Aplicación de la función exponencial en la medicina

Este post es una continuación de Aplicaciones de la exponencial en la vida real


¿Cuanto tarda en disolverse un fármaco cuando éste se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente?. El siguiente problema es un ejemplo de la importancia de la exponencial y las propiedades de los logaritmos en este tipo de estos casos.

Problema 2

Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye la tercera parte cada 5 horas.
a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?
b) ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo después de 3 horas?
c) ¿Después de cuanto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente?
Solución
  1. En la hora t=0 el paciente tiene f(0)=50\,\textrm{mg} del medicamento.
  2. En las próximas 5 horas pierde 50\!\cdot\!\frac{1}{3}\,\textrm{mg}, quedándose con \begin{aligned} 50-50\!\cdot\!\frac{1}{3} = &\,50\!\cdot\!\!\left(1-\frac{1}{3}\right) \\[0.9em] = &\,50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right) \,\textrm{mg} \end{aligned}
  3. Entonces en la hora t=5 tiene \begin{aligned} f(5)=&\,50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{1} \\[0.9em] =&\,50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{5}{5}}\,\textrm{mg} \end{aligned}
  4. Esto se repite cada 5 horas, entonces con esta ultima cantidad aplicamos de nuevo los pasos (2) y (3), y así  para t=10 tendrá \begin{aligned} f(10)=&\,50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \\[0.9em] =&\,50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{10}{5}}\,\textrm{mg}\\[-2.5em] \end{aligned}
Así se deduce que
Respuesta a)
Para t horas la cantidad de medicamento restante es de  f(t) =50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{t}{5}}\,\textrm{mg}
Después de 3 horas el paciente aún tendrá  f(3) =50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{5}}\,\textrm{mg}
aproximando con calculadora
Respuesta b)
f(3) \approx 39.2026 \,\textrm{mg}
Para que quede solo 1 miligramo (mg) del medicamento en el organismo del paciente hay que resolver la ecuación
\begin{aligned} f(t)=&1 \\[0.6em] 50\!\cdot\!\!\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{t}{5}}= & 1\\[1.1em] \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{t}{5}}= & \frac{1}{50}\\[1.1em] \frac{t}{5}\ln\left(\frac{2}{3}\right)= & \ln\left(\frac{1}{50}\right)\\[1.1em] \frac{t}{5}= & \frac{-\ln(50)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\\[1.1em] t= & \frac{-5\ln(50)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\\[1.1em] \end{aligned}
aproximando esto último con calculadora
Respuesta c)
t \approx 48.2412 \,\textrm{hrs.}
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