightarrow\;\; \left\{ \begin{aligned} x&=21\\ y&=15\\ z&=6 \end{aligned}\right.
he ahí la solución por Gauss-Jordan.
Respuesta
  • La ciudad A solicitó 21 mil unidades
  • La ciudad B solicitó 15 mil unidades
  • La ciudad C solicitó 6 mil unidades
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